BD

sm B

[i sin -

yGoosle

IIÉSOLIÎTION DES TRIANGLES Ql]ELi:0[SQIJES.

or, oommo

BD + CD--- a, on en conclut, en ajoutant,

(1) n sinB sinC = p sin^(sinB + sinC).

D'autre part, on a dans le triangle rectangle AIIC

(2) è sin C = II.

Adjoignons à ces deux égalités le système

(3) J sin A ^ sin B " " siïTC'

et nous avons un système de cinq équations h cinq inconnues pour calculer B, C, n, b, c.

Calculons d'abord B et C. On a, en divisant membre à membre (1) et (2) et tenant compte do (3),

5in A sin B sin C

=■- j sin ' (sin B + sin C) , A, B + C B — C

Si on remarque que

yGoosle

232 LEÇONS DE TIUGOKOMÉTBIK.

celle dernière relation se simplifie encore et donne :

Comme on a, d'ailleurs,

connaît les angles, on a les côtés; car on a, d'après (2),

puis, d'après (3),

Discussion. — Pour que le protilèmo soil possible, il faut que la valeur fournie pour cos — - — par la formule (4) soit plus petite que 1. 1! faut donc avoir

ce qu) était évident géométriquement.

Cette condition remplie, il existera un angle a, donné par les tables, tel que

Nous pouvons toujours appeler B celui des deux angles iuconuiis fui est le plus grand; — on devra donc prendre

yGoosle

HESOLUTION DES TllTAj\GLES CH!ELCO^QUES.

La valeur de B est acceplablc; car c'est la somme de doux angles 90° — - et 9 tous deux positifs et plus petits que 90°. Pour que la valeur de G soit acceptable, il faut que l'on ait :

Or, les angles 90" — -^ et f étant compris entre 0" et 90°, sont rangés dans l'ordre inverse de leurs cosinus. Il suffit donc que l'on

J^es conditions (6) et (7) sont les seules à remplir; car lorsqu'elles sont vérifiées, les angles sont compris entre 0° et 180° et les valeurs de a. II, c sont positives, ce qui sufiit comme nous le savons (n" 154).

En résumé, pour que le problème soit possible, 11 faut que l'on ait :

psin^<7i<p,

et cela suffit.

Rehaeque. — La relation (4)

m LhX:0^'S DE 'I'HIGOjXOM ÉTHIE.

est facile à élablir directement par des considératioDS géométriques.

H suffit, en effet, d'évaluer l'angle DAH [fig. 44) et de montrer que

cet angle est égal à — ^ — ■ On a, alors, dans le triangli! rectangle

DAH,

'(-:peos(DAH) = [lcos— ^

167. Problème. — Rfisoudre un iriangie co7uiaissant les trois hauteurs.

Soient h, h', h" les trois hauteurs relatives, respectivement, aux côtés «, h, c. On a, de suite, en égalant les trois valeurs de la surface :

A cause de la proportionnalité des sinus aux eûtes, on en conclut sinA Sinlï sinC

Les relations (2) prouvent, alors, que A, B, G sont les angles d'un triangle dont les côtés sont a, p, •;■ Si donc l'on pose :

il suffira d'appliquer les formules [62j du quatrième cas classique et on aura :

(3) •s:^^L, .,«-^, ig^^^L.

J1ÉS0I.UT10.\ l)!iS TRIANGLES QUELCONQUES. 2Î5

Conoaissanl les angles, il serait faciic d'avoir les côtés; mais on peut oblenii- aussi les cùlés au moyen des données. Ou a, en effet,

en exprimant de deux manières diffirenles la surfaca du ti-iaogle auxiliaire. D'autre part,

on en Ui-e :

Ou a rlonc, pour déterrainev les crttés, les formules simples :

Dùcmsioii. — Pour que le problème soit possible, ii faut eL iisullit qu'on puisse avec les trois données ce, p, y résoudre le quatrième cas classique ; il faut donc et il suffit que la plus grande des quantités a, p, Y soit plus petite que la somme des deux autres. Ceci revient à dire qu'il faut et qu'il suffit que l'inverse de la plus petite hauteur soit plus petit que la somme des inverses des deux autres hauteurs.

II faut remarquer que les formules (3) et (^i) ne sont calculables par logarithmes que si on suppose qu'on a calculé directement les inverses a, fl. y des trois hauteurs et, par suite, <o.

168. Remarques générales. — La résolution d'un triangle, comme nous l'avons expliqué (n" 164), conduit toujours à résoudre un système d'équations ii3, 4, -9, ou 6 inconnues, suivant le nombre des éléments inconnus. On ne peut, évidemment, pas donner de règle générale pour résoiidre de pareils systèmes; mais on peut donner quelques conseils qui auront souvent leur utilité.

D'abord, il sera, en général, préférable de calculer les angles inconnus en premier. Les angles étant connus, les côtés s'en déduisent aisément.

Cette façon de procéder conduira, généralement, à des formules d'un maniement plus commode et plus faciles à discuter.

Lorsque deux inconnues entreront symétriquement dans les équations on aura avantage, d'ordinaire, à chercher leur somme et

230 LEÇONS DE TRIGOrfOMÉTRIK-

leur différence plutôt qu'à chercher ces quantités elles-mêmes par des formules directes. Ainsi, si les deux angles inconnus B et C entrent symétriquement, et que A est connu, on connaît B + C, on cherchera donc à trouver B — C.

Si, sur les trois angles, deux d'entre eux, B et C, entrent symétriquement et que le troisième A joue un rôle spécial, il y aura, en général, avantage à calculer d'abord A. Il ne restera plus qu'à trouver B — C,

Le lecteur se rendra compte aisément que, dans toutes les questions que nous avons traitées jusqu'ici, ces préceptes ont été appliqués avec fruit.

Illustrons encore ceci par des exemples :

169. Exemple I. — Résoiich-e un triangle connaissant Ig côlê a et ta sommes des deux atUres côtés.

D'après ce qae nous avons dit, nous devons, ici, calcule: B — G. Or, nousavonsvu (n" 138, l'oruiule (4)), que

rarujh

- = yO" — Ç

donne It et C.

De nn^'ino, 6 et c entrant symétriquement, comme nous coimaissoiis h + e,

nouscaictderotis b — c. I.a formule (-i) du n" tlJS (llem. III) nous donue, de suite,

qui fonruit b — c lorS(-[u'ou a calculé

IIÉSOI.OTION DES TRIANGLES OUELCONQUES. 337

l.e problème est ainsi résolu par des formules calculables par logarithmes.

La discussion se fait sans difricullé.

i70. EXEMPLE I(. — Résoudre un triangle connaissant un côté a, la somme s des deux autres côtés et la hauteur h relative au côté donné a.

D'après les conseils précédents, on devra d"abord calculer les angles et, comme A joue un rôle spécial, commencer par le calcul de A.

On a, d'api'ès les formules du quatrième cas classique (n* i60),

r et p sont faciles à calcidei'. On a, en cffeE, 9p — iï -[■ s el, en ijvaliianl de deux manières di lier en tes la surface du Iriaii^le,

— jUl

'' ~ tf -h s

On a doue, de giiilc, A :

dès qu'on a calculé A on est ramené au cas de l'exemple précédent et hi X'solulioii so termine par l'emploi des form.nlcs successives :

li — C

lacer la dernière par celle- - 2 it /t s B — C

1 calcul logaritlimiqne de moi

2Î8 LEÇONS liE TlIlGOMOMliTRll::.

II suffit, pour se rendre compte de l'utilité de nos remarques, d'essayer de traiter les exemples qui précèdent, en dirigeant les calculs d'une autre manîôi'e,

EXERCICES