CHAPITRE PREMIER TRIANGLES RECTANGLES
136. Notation. — Nous désignerons toujours, dans la suite, un triangle pai' les trois lettres A, B, C placées aux trois sommets. Les trois angles, mesurés en degrés, seront désignés par A, B, C et les longueurs des trois côtés par a, b, r, a étant le côté opposé à l'angle A, b étant opposé à B et c à G.
Lorsque le triangle sera rectangle, nous placerons ioujonrs la lettre A fi.u sommet de l'angle droit, de telle sorte que l'on aura
et que les deux angles iî et G seront complémentaires,
Un triangle rectangle n'a donc que cinq éléments variables : a, b, c, B, G. Il existe entre ces éléments, pris trois k trois, des relations que nous allons d'abord établir.
137. Théorème. — Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit est égal au produit de V hypoténuse par le cosinus de l'angle aigu adjacent ou par le sinus de l'angle aigu opposé.
Soit le triangle rectangle ABC {/!</. 37), rectangle en A. Prenons, sur CAetCB, des sens positifs de C vers A et de G vers B, On aura, alors,
CX = b, CB = «.
yGoosle
110 LEÇONS BK TRIGONOMCTIIIE.
Or, CÂest la projection ortliogonale de CB sur l'axe CA, on a donc, d'après le théorème du numéro 44,
CÂ = CB. cos(CA,CB) et, par suite,
(1) h =1 ncosC.
On prouverait, de même, que
(2) ■-. = nwsM.
Les angles B et C étant {ximplémentaires, on a
cosC = siuB,
Les relations (l) et (2) -> deviennent donc :
(3) Ij = ftsiuB,
(4) c = asinC.
Des formules [i], (2), (3), (4), résulte l'exactitude de l'énoncé. 138. Théorème. — Dans tout triangle rectangle, un côté de l'angle droit est égal au produit de Vautre côté par la tangente de l'angle aigu opposé ou par la eotangenle de l'angle aigu adjacent. On a, en effet, d'après le théorème précédent : b = ttsiuB, c = rtCOsB.
Co qui donne, en divisant membre à membre,
\ 6 = c tg B, ' c = icotgB.
Lu divisant de même, membre à. membre, les égalités c — asinC, b = ftcosC,
{, h = ccotgC,
' C3. ngc.
yGoosle
a cos C,
a cas II;
dsinC; «teB, HgC;
TillAMGLES IIECTAKGLES. Hl
139. Résumé. — Des deux théorèmes précédents, il résulte qu'il existe, entre les cinq éléments o, b, c, B, C d'un triangle rectangle (« éLanL Thypolénuse), les relations suivantes :
auxquelles on peut ajouter la relation de Pjtliagorc „^ — b'-+- c'.
On a, ainsi, huit formules et il est facile de se rendre compte qu'on a toutes celles qui contiennent trois éléments quelconques, pris au hasard. En effet, une telle relation peut contenir d'abord les trois côtés, c'est la relation de Pythagore. Puis, elle peut contenir deux, des côtés a, 6 ou c et l'un des angles B ou C; il n'y a que six combinaisons possibles qui correspondent aux six formules [33], [56] et [57]. Enfin, i[ ne peut exister une relation ne contenant qu'un côté et les, angles B et C et où figure effectivement le côté; car, s'il en était ainsi, on pourrait calculer les côtés d'un triangle rectangle connaissant uniquement les angles et deux triangles rectangles semblables seraient égaux. En d'autres termes, si l'on cherche une relation entre un côté et tes deux angles B et C, le côté ne devra pas figurer dans la relation qui, par suite, devra être équivalente à l'égalité
B -I- C = âO".
140. RCsolutloii des triangles rectangles. — Résoudre un triangle rectangle, c'est calculer les cinq éléments de ce triangle connaissant deiix données. Les cas les plus simples de résolution sont ceux où l'on donne deux des éléments du triangle ; et, pour que le problème soit possible, il faut, évidemment, que, parmi ces données, il y ait au moins un côté. Les formules résumées au n" 139 fournissent, alors, dans tous les cas, la solution du problème. Ces égalités sont, en effet, tontes celles qui peuvent exister entre trois éléments du triangle; donc, étant donnés deux éléments dont au
m i,Et;ONS [>P. TlilGONOMLTIllE.
moins un cûté, il y a une de ces formules qui contient ces deux éléments el un troisième, inconnu.
Il peut se présenter quatre cas différents, suivant les éléments qui sont connus. En voici l'énumération.
On peut se donner :
i" L'hypoténuse et un angle aigu.
2° C/n côté de Vangle droit et un angle aigu.
3° L'hypoténuse et un calé de l'angle droit.
4" Les deux côtés de l'angle droit.
Nous allons traiter, successivement, ces quatre problèmes.
Nous désignerons, comme toujours, par a, b, c, B, C, les cinq éléments du triangle rectangle, a étant l'hypoténuse.
141. Premier cas. — Les données aont a r( B. — I sont donc i, c, et C.
On a, de suite,
C =1^ 90" — B; puis, îes l'urmules [55] et [56] donnent :
Le problème est toujours possible pourvu que B soit aigu. Calculons encore la surface S du triangle; on a :
Toutes les formules sont caîculables par logai'ithmes.
142. Deuxième cas. — Les donnéns sont b cl B. — Les i sont a, c et l'angle C.
On a, de suite,
C = 90" — B; puis, les formules [56; et [57] donnent a de :
c — h cotg B.
La surface est :
fc A^cotgB
yGoosle
THiANGLKS BKCTANGLES. ITà
Remarque. — Le cas où les données seraient 6 et C serait identique à celui-ci ; car dès qu'on connaît C, on a aussi B en prenant le complément.
143. Troisième cas. — Les données sonl a et b. — Les inconnues sont : le côté c et les angles B et C.
On a, d'a!)0rd :
Kiii B^-;
:e qui donne l'angle B.
Connaissant B, on a :
= 90" — I '. b cotg I
Remarque. — Le calcul précédent sera surtout avantageux lorsqu'on connaît non pas «et è, mais leurs logarithmes] car, alors, il n'exige que le calcul d'un seullogarithme, celui de iojcoi^B. Lorsqu'on donne a et 6 eux-mêmes, il faut calculer (rois logarithmes ; ceux de a, b et cotg B. Dans ce dernier cas il y a, alors, avantage à employer les formules suivantes qui n'exigent que le calcul de deux iogaritlimes. D'après la relation de Pythagore on a :
doù D'autre part, on a :
et, par suite,
174 LEÇONS UE Tdir.OiNO^SKTIilE.
On en coni^liit :
, C il — h
La formule (l) donne r, la formule (■2) donne C et, connaissant C,
B = ilO° — C.
Comme on le voit, ces formules n'exigent que les calculs de lo,j {a — b) et % [n + h).
Pour que le problème soit possible, il faut que a soit plus grand que é, ce qui était évident, « priori, puisque a est l'hypoténuse.
144. Quatrième cas. — Les données sont b et c. — Les inconnues sont, alors, l'hypoténuse a et les deux angles aigus B et C.
On a, d'abord,
connaissant B, on a :
Ces formules sont calculables par logarithmes et le problème est toujours possible.
Remarque. — On aurait pu vouloir calculer a au moyen des données. Il aurait, alors, fallu recourir à la relation
TH[ANL;Lh;S RECTANGLES.
Mais cette formule n'est pas calculable par logarithmes.
Il est d'ailleurs à remarquer que si on la rendait calculalile par
logarithmes, on retomberait sur le calcul précédent. Écrivons, en
effet, a sous la forme :
lg^ = -,
= Hi- + cotg^o = .
En comparant ces formules aux précédentes, on voit que o n'csl autre chose que B.
145. Disposition pratique des calculs. — Pratiquement, pour faire les calculs d'une résolution de triangle, on les dispose de la façon suivante. On partage la feuille sur laquelle on fait les calculs, en deux parties. Dans la colonne de gauche on inscrit les calculs auxiliaires, c'est-à-dire les calculs des logarithmes de toutes les quantités qui figurent dans les seconds membres des formules. La colonne de droite est réservée aux calculs dé/iniiifs, c'est-à-dire aux calculs des inconmies.
Voici, pour chacun des cas précédents, un exemple numérique.
J'ai, volontairement, pris, dans ces exemples, le même triangle. Les résultats se contrôlent ainsi les uns les autres. Il sera bon de remarquer que les différences, lorsqu'elles existent, ne portent que sur le dernier chiffre décimal qui diffère d'une unité. Ces différences proviennent de ce que les approximations ne sont pas toujours dans le même sens.
LEÇONS DE TlilCO^OMI'TIIIK.
Calculs auxiliaires.
1° Calcul de loga.
2" Calcul de /o^siiiB.
pour 2" 64,2
poMr 0".7 a2,47
poiir 0",03 0,963
/o,(?SLLl]!= 1,1397594.
3" Calcul de lag cos B.
iogeos^— 1,9330339.
Calculs définitifs.
1" Calcul de b.
Ion " = 3.5'39eST ^off siii B = i",13075e4
tog b =^ 3,31-37421 oiii- 3137273 30546 i = ïll.
diff. — 118
2" Calcul de c.
%rt = 3,5739837
;ûc/ = 3,49501S0 4950029 312ei
diir. = 1
our I:
dlff: =
yGoosle
SrANliLES liKCTA.\Gl.l-:S.
Deuxième cas.
Inconnues. . . V; = 3740,957, ' c =3lS6,l9i.
Calculs auxiliaires.
1" Calcul de loijh.
.. 9051G 'àUTi73 A — 211
lofjb ^3,3121431, ■2" Calcul de colog siaB.
raa-lS'aO" i,7397506 i = 3il.
io(7sm!! = 1,7397594, cotof/ sin B = 0,260îiU6.
log MtgB = 0,18Sî73y.
Calculs définitifs.
-2° Calcul de c.
log II = 3,3127491 log cotg B = 0,1833739
lof/ c ~ 3,4950100
rfi/f. = 131
LEÇOINS DE TUlCOMOJlÉïrilE.
Troisième cas.
Ini
B = iiO''
-C, c = y,'li: — b] {a+ b).
Calculs auxiliaire
Calculs définitifs.
r Calcul de C.
1" Cakttl de logia—-
loQ [a -b) = 3,2269315 ra%(n + &l=î,93C8996
2 /os 1^'^= 1,4638311 /ufllg^^ 1,7319155
loi/ (" — b) = 3,2369315.
2" Calcul de /o^(a +
poKi- 1,7318972 a8°20'30" A:^501
diff. = 183 poiu- 151,2 3"
diff-.^ 31,8 pow 30,24 0".6
sr 0,2 15
diff.^ 1,56 po>i,- .... 1,51 0",03
hg ia + h] — 3,7031004, lo9{a + b]= 4,^368996,
^ = 28" 20' 33",63 C. = 56" iV 7" ,26.
2" Calcul de C.
;o? ((1 — 6) = 3,2269315 log (a + 0) = 3,7031004
2 hg c -- 6,0900319 log c — 3,4950159 pou,- 4950029 31261 A = 139
'Jiff.. =130 pour 125 0,9
di/r..= 5
TlilANGLES RECTANCI.KS.
Quatrième cas.
Calculs auxiliaires.
1° Calcul de logh.
mai- 305J6 31^7273 i-
iDW 0,70 1J8
log 4 = 3,3127Jai.
2° Calcul de cologc.
•om- 31i61 J950039 A =
3" Calcul de cologsi r 33°J8'50" 1,7397506
U ~ 33n8'5S",7a, Inconaues. .. C — 56°ll'7",a8,
Calculs définitifs.
1" Calcul de B.
loi/ b = 3,3127421 colof) c = i",5049840
% (gB=^î,8177S61 !>«)■ 1,8177136 03° 18' 50" l
'■l" Calcul de a.
log si[lB = 1,7397503 cologûn B = 0,260^407.
146. Cas non classiques. — Les cas que nous venons d'examiner, cas dits « classiques », comprennent tous ceux où les données sont deux des éléments du triangie rectangle. Un tel triangle est,
180 LEIiOîNS DE TltlGO-^OMÉTItlE.
cependant, parfaitement déterminé, lorsqu'on se donne deux quantités, dont au moins une longueur, liées intimement au triangle. Ainsi, par exemple, un triangle rectangle est déterminé dès qu'on se donne la hauteur relative à l'hypoténuse et un angle aigu; ou lorsqu'on donne les deux segments en lesquels la hauteur partage l'hypoténuse.
Si on a une donnée autre qu'un élément du triangle et un élément de ce triangle, on exprimera cette donnée en fonction des éléments du triangle. Cette égalité, jointe h trois des formules du n° 139, convenablement choisies, fournira quatre équations pour déterminer les cLuatre éléments inconnus.
Si les deux données ne sont, ni l'une ni l'autre, un élément du triangle, on exprimera ces deux données en fonction de ces éléments. On obtiendra ainsi deux égalités qui, jointes a trois des formules du n" 139, convenablement choisies, fourniront cinq équations pour déterminer les cinq éléments.
Voici deux exemples de ce genre de questions.
147. Problème. — Résoudre un triangle rectangle, coimaissanl la hauteur h, relative à thypoténuse, et l'angle aigu B.
Soit AH {/ig. 38) cette hauteur. Dans ie triangle rectangle ABH on a :
{1} /, r3 AB sin B = c sin B.
Joignons à celte égalité les formules ;
