VALEUHS APPROCHÉES DES LIGNES TBIGO.NOH ÉTHIQUES

Lorsque x tend vers ïcro, par valeurs positives, cos x tend, comme nous l'avons va [voir le tahieau de variation an n° 26),

vers 1. Le rapport-: qui est donc compris entre 1 et une

quantité qui tend vers 1 tend lui-même vers I, lorsque x tend vers zéro par valeurs positives.

S" Supposons, en second lieu, x négatif. Posons alors,

x' sera un nomlire posilil'. On aura :

sin X sin ( — x') sin v'

Or, lorsque x tend vers zûro par valeurs négatives, x' tend vers zéro par valeurs positives ; îe rapport — ; a donc pour limite 1 ,

d'après la première partie de cette démonstration. Le rapport -^r— ,

qui est constamment égal à -, — ~, a donc aussi pour limite 1. On a donc, dans tous les cas,

liiaf-^'] = l,pour.r = 0.

\sin xj

100. Théorème. -- Le sinus d'un arc est supérieur à l'excès de cet arc sur le quart du cube de cet arc. L'arc étant toujours positif, plus petit qu'un quadrant,, et mesuré avec te rayon pris pour unité.

On a, en effet, d'après la formule de duplication [51],

X X ^'" 2 n a; =: 2 sin - cos tt = 2 •

Ceci s'écrit :

(1) sin j; — 2 tg ^ (l — siu= ^Y

yGoosle

119 LIiÇOMS LIE TUI(;0.\01IKTI11K.

Ceci posé, l'arc x étanL positif cl plus pelU fiu'uLi quadrant, o» d'après le théorème du n" 98,

De celle dernière inégalité, on conclut :

(3) l-sin^?> 1 -^'.

Multipliant, membre à membre, les inégalités ("2) et (3), ce qni est permis puisque lous les niem.bres sont positifs, et tenant compte de (1), fl Tient :

ÎO-Ï).

sin x^ X — — .

Corollaire. — L'erreur que l'on coinmet en prenant comme valeur approchée du sinus d'un arc positif plus petit qu'un quadrant. In mesure de cet arc {mesuré avec le rayon pris pour unité) est plus petiip. que le quart du cube de cet arc.

Car, d'après le théorème précédent et celui du n" 98, on a :

On en conclut :

0<a'-sinj7<-^'.

X est donc une valeur approchée de sin x par excès avec une erreur moindre que y .

101 (*). Remarque. — On peut aller [)lus luiii et montrer que l'erreur commise est plus petite que le sixième du cube de l'arc.

VALEUHS APPUOCHEES DES UGSES TlSIGOXOMETItlQUES. 113

Je dis que : x étant m/i arc positif plus petit que ^ , on a ;

Écrivons la formule (o) dn n' 8i qui donne sin ^x en foiicl.ion de sin ,t

sin 3œ = 3 sin ,v — i sin Iv.

Dans cette égalité, reoi plaçons ic, successivement, par -, -^, -j, etc. . jusqu'à — ; nous aurons les égalités suivantes :

.i„.=3,i„|-4,i„.|, sin ^ = 3 sin ^ — 4 sin« ^,

Multiplions la seconde de ces égalités par 3, la troisième par 'i\ etc. ; la deinière par 3"" ut ajoutons les égalités, ainsi multipliées, membres ù membres. Il y aura des si m pi in cations évidentes : les termes a sin -,

3^ sin —„,... 3""' sin —^ figureront des deux câtés et disparfiitrout. On aura donc :

Remplaçons, dans le crochet, chacun des sinus par l'arc correspondant; nous augmentons ainsi le crochet et nous diminuons, par suite, le second membre. On a donc

sin ,v > 3" sin ^ - 4 fl' + l! + '^ ... + ^1 ;

(,) ,i,,^!;Li'.,,„,,£;r, + i-^ + i^ + .,.H-J i

114 LEÇO.^S DE TlilGOiSO.MÉTRlE.

Ceci posé, celle inégalité ()) a lieu quel que soit le nombre entier n; elle aura donc encore lieu à la limite lorsque n croit iiiUéflniment. Or,

lorsqueii croit iiKlériiiimenl, ^^ tend vers zéro; le rapport

a donc pour limite i, d'après le IhéorèDie du n° 99. D'autre part, la quantité entre crochets est une progression géométrique décroissante dont

le premier terme est 1 et la raison -^ = -. Lorsque n cralt indéfiniment,

celle sommo a, comme on sait ('), une limite qui est le quotient du

l.'in^galilé (1) devient donc, a la

102. Théorème. — x étant un arc ipositif plus pclit qu'un quadrant [mesuré anec le rayon pris jjour imiié) , on a :

On a, en effcsl, d'après la formule de duplication (n" 83), cos.K ^ l — -2 sin- - ■

Remplaçons, clans le second membre, siii - par la valeur plus

VALKtjRS AI'l'liOCHËliS DES LKiNES Tdi GO NO M ÉTRIQUÉS. ilS

de ■, 011 aura :

cos X 'p- 1 — 2 -;

Remplaçons, de même, sjn-par la Yaicur plus peliLe-^ — 7(0) ^'

nous aurons :

cosx<l-2(|-|) d'où

Si, dans le second membre de cette dernière égalité, on supprime

le terme -r^ ;r--, on la renforce et on a, par suite,

Les relations (1) et ('2) établissent la proposition. Remarque. — Si on se sert de l'inégalité plus approchée du n" 101,

Doue, il fovii (3)

110 LKÇOiNS DE TBlGOiNOMÉTIUE.

Cotte rclaUon (3) est plus approchée que la l'elalion {i). On peut donc ilii'e que, pour un ai'c x compris entre et -', on a ;

1 — ^ < cos a:< 4 — -y + 24 ■

commet, en prenant '^ — -^ comme ualeur approchée de cos x\ est plnn

petite que t^.

Car le théorème précédent donne :

^- En prenant la formule (3), on aurait ;

103. Calcul approché de cos 10" et sin lu". — Nous allons appliquer les deux corollaires précédents (n" 100 et 102) au calcul approché de cos 10" et sin 10". Nous avons vu (n° 11, Ex. Il) que la longueur de l'arc de 10 secondes est, en prenant le rayon pour unité,

arc 10" = 0,0000484813681.

On en conclut, en appliquant le corollaire du n" 100, que l'erreur que l'on commet en prenant la valeur de îtro 10" pour sin 10" est plus petite que

On peut donc affirmer qu'en prenant les treize premiers chiffres décimaux de arc W on aura une valeur approchée, par excès, du sinus à une unité du dernier ordre décimal près.

VALlîlJllS APPIiOCHEKS DES LIGKKS TilIGONOMKTLIKJUES. 117

On a donc, pour les treize premières décimales de sin 10", 8in 10" = 0,00004848131)80,

en prenant la valeur approchée par défaut.

De môme, d'après le corollaire du n" 102, la quaiiLité

1 — ^^ (arc \0"f

est unevaleur approchée, par défaut, de cos 10" et l'erreur commise est plus petite que

i(.rcl07<ixjjr^.<j„V..

Les 18 premières décimales de cette quantité sont donc aussi celles de cos 10". En elTectuant le calcul, on trouve

cos 10" = 0,999999998824778473,

avec ! 8 décimales exactes.

EXERCICES