I.KGÛfiS DE TRIGONOMÉTIIIE
et ceci a bien lieu.
Les valeurs de B et C sont donc toujours acceptables et comme la valeur de a donnée par la formule (3) ou la formule [i] est positive, le problème, d'après une remarque faite plus haut [n" IM), a toujoîirs une solution et une seule.
Ce résultat est évident géométriquement, car on peut toujours construire un triangle dont on connaît deux eûtes et l'angîe compris, quelles que soient les données.
Remarque I. ~ La formule ("2) n'est calculable par logarithmes que si on connaît les côtés i et c eux-mêmes. Dans bien des questions, en particulier dans les calculs de triangulation (voir plus loin n° 178), on ne connaît pas b et c, mais seulement leurs logarithmes. Pour éviter des calculs inutiles, il faut, alors, rendre cette formule
calculable par logarithmes. Pour cela, on rendra l'expression
calculable par la méthode générale e.xposée plus liaut(n'' 122). On pose :
; = tg('i5«-^);
tg -^— = [g (45° — 9) colg ^.
Dans ce cas, il sera plus avantageux d'employer la formule (3), pour calculer a, puisqu'on connaît déjà log à.
Remarque II. — Le procédé de calcul de a que nous avons exposé plus haut suppose que l'on ait calculé, au préalable, B et C, ou, du
moins, — - — , On pourrait se proposer de calculer directement a
en fonction des donnés b, c. A, A cet effet, il faut prendre dans le groupe [59] la formule à. quatre termes qui contient (ï, /», 1:, A. C'est la suivante :
a~ = 0- -]- c- — 2 bc cos A,
HÉSOLUTION DES TltlANGLES QiJELCOiNOfES. iOI
qui donne
a ^= v'è^ -[- c^ ^ 2 fie cos A,
Cette formule devra être rendue calculable par logarithmes. Ce calcul a été fait, comme exercice, an n" 124 et nous avons vu que, si on pose,
(/, 4- c] sin -
Or, si ou compare la formule qui donne Lg ^ à celle qui donne — - — '- , on voit que l'on a :
On retombe donc, pour le calcul de a, sur la formule (4). Ce nouveau calcul de a, dirigé de la façon la plus avantageuse (de manière à, n'employer qu'un angle auxiliaire <f), nous ramène donc aux calculs précédents.
Remarque III. — La formule (4) peut servir comme formule de vérification pour le premier cas.
D'autre part, on pourrait encore calculer a par la formule suivante :
{1/ — c) cos -
qui s'établit, de la même façon que la formule (4), en écrivant :
sin A^ sin ii — smC'
Cette formule (5) pourrait servir, d'ailleurs, pour la vérîlication de l'exactitude des résultats dans le second cas.
20Î i.Ei;ons m trigotoîiétbik.
159. Troisième cas (cas douteux). — Résoudre un triangle connaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.
Supposons que l'on connaisse les deux côtés a, b et Tangle A opposé au c6té a.
L'égalité
a b sin A sin B
donne, immédiatement, l'angle B,
(1) Bi„B=^*.
Connaissant A. et R, ou a
Les trois angles étant connus, c est donné par la formule :
et la surface est
. •— L'angle B étant donné par son sinus, il faut que la valeur de ce sinus soit acceptable. Comme elle est positive, il suffit, pour cela, qu'elle soit au plus égale à 1 . On doit donc avoir, d'abord,
(4) b sin A -^ (7.
Cette condition étant remplie, on trouvera, dans les tables, un angle p, compris entre 0" et 90", tel que
B étant assujetti à la condition d'être compris entre 0" et 180", on pourra prendre pour B soit :
liLSOLUTlON DES TlilA^GI.ES tlUEIXONQUKS. aûH
A cos deux valeurs de B correspondent, pour C, les deux valeurs :
(6) C^fi — A.
Pour que l'une quelconque de ces deux valeurs de C soit acceptable, il faut qu'elle soit comprise entre 0" et 180". Nous distinguerons, alors, deux cas.
•!" A est aigu. — La valeur (5) est certainement acceptable, car on l'obtient en retranchant de 180° l'angle A -|- p qui est plus petit que 180°.
Pour que la valeur (6) convienne, il faut et i! suffit qu'elle soit positive, car elle est certainement plus petite que 90°, Il faut donc que l'on ait :
Or, les angles p et A étant compris entre 0° et 90°, sont rangés dans le même ordre de grandeur que leurs sinus. L'inégalité précédente sera donc vérifiée si on a
sin p > sin A
ou
b sin A
> sm A .
Comme sin A est positif, ceci entraine
Donc, dans ce premier cas, si
lo prolilèmc n'a qu'«i?e solution obtenue en prenant la valeur {3; de C.
Si h > a,
le problème a deux solutions.
2° L'angle A est obtus ou droit. — La valeur (6) de C ne convient, alors, certainement pas, puisqu'elle est négative (p est aigu).
SOI ],EÇO,NS DE ÏHIGOXOMÉTRIE.
Le problème n'admet donc de soluLion que si la valeur (5) est acceptable. Cette valeur étant plus petite que 180°, il suffit qu'elle soit positive. Il faut donc avoir :
Les angles 180" ^ A et (3 étant tous deux aigus, Tinégalité sera vérifiée si on a
sin (180" — A) > sin j3
■ A tÊ'LA sin  étant positif, ceci entraîne
Donc, dans ce cas, si
le problômo n'a pas de sohUion.
Si a->b,
le problème a une seule solution dans laquelle C a la valeur (5). Résumé. — Cette discussion se résume de la façon suivante :
b sin A > a pus de suluUon.
- . -, ) ( " < 6 deux solutions
-^ { a-^b pas de sokthon.
Ce tableau de discussion peut être présenté d'une autre manière qui est plus intéressante. Remarquons, à cet effet, que la condition
enlraine cerlainement la condition
«>AsiaA,
puisque sin A est plus petit que 1 . De plus, dans le cas « > /<, il y a toujours une solution et une seule.
lŒSOLUi'ION DES TlilAj'Sr.LES 0U1Î1.COISCIUES,
'^ 6sinA<.
pas de solution f A < 90' deux solutions { A^ 90° pas de solution.
Remarque I. — Il serait facile de retrouver les résultats de la discussion précédente par une voie géométrique.
Proposons-nous, en effet, de construire le triangle avec les données a, h, A. Reprenons, pas à pas, la construction indiquée en géométrie ('). Ayant tracé un angle égal k A {fig. 42), on porte, sur l'un des côtés, une longueur AC égale à b. Du point G comme centre, avec a pour rayon, on décrit un cercle qui coupe le second côté AB'
au point B qui est le troisième sommet du triangle ABC cherché
Soit CH la hauteur issue de C.
1° Si CH > a, la circonférence ne coupe pas la droite. I,e problème est impossible. Or, dans le triangle rectangle ACH, on a :
Cil — b sin GAIÎ.
Si Fangle A est aigu {fig. 42, 1), on a
"CAH:==A;
si l'angle A est obtus {fig. 42, II), on a
CAH = 180" — A.
yGoosle
Î06 LEÇONS DE TllI^.0^011ETri^E.
Dans les deux cas
sinCAH — siiiA, et, par suite,
CH — b siii A.
La condition CH > n s'ccrit donc :
2" Si CH < «, c'est-à-dire si b sin A < a, la circonférence coupe la droite AB' en dewx points B' et B". Mais il reste à savoir si ces points sont sur la demi-droite AB' ou de l'autre côté du point A.
Distinguons deux cas.
L'angle A est aigu {fig. 42, I). Dans ce cas, H est sui- AB'. B' est toujours acceptable. U y a toujours une solution. Pour que la solution B" convienne, il faut que l'oblique CB" soit plus courte que l'oblique CA. Il faut donc que
L'angle A est obtus ifig. 42, II). Le point H n'est pas sur AB', La solution B" n'est jamais acceptable. — Pour que la solution B' convienne, il faut que l'oblique CB' soit plus grande que C^ ; il faut donc que l'on ait :
Ces résultats sont en concordance absolue avec les précédents. Remarque II. — La discussion précédente nous a montré que le problèm.c admettait loujoiirs une solution et ntie urule lorsque
c'est-à-dire lorsque l'angle donné A est opposé au plus grand des deux côtés. On peut donc énoncer la proposition suivante (') :
Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux, chacun à chacun, et l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés.
Remarqae III. — La formule (3) que nous donnons plus haut pour le calcul de c suppose qu'on ait caîculé, au préalable, l'angle C. On pourrait chercher à calculer directement c en fonction des données.
ItliSOLUTIOH DES THIAKGLUS OUELCOKnUES. 307
Il faut, pour cela, prendre la formule à quatre termes qui contient c, <ï, h, A. Cette formule est :
fâ —. b' -j- c' — ïbc cos A.
c est donc ainsi fourni par une (équation du second degré
(7) t= — "Ibc cos A + h^ — 0? --. û.
Cette équation donae, pour c deux valeurs, pourvu que l'on ait : b^ cos^ A — b^ -\- w''^ (\ a^'^ b^ siii^ A, ou
a^ à sia A.
C'est la condition (4). Pour que ces valeurs soient acceptables, il faut, encore, qu'elles soient positives,
1" Si è < a, le produit des racines est négatif, il y a toujours une racine positive et une seule.
2° Si 6 >• a, le produit des racines est positif, la somme est égaie è, 2i cos A. Donc, si A est aigu, cos A est positif et les deux racines sont positives, donc admissibles. Si A est obtus, cos A est négatif et les deux racines sont négatives, donc inacceptables.
3" Si è ^^ a, il y a une racine nulle, inacceptable. L'autre racine est égale à 26 cos A et n'est admissible que si A est aigu.
Hous retrouvons, ainsi, par une troisième voie, les résultats de la discussion précédente.
Pour faire le calcul effectif de c par l'équation (7), il faudra rendre la formule de résolution calculable par logarithmes. Nous suivrons pour cela, pas à pas, la méthode générale (n" 123). On a, en résolvant :
-- b cos A ± \'f(^ — 6^ :
c — b\ cos A ± sin A \/ ~-,-, — 1 ■
aOS LEÇO.\S DE TIUGONOJlÉTniE.
et nous aurons :
, cos A sin a ± siii A ces
Or, si nous comparons la valeur de sin a h. celle de sinB donnée par la formule (1), nous voyons que
sin ^ --= sin B.
s étant compris entre Û° el 9'/, on a
3 étant l'angle que nous avons défini dans la discussion. Les deux valeurs de c sont donc :
^^^ sin(^-hA) ^ ^ sin (^ - A ) sinf! ' sin p
Ce sont précisément les valeurs que l'on obtient en prenant pour C, successivement, les valeurs (5) et (6) dans la formule (3).
Les calculs auxquels on est conduit par l'application de la formule (7) sont donc identiques à ceux que nous avons indiqués plus haut. Il faut donc toujours passer par le calcul préalable de B {ou p), pour calculer, par logarithmes, le côté c.
160. Quatrième cas. — Résoudre un triangle connaissant les trois côtés.
Les formules [59] résolvent la question, car chacune d'elles fournit un angle en fonction des côtés. Ainsi, on a
a^ = ès [ ^2 2ic
Cette formule n'est pas calculable par logarithmes. Pour obtenir une formule calculable par logarithmes, on cherche les ligues
HËSOLUTIOiN DES TRUNIILES iJUtLCO.^QUES.
'' .-^ A ^ (ft + c)^ - »' ^ (i + G + 'A {h-hc- f-i) \ '^ 2 kbc 46c
Sm^ -■ ---: TT- — - — — ^-7 .
Pour simplifier récriture, (.lésignons par 2p !e périmùLre du triangle,
np~c)-^a + b-c.
, A p [p — a 2 bc
'2- El) divisant ces lIcus égalités, mcmbi-c à membre, on obtient ;
A / ip - i] (p - c)
210 LEÇONS DE TUlCOfiOMÉTRIE.
On calculerait, <ie mùme, les lignes des angles— et -; mais les
formules que l'on obtiendrait se déduisent facilement des précédentes en faisant une permutation circulaire sur les lettres a, h, c et A, B, C.
On emploie de préférence, pour calculer les angles, les formules qui donnent les tangentes et ceci pour deux raisons. D'abord parce qu'elles donnent lieu à des calculs moins longs ; on n'aura en elTet que quatre logarithmes à calculer ceux de p, p — a, j) — b,p — c, tandis que les formules des sinus et cosinus exigent, outre ces quatre calculs, ceux des trois logarithmes de a, 6, c. Ensuite, comme nous l'avons vu plus haut (n^HS), un angle est déterminé avec plus de précision par le logarithme de sa tangente que par le logarithme du cosinus ou du sinus.
Les formules que nous emploierons pour la résolution seront doue les suivantes :
f62] ts '- - \/^:=-^ii^-^=^
■ ^ 2 - V p{p-c) La surface S est donnée par l'égalité
^, /«sinA , . A A
s --. ■- —. bC SHl - CO.S - ,
En simplifiant, on a donc :
formule bien connue en géométrie (').
RÉSOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. ni
Discussion. — Pour que les valeurs fournies par les formules [62] et [63] existent, il faut et il suffit que le produit
?' iP - «} (P - '') {p - '■') soit positif, c'est-à-dii-e que le produit
soit positif. Soit a le plus grand des trois côtés donnés (ou du moins le cOté qui n'est pas inférieur aux deux autres); les facteurs
c .i^a — ù et a^ />~c seront cerlaiuemeut positifs puisque
l'our que le produit précédent soit positif, il faut donc et il suffit que l'on ait :
Pour que le problème soit possible, il faut donc et il suffit que le plus grand des trois eûtes donnés soit inférieur à la somme des deux autres.
Les angles ^ , et ~ étant tous trois compris entre 0" et 90°, les
formules [62] fourniront une seule valeur pour chacun àc ces angles.
Gomme vénficalion, on devra avoir
yGoosle
912 LEÇONS DE TBIfiûTOMÉTltlK.
Calcul pratique. — Au point de vue du calcul pratique, on dispose les formules de la manière suivante.
Posons
S := pr.
Il sera inulilo de calcu Hliine et on aura :
.lei- j'. On calcule
ra uniquement
H ig 2 = '■°9 '■ + c-'^'-'^Q [P — ")'
'"i/tg^ = logr + colog{p~-c), logB = Logr + logp.
161. Rayons des cercles inscrits. — La quantité )■ que nous avons introduite plus haut, dans le calcul pratique, a une sigiiilî cation géométrique simple : c'est le rayon du cercle inscrit dans le triangle.
Soit, en effet [fig. 43), le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Joignons ce centre aux trois sommets. La surface S du triangle est, bien évidemment, la somme des surfaces des trois triangles OAB, OAC, OBC. Ces trois triangles ont tous même hauteur qui est
le rayon r du cercle inscrit. Leurs surfaces sont donc — ,
On a, par suite,
Or, comme noiis l'avons i
HÉSOLUTION riES T[{IAMGLES QlJELCOiSQUES.
ri a donc :
(fi — a){p — b) (p -
On calculerait, de la même façon, îcs rayons des cercles inscrits. Soit, en effet, 0' le centre du cercle ex-inscrit dans l'angle A; joignons 0' aux trois sommets. On a évidemment :
S — surf. O'AG + mrf. O'AB — surf. O'BC.
Or, les trois triangles O'AC, O'AB, O'BG ont même hauteur qui est le rayon v^ du cercle ex-inscrit 0' ; on a donc :
On trouverait, de même.
y^ et r^ étant les rayons des cercles ex-inscrits dans les angles B et C.
162. Rayon du cercle circonscrit. permettent de calculer aisément le rayon R du cercle circonscrit, en fonction des trois côtés.
On a, en effet (n° 149),
- Les formules précédentes
2 sin - cos -r-
11 l.Ei;0\S DE THlGONOMETltlK,
On en tire, on remplaçant sin — et cos - par leurs valeurs,
m/MP-") ./ (p-6)(p-c ) ^V bc V bc
abc abc
163. Disposilioii pratique des calculs. — Pratiquement, on dispose encore les calculs comme nous l'avons fait dans le cas des triangles rectangles. On fait deux colonnes. L'une, dans laquelle on inscrit tous ies calculs auxiliaires ; l'autre, dans laquelle on place les calculs définitifs.
Voici quatre exemples de calcul. J'ai, dans ces quatre cas, pris le même triangle. Ainsi, chaque cas sert de vérification à l'autre.
On remarquera que c'est le troisième cas (cas douteux) qui donne la solution la moins précise. Cela tient à ce que, dans ce cas, l'angle B, dont le calcul sert pour celui des autres inconnues, est donne par son sinus; il est donc moins bien déterminé que dans les autres cas où il est donné par sa tangente (voir n" 116). Ce troisième cas a, d'ailleurs, deux solutions que j'ai calculées toutes deux.
On pourra, comme exercice, refaire le calcul do deuxième cas en employant, pour déterminer a, la formule (3) (page 197) au lieu de la formule (4) (page 198), que j'ai appliquée.
Enfin, dans chacun des quatre cas, on pourra calculer la surface du triangle. En particulier, dans le quatrième cas, on pourra chercher les rayons des cercles inscrits et ex-inscrits et celui du cercle circonscrit.
liKSOLUTIOK DES THIAKGLES QUELCONQUES.
Premier cas.
Données ] U = ';6°32'4T',a6, i Inconnues..-^ 4—5133,616,
Calculs auxiliaires.
i" Calcul de loga.,
45336 6fH2061 A ; 0,05 4,8
to,ja
2° Calcul de /o<;sinB.
%g!nl) = l,SS79159.
3" Calcul de iojsinC.
4" Calcul de co/o(/sinÂ.
Calculs définitifs.
1" Calcul de A.
180° B + C==I13'ô(i'ri3'',74
A = liU" W 6",i6.
2= Calcul de b.
log a — 3,6312100 >?sinB=ï,!t879159 li/sin A ^0,0618073
log 6 =
diir
3" Calcul de c.
log a = 3,6612100
logc =
di/r.= 48
LIiÇOiNS BE TBir.ONOMK'l
Deuxième cas.
U = 76'3a'17",î5, : G = 4a°18' C",49, ' rt =4583,634.
Calculs auxiliaires.
i" Calcul de log (b + c).
pour S7640 9427024 i^
log (6 + e) = 3,9dîTOB6, co2o3 (6 + c) = 4,0572934.
'2° Calcul de log {b ~\- c).
;>Dw 15152 1S04700 d =
/oiï(i-c)^ 3,1804717.
3° Calcul de log colg-x- «•■ 30" 4'40" 0,3372002 A = .
lus cotg - = 0,2372335.
4" Calcul de log sin — .
pour 30° 4'30" 1,6999532 A — 363.
S" Calcul de colog cos — ^ — .
poiiT W37'30" 1,9814552 A:^ E jjoui- ... — 9" 56,7
Calculs définitifs.
1° Calcul de -
log (A — c) = 3,1804717 coiûff (i + c) = 4,0572934 log cote A
% % -^^ == 1,4749986 'DHJ- 1,4749957 16'37'30"
3° Calcul de a.
tog (b + c) — 3,9427066 iofj SLn-=:r,6999SJ8 B-C
ogco
log a ^ T 6612067
.nff.= 3a
diff.
RÉSOLliTION DES TltlANGLES QUEl.CO NIQUES.
Troisième cas.
poi
Calculs auxiliaires' 1° Cakui de log a.
4dS36 661ÎB07 A— ^J.
(ooa = 3,60lïl0û, :o!og a = i,33a7S00.
â° Calcul de log 6.
pour 51396 7iÛ9303 4= Si.
log b^ 3,7100333. ' 3° Calcul de hgiiaA.
PO'c- 0" 72,6
pour 0",î a, 42
/ossinA — T,03ai9i7, coio((BiiiA= Û, 0618073,
4° Calcul de logsiaG (l" sol.}.
poiB- «•18'' 0" 1,8802001 d = a23
PO'ii- 0" 133,8
pour 0",S il, 15
% an C = 1,8362237.
5° Calt.id de Ion sin C (a° sol.).
pour 10'23'*0" 1, 4506313 A = 710
pour 0",04 2,364
Inconnues ) n — 4SM8'
■entière solution) 1 ' 35244
Inconnues ( ^~*Îb°|'
tixième aoUtion) ) „Zi4e|,fi
Calculs définitifs.
1' Cahid de B.
log b= 3,7100332
%sin A =7,8381397
%^„D=ï,0fi79.3O^^
■tiir- = i
(l"soi.]B= 76'>32'47",2 (2'so;.)B = 103°27M2",S
a- Calcul de C.
ISO"
(1 " aol.)k-{-B= ia6-41'53",4a
(\"sol.)C— 43M8' fi",3i;
{î-soi.)* + B=: 1S3*33')0",06
(3' sol.) C = ia'23'40",04.
B" Cofcui tfe c (1" sol.).
tog a = 3,6UHD0
eolog sia A ^ 0,0618073 ~ !oc«^ 3,5592410
om- 5=92301 30244 A:
