RÉSOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES

156. Cas classi(|ues. — Des propriétés gcomctciques des triangles, il résulle qu'un triangle quelconque esl déterminé dès qu'on se donne trois quantités indépendantes (') liées à ce triangle, dont au moins une longueur.

Les cas .dits » classiques » sont ceux oti les trois données sont trois des éléments du triangle, dont au moins un côté.

Nous désignerons, comme toujours, par a, b, c, les trois cùtés du triangle, et par A, B, C, les angles.

Il est aisé de se rendre compte, a priori, qu'étant donnés trois des six éléments, les formules [58] et [59] permettent de calculer tous les autres. Comme nous l'avons, en effet, remarqué {n" 152), les groupes [58] et [59] fournissent toutes les relations à quatre éléments possibles. Etant donnés trois éléments, on pourra toujours tirer de ces deux groupes une formule contenant ces trois éléments et un quatrième élément inconnu (pourvu qu'il y ait au moins un cùlé dans les données)- Cette formule fera connaître l'élément inconnu en fonction des trois autres.

Énumérons les divers cas qui peuvent sa présenter.

1° On peut se donner un côti! et deïix angles. Peu importe quels sont ces deux angles, car dès qu'on connaît deux angles on connaît le troisième, en prenant le supplément de la somme des deux autres.

2° On peut se donner deux côtés et un angle. Ce cas se subdivise en deux, suivant que l'angle est compris entre les deux côtés ou opposé à l'un d'eux,

3° On peut se donner les Irais côtés.

Il y a donc, en tout, qualiv cas que nous allons examiner successivement.

196 LEÇONS ])E TRlGOriOMETilIF:.

157. Premier cas. — Résoudre un triangle connaissant un côlé et deux angles.

Supposons qu'on connaisse le côté a et les deux angles adjacents Bel G.

Écrivons les formules [58],

îiïi A. sin B sin C '

On a, immédiatement, A

Connaissant les trois angles, on a les deux cùlés 6 et c : a sin B a sin G

sin A ' ' sin A

)ar des formules calculables par logarithmes. La surface S est donnée par l'égalité (n° ISS) :

, en remplaçant 4 et c par leurs valeurs, (t^ sin B sin G

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffît que la somme B -|- C soit plus petite que 180°.

158. Deuxième cas. — Résoudre un triangle connaissant les deux côtés et l'angle compris.

Soient è et c les deux côtés connus, A l'angle compris.

On a, de suite, pour déterminer les deux angles B et C, le système suivant de deux équations à deux inconnues :

,' sin B ô ) sin C ~ c' ( B + G = iSO' — A.,

fourni par le groupe [58]. Nous sommes ainsi ramené à un problème connu (n" 134).