Problème. — Résoudre le syslème des deux équations

,,, ( atgx-\-btgy^c,

^ ' la' cotg X -\- !>' cotg y =^ c' .

tg.i = X, tg, = Y et le système {!) devient :

LiiïONS DB TriGOKOMÉIBIB. I I

Ifiî I.EÇOiVS Di: TUIliO.NOMIiTlili;.

De la première on tire :

cl, en portaiiL dans la seconde, nn IroiLve, après avoir chassé les dénorainaleuTS el simplifié,

(4) ne' X^ + [bb' — m' — ce') X -j- a'c = U.

Discussion. — Pour que le système (1) admette des solulions, il faut el il suffît que l'équation (4) ait des solulions. Il faut donc avoir

(d) «' a"' + b' b'^ + c'c" — ibb' ce' — 2cc' aa' ~ laa' bb' > 0.

Si celte condition (b) est remplie, l'équation (4) admet deux solutions X' et X" auxquelles correspondent deux valeurs Y' et Y", pour Y, données par l'équation (3).

On a, alors, toutes les solutions du problème en associant les valeurs A'x et d'y qui vérifient soit le système

tg« = X', tg.(/ = Y';

lgj^=zX", tg>/== Y".

132. Remarque. — La méthode précédente, quoiqu" applicable en principe à tout système qui ne contient que les lignes des angles inconnus séparés, conduit souvent à des calculs très difficiles et quelquefois inextricables.

Il faudra, alors, chercher une modification du système qui le présente sous une forme plus commode. Cette modification n'est, en général, qu'un pur artifice et on ne peut guère indiquer de règle générale a ce sujet.

Voici un exemple de ce type.

Problème. — Ilésoudre le sijstèmp :

( cos X 4" cos y = a, "■'■' ' sin:f + sin,v = 6.

Si on applique à co système ia mélliode indiquée plus haut, eu

liQLIAÏlOSS ÏHIGÛNOMÉTHiyiiKS SIMULTANÉES. 163

prenant, par exemple, Ig - eL tg ^ pour inconnues auxiliaires, on

parvient à deux systèmes fort compliqués dont la résolution dépend

de celle d'une équation du 4" degré.

Voici, alors, comment on peut diriger les calculs : l^crivons les deux équations (1) sous la forme suivauLo :

Divisons-les, membre à membre, et nous aurons : (3) '5°^ = ?.

équations (2) donnera — — -^- On aura, par exemple,

(-1) cos ^~^ : .. -—^ .

■2 cos — —^

Biscussion. — La valeur (3) de tg — ~- est toujours acceptable.

Pour qne celle do cos — ^-^, donnée par la l'onnule {A), le soit, il faut que l'on ail :

4 cos" — - — Or, en vertu de l'équation (3),

On doit donc avoir, linalenient,

184 LKÇONS DE TRlCOi^OMÉTIIIE.

Résolulioi). — Cette condition élaot remplie, soit ». un angle tel que

on devra avoir

On en conclut :

Soit p un angle tel que

cos p = r ,

2 COS a

L"ZJ/

A et k étant des entiers positifs, négatifs ou nuls.

Des formules (6) et (7) on tire, enfin, les valeurs suivantes d'à' et d"?/ :

( X ^ 360 {A + /;) rh p + «, \ j/ = — 360 /i H= jî 4- a.

h et /.: étant deux entiers arbitraires, ces deux formultis peuvent s'écrire, plus simplement.

( iy = 360 5 i^ p + a.,

dans lesquelles les signes supérieurs et inférieurs qui précèdent p se correspondent et p et 9 désignent des entiers positifs, négatifs ou nuls.

Reuarque. — Il arrive fréquemment qu'on rencontre des systèmes, tels que le système (1) précédent, symétriques en x et en y. Il y a, la plupart du temps, avantage, pour les résoudre, à procéder comme nous l'avons fait et à chercher à calculer 'x-\- y ^X x — y.

ÉQUATIONS TillGONOMÉTBlQUES SIMULTANEES. 165

133. Cas où les inconnues elles-mêmes figurent dans les équations. — IjOrsque les inconnues figurent dans les équations, non seulement par leurs lignes trigoiioiné triques, mais encore eUes-mêmes, on ne peut plus indiquer de procédé général de résolution. Tout dépend alors de l'ingéniosité du calculateur.

Le cas le plus fréquent, celui du moins qui se rencontre le plus souvent dans les résolutions de triangles, est celui où il s'agît de calculer deux angles connaissant leur somme ou leur différence et une relation entre leurs lignes Mgonomélriqites. Ce cas se ramène immédiatement au cas d'une équation à une seule inconnue du n° 126.

Supposons, par exemple, qu'on connaisse la somme x -f- ?/ des deux angles iii<:oiinus :

On ctiercliera à calculer x — // ou — — ^- . Nous poserons

et nous aurons :

l!;n portant ces valeurs dans la relation Irigonométrique donnée, on n'aura plus qu'une équation à une inconnue s. De même, si on connaissait x — ^i on calculerait x -\- y. Nous nous bornerons à traiter des exemples de ce type. 134. Problème. — /tésotidre le système :

Proposons-nous de calculer La seconde équation s'écrit :

LiTfiUS m TmGONOMKTUIE.

Or, en rendant le premier membre calculable par logarithmes, on 1, d'après la formule |51] (ii° 93),

sm^ — siii;'/

fil. ceiie équation s'écrit, enliii.

Le système [i] s'écrit, par suite, (2) jV = l'

On connaît donc " ' et '■ — -~- ce qui donne x et y.

Comme îa tangente peut prendre toutes les valeurs possibles, le système admet toujours des solutions. Soit a. un angle tel que

■on aura :

1^ =a + [mk.

Et, par suite, toutes les solutions sont données par les formules

■.-+.j. + tëOlc,

[degrés]

oh h' désigne un entier posîtil', négalif ou nul.

ÉQUATIONS TBIGOWOMÉTRIQUES SIMULTANÉ^;;;.