BC' =TC^ + ÂB' + 2AC X AH

Or, ici, le point II tombe sur le proiongemcnt de AC du cùté de A. et l'angle BAH est le supplément de l'angle A. On a donc :

cos (BAH) = — cos A et AH = AB cos (BAH) = — c cos A.

(1) Voir dans les Leçons ,k d'oim-b-ie is M. IlaâamarJ, le il" 1>S.

VORMdLES PÛUil DES TIUANGLES QUELCONQUES. 18^

Portant celle valeur de AH dans la relation (2) et remplaçant BC, AC et AB par leurs valeurs, on en conclut encore la relation :

(3) «^ = 6^ -L- c^ — 2 6-; cos A,

qui est donc vraie dans tous les cas.

On démontrerait, de même, que

(4) b^ — c^ -\- a^ — 2 ca cos B,

(5) c^ = «^ + é'^ — 2 aô cos C.

Remarque. — On déduit aisément la formule (4) de la formule (3) par ce qu'on appelle une pei-mutatinti circulaire effectuée sur les lettres a, b, cet A, B, C.

Permuter circulairement a, b, c, c'est remplacer a par b, b par c, cpar a; c'est-à-dire que c'est remplacer chaque lettre par la suivante, la première, a, étant considérée comme celle qui suit la dernière c.

La formule (b) se déduit, de même, de la formule (4) par une permutation circulaire. Il suffit donc de connaître la formule (3) pour pouvoir écrire, immédiatemeut, les deux autres.

i51. Théorème. — Bans un triangle, un côté est égal à la soiïi'me des produits obtenus en multipliant chacun des deux autrex côtés par le cosinus de Vangle qu'il forme avec ce premier côté.

Soit [fg- 41} le triangle ABC. Prenons sur BA, AC et BC, des sens positifs de B vers A, de A vers C et de B vers C. On aura, alors,

M =: c, ÂG .- 6, BC = a.

Or, le segment (BC) étant la résultante des segments (BA) et (AC),

ISO LEljONS DK TtlIGONOMÉTRIK.

on a, en projetant les trois segments sur un axe quelconque {n" 8). proj. BC = proj\ BA + prnj. AC.

Projetons sur l'axe BC, on aura :

proj. BC i=r BG --- a, proj. M = BÂ cos (BC, BA) = c cos B.

proj. ÀG - ÂC cos (BC, AC) = i cos C.

On en conclut

fl =1 è cos C -j- f: cos B,

ce que nous voulions dénioutrcr.

On prouverait, de même, que

^ c cos A + fï es C, c ?= a cos B -j- ô cos A,

relations qui se déduisent de la précédente par des permutations circulaires effectuées sur les lettres a, ù, c et A, B, C.

Remarque. — Si, au lieu de projeter sur l'axe BC, on projetait sur un axe perpendiculaire à .BC, ou aurait, comme il est facile de s'en rendre compte,

— c sin B — * sin C,

et on retrouverait, par une nouvelle voie, les roliitions du u" 149.

152. Résumé. — Des trois théorèmes qui précèdent, il résulte que l'on a, entre les six éléments, a, b, c et A, B, C d'un triangle quelconque, les trois groupes de formules suivants :

[58] sin A ~" sin B sin C

■ a' — b' + é — Vjc cos A,

[59] ¥ = c^ + ft^ — 2ca cos B.

' c^ — n^Jf-b''— lab cos C ;

. a =1 b cos C + c cos B, [60] ,b = c cos A -|- a cos G,

' c ^j rt cos B + ^ <^os A.

l-OBiMUI,Ea POUR DES TBIAHGLES QUELCOMtJDKS. 187

Les groupes [58] et [59] sont formés d'égalités dont chacune contieut quatre éléments du triangle. Il est facile de se rendre compte qu'on peut en déduire toutes les relations qui peuvent exister entre quatre éléments quelconques d'un triangle.

D'abord, entre quatre éléments d'un triangle, dont au moins deux côtés, il ne peut exister deux relations distinctes. Car, sans cela, en résolvant ces deux relations par rapport à deux côtés, on pourrait calculer deux côtés du triangle ne connaissant que deux autres éléments; par suite, un triangle serait déterminé par deux éléments, ce qui n'est pas,

Ceci posé, il peut d'abord y avoir trois relations contenant chacune les trois côtés et un angle : ce sont les relations du gçoupe [59]. Il peut, ensuite, exister neuf relations contenant chacune deux angles et deux cotés : ces neuf relations sont toutes contenues, implicitement, dans le groupe [58]. En remarquant, en effet, que

sin A = sin (B -f C\ sin B = sin(C + A), sin C = sin (A + B),

puisque

A+ lJ + C-:-:180',

on déduit, des relations [58], les 9 suivantes :

ffl sin B — 6 sin A = 0, 6 sin C — c sin h = 0, c sin A — (i sin C ^ 0,

H sin (C + A) — i sin A — 0, 6 sin {A + B) — c sin B = 0,

c sin{B + C) — ft sinC — 0, '( sin B — 6 sin (B + C) = 0, è sin C — c sin (C + A) — 0,

csinA — flsin(A + B) = 0.

Enfin, il ne peut exisler une relation contenant les trois angles et un côté, où ce côté figure effectivement ; car, sans cela, on pourrait calculer un côté d'un triangle, en connaissant les trois angles; et deux triangles semblables seraient égaux.

.Donc, si l'on cherche une relation ne contenant qu'un seul côté, ce côté ne pourra pas y figurer et on devra parvenir à. une égalité équivalente à

Nous avons donc toutes les formules à quatre éléments possibles.

!38 LEÇO?iS DE TIUGUNOMÊTIUE.

153. Équivalence des trois groupes. — Il est aisé d'apercevoir, a priori, qu'il ne peut exister plus de trois relations distinctes entre les six éléments d'un triangle. S'il en existait, effectivement, quatre, on pourrait, grâce à ces quatre relations, calculer quatre éléments du triangle, n'en connaissant que dmx et un triangle serait parfaitement déterminé par deux éléments. Or, ceci est contraire aux propriétés géométriques connues des triangles.

Chacun des groupes [58], [59], [60] étant formé de trois égalités distinctes, il est donc à prévoir que ces trois groupes ne sont pas indépendants et que, de l'un d'eux, on peut déduire les deux autres.

C'est ce que nous allons montrer.

Précisons. Nous allons prouver, non pas que les trois groupes sont absolument équivalents quels qw; soient a,b,c A, B, C, mais qu'ils le sont lorsque o, 6, c A., B, C sont les éléments possibles d'un triangle : c'est-à-dire lorsque a, Ô, c sont positifs et lorsque A, B, C sont des angles positifs et plus petits que ISO" (').

i" Èquioalence des groupes [59] et [60]. — Etant donné le groupe [60], proposons-nous, par exemple, d'en déduire ia première formule [59]. Cette formule est Vunigue formule qui contient les éléments a, b, c, A; on l'obtiendra donc certainement en éliminant cos B et cosC entre les formules [60].

Des deux dernières équations [60] je tire :

* - e cos A cos C = ,

Portons ces valeurs dans la première, il vient, en multiiiliant par a,

il' := h [h — c cos A) -\- du — Ij cos A), d'où, en simplifiant,

a^^i^ + c^ — 2iccosA.

Le groupe [59] est donc une conséquence du groupe [60].

Réciproquement, montrons que le groupe [60] peut se déduire du groupe [59]. Proposons-nous, par exemple, connaissant le groupe [59] , d'obtenir la première des formules [60] . Il suffit, pour cela, d'ajouter,

FORMULES POUR DES TlilAXGLES yUCLCOhgUES. ISd

membre à membre, les deux dernières relatioos [59]. Il vient, en effet, en supprimant Ij' -\- c^ aux deux membres,

;= 2((^ — 2ra cos B — 2ai cos G.

Divisons les deux membres par 2f(, qui esL dilïerenl de z.éro par hypothèse, et nous avons :

(ï, = c cos B -j- h cos C,

qui est bien la première égalité [60].

2° Equivalence des groupes\^%] et [60]. — Connaissant le groupe [58], il est facile d'en déduire le groupe [60]. Cherchons, par exemple, k former la première équation [60].

Puisque

A = ISO" — (B + C),

sin A = sin (B + C), c'est-à dire

sin A — sin H cos C -|- siu C cos B.

Désignons par k le rapport ^ , on aura, d'après les premières

formules [58],

sin A = ka, sin B = kb, smC = kr..

Portons CCS valeurs dans la relation précédente ; il vient :

/,« 1- M cos C + kc cos B.

En divisant par k qui ne peut être nul, on a bieu

H — è cos C + c cos B,

Réciproquement ,da groupe [60] clierchons à déduire le groupe [58]. La relation :

étant la seule relation qui puisse exister entre a, h, A et B, on l'obtiendra certainement en éliminant c et cosC entre les égalités [60].

\-'M I.KÇOiXS Ut: ÏRifinNOMSTRIK.

Des doux premières ligalilés [60j, on lire :

ècosB — acosA

cosC= 5 — --,

flCOsB — - ôcosÂ

«cosB — ècos A"

Portons celle valeur de c dans la deuxième, il vienl, après avoir chassé le dénominateur,

a- — b- =: {acosB -|-/;cos A) («cosB — 6cosA}

a^ — II- = a^ cos- B — h^ cos- A, ft^ ' — cos^ B) ±= fis (i — cos^ A) et, enfin.

«-sin- B = fissin! A.

Comme, d'après les restricLious faites plus haut, a, h, sin A et sin B sont positifs, on conclut de là, sans ambiguïté.

sin A sin B On prouverait de même que

La proportionnalité des sinus aux côtés étant ainsi établie, nous pourrons en tenir compte pour obtenir la deuxième relation [58]

Posons

'( Tiz. /isin A, b = ^si

FORMULhJS POUll DKS ïlilA^GLES QUEIXO.XtlUKS. 191

Portons ces valeurs de o, b, c dans les trois égalittis [60], elles deviennent, après avoir divisé par h,

sinA = sin(B + C), sinB:z.sin(G + A), sinC = sin(A. + B].

A., B et C étant, par hypothèse, des angles compris entre 0° et 180", !a première de ces égalités ne peut avoir Heu que si on a

soit A -^ B -i- G,

soit A + B + C ^ 180".

De inÉme, la seconde rotation exige que l'on ait soit B 1=: C H- A,

soit A + B + C= 180",

Et, cnlin, la troisième relation donne soit C= A + B,

soit A-LB + C --I80^

Si donc on n'avait pas

A + B 4- C r^ 180", il l'aiidrait avoir, à la fois,

A = B + C, B ^. C + A, C -^ A + B et ceci est impossible car on en déduirait

3" Équivalence des groupes [58] el [59]. — Les groupes [58] et [59] étant équivalents, l'un et l'autre, an groupe [60], sont, nécessairement, équivalents entre eux.

154. Théorème. — a, b, c étant trois nombres positifs et A, B, C trois angles positifs plus petits que 180° vérifiant l'un des trois groupes [58], [59] ou [60], il existe un triangle dont les côtés ont pour mesures a, b, c et dont les angles sont A, B, G.

Les trois groupes [58], [59] et [60] étant équivalents lorsque a, />, c

193 LILÇONS m TUIGOXOMÉTHIU;.

sont positifs et A, B, C compris entre U" et 180% il suffit d'établir la proposition dans le cas ofi les six quantités vérifient le groupe [59]. Je dis, d'abord, qu'avec les trois longueurs a, h, c, on peut construire un triangle. Pour cela, il suffit de prouver que l'une quelconque de ces longueurs est plus petite que la somme des deux autres. Or, on a, par hypothèse,

a- --• h- -\- c- — 2/1CC05A et, comme

cos A > — 1 , on en conclut que

a et è -]- c élant positifs, ceci entraine

On verrait de mÉme que

Je dis, maintenant, que les angles de ce triangle sont égaux à A, B et G. Soit, en effet, A' l'angle opposé au côté k. On aura, d'après le théorème du ■a" 150,

a- =1 Ij- -\- <:- — 2hc cos A'.

Mais, par hvpolhÈse,on a aussi

«'=z/,' + c3^6(;cosA;

on en conclut que

cos A' = cos A.

Les angles A' et A étant compris entre et ISO" ceci ne peut avoir lieu que si

On montrerait, de la même façon, que l'angle opposé au côté b est B et que celui qui est opposé à c est C.

Remarque. — Ce théorème aura son importance dans la discussion des problèmes de résolution de triangles. Car, pour exprimer

FOIIHUI-ES POUli LIES THIAÎSGLES Q.U El .CONQUES. 193

qu'un tel problème a une solution, il suffira d'exprimer que les valeurs trouvées pour a, b, c, sont positives et que celles de A, B, C sont comprises entre 0° et 180". Il sera inutile de vérifier, comme on est forcé de le faire en algèbre, que chacun des côtés est plus petit que la somme des deux autres, puisque cela aura toujours lieu.

155. Théorème. — La surface d'un triangle a pour mesure te demi-produit de deux côtés par le sinus de langle compris.

Soit un triangle ABC, BH {fig. 40) la hauteur issue du sommet B. La surface S du triangle est donnée par la foririule (') :