C0SA
^(ad + bc)
Ceci s'écrit :
(a + di' — (li — c)' (a + d + b — c)(a + il — i + c
2cûs^ - =
(l, + e)--{„-~dr- (i + c + <,~d ) (t + c-c + ii 2(a<i + 4t) - 21(iti + 6t)
Posons, comme dans le cas du triangle, 2p^a-\-b + c + d
yGoosle
ArPl.lCATION'S LHVEBSES.
2 (p — i) = û + c 4- eî — i-, 2(p — d) = a + b-^C'-d.
On en conclut
Ces formules no sont pas encore calculables par logiii les divisant, on obtient, enfin,
(4) tg^-lA'-i^l'j^^iî
qui est calculaliile par Connaissant A, on i
' logavithraes, iC :
On tfouvcrait,
de E
iiêmc.
■a^ip — Zi) -c)(p-i)
qui, avec
donne les angles B et D.
La surface S du quadrilatère est facile b. calculer. Cette surface est, en effet, la somme des surfaces des triangles ABD et BGD. Donc :
LEÇONS DE TRIGONOMÉÏUll;-
.Bi.A^2si..^cos^=.2V/ "'-""''-/i"'-""'-"' .
2 2V [ad ~\- ocf
sin A = 2
'Jip — a) {p ~ b){p~ c ) {p — d) ^ ad -(- bc '
par suile,
(6) S = vO'-o) (!)-*)())-«) (p-<i)-
Les formules (4), (a), (6) auxquelles nous parvenons sont tout à fait analogues à celles des triangles, qu'on retrouve, d'ailleurs, en faisant d^O.
Discussion. — Pour que les valeurs (4) et (u)de tg-^ et tg- existent il faut que le produit
[p-o){.p~h){p~c){p-d) soU positif; c'est-à-dire que le produit
(S + c + d„)(„ + t + rf(,)(„ + 6+<i c)(„ + (, + t--i)
soit positif, Or, si a est le plus grand des quatre c6lés, les trois derniers facteurs sont évidemment positifs ; il suffit donc que l'on ait :
/;.l c + d — ft>Û ou
Pour que le problème soit possible il faut donc et il suffit que le plus grand des quatre cotés soit plus petit que la somme des trois autres.
Cafcw/rfesdmi/oiafes.^ Dès qu'on connaît l'angle A, la formule (1) donne la diagonale y. Or, on a
a^^d' — b-'-e cos A — — Ki—r-r-rT~ -
on en conclut :
[ad + 6c) ^ jn^ -[- d') bc + ad jb' + c ad -\~ bc
APPLICATIONS DIVEIISES,
Ou a donc
On Irouvci'ait, ûc
:d] la:
ed){,
ic + M;
ai + te
EiimuUipliant leségalités(7)et (8) membre à membre, on relrouve le théorème de Plolémée (')
x'j ---- ab -\- cd,
dans un qaadrilaiire convexe, iu&criplible, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
De même, en divisant membre k membre ces deux égalités, on a :
X ad -\- bc ^
y~ ac-\-t>d'
ce qui est une autre propriété connue (') :
Dam un quadrilatère convexe, inscriptible, le rapport des deuxdiagonales est égal au quotient des sommes des produils des côtés aboutissant respectivement à leurs extrémités.
Calcul du rayon du cercle circonscrit. — Soit R. le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère. Ce cercle étant circonscrit su tvianglc ABD, ou a (n" 149) :
yGoosle
LEÇONS m: TlilCONOSlliTlUE.
lîcmpUiçoiis y, sin - et cos - par leurs valeurs fournies par los Tormutes (3) et (7) et il \iefll, toutes simplificatious faites, 1 . / job + cd) [ac -\- bd) {ad + b7 )
ce qui peut s'écrire :
àab + cd) {ac + bd) {ad + bc) 4S
173. Mesures de liaDtciii-s. — Problème. — Mesurer ta hauteur d'une tour dont le pied est accessible.
Soit AB la hauteur d'une lour verticale [fig. 46) dont le pied A est accessible. Pour mesuroi- la hauteur AB, ou se place en h une
certaine distance de la tour. Du point on vise d'abord un point C, du bas de la tour, situé sur une horizontale passant par 0, On vise, ensuite, le point B, du sommet de la tour, situé sur la verticale de C. On mesure, ainsi, l'angle BOC ^= a. On mesure, de même, sur le terrain, la distance OC :^ cf ou la distance égale A.0'. Dans le triangle rectangle BOG on a, alors,
BG==OCsinBO& = rfsîna; la hauteur de la tour s'obtient en ajoutant h BC, que l'on
.APPLICATIONS DIVERSES. ^il
vienl de calculer, la liauteur AG mesurée directement, au pied do la tour.
174. Problème. — Mesurer la haulew d'une montagne ou d'une tour dont le pied est inaccessible .
Soit A le point culminant de la montagne et P le plan horiionlal h partir duquel on compte les liaiileurs. Soit AH la perpendiculaire [fig. 47) abaissée de A sur le plan P. Il s'agit de mesurer AU, H étant inaccessible. A cet (ïfFei, on se placera en deux stations B et C, accessibies sur le terrain [peu importe que !a droite BC soit horizontale ounon). On mesurera, d'abord, la distance rectiligneBC=^ a. Pais, du point C, en visant, successivement, les points A et B, on mesurera l'angle C du triangle ABC, De même, en visant, du poinl B,
les points A et C, on mesurera l'angle B. Ces mesures faites, on connaîtra dans le triangle ABC le côté « et les deux angles adjacents B et C ; on pourra donc calculer le cfité AB et on aura :
sin(B + C)'
Ceci fait, on mesurera l'angle ÀBO = a. que la droite AB fait avec l'horizontale AO située dans le plan vertical HAB en visant, du point B, le point A, puis mesurant l'angle de cette direction avec l'horizontale. Dans le triangle rectangle AOB on connaît l'hypoténuse et l'angle aigu a; on peut donc calculer AO.
AO = AB s
yGoosle
338 LEÇONS DE TaiGOiTOMÉTIilE.
Pour avoir la hauteur AH, il suffira d'ajouler à AO la distance OH ou la distance égale BB' = /;, que l'on mesurera en la station B. On a donc, finalement,
175. Levers de plans. — Lever le plan d'une portion de terraidi plane, ou sensiblement plane, c'est construire sur une feuille de papier une figure semblable il la figure formée par les points importants du terrain. Lorsque le rapport de similitude de la figure tracée sur le papier (ce qu'on appelle le plan) à la figure réelle du
terrain est -, le plan est dit à l'éckeUe de -.
Pour lever un plan, on suit, d'ordinaire, la marche générale suivante. On choisit, sur le terrain, un certain nombre de points principaux et on imagine que ces points soient reliés par des lignes droites. On décompose ainsi le terrain en un certain nombre de triangles.
Le choix des points doit éire fait de telle façon que, dans chacun des triangles, deux quelconques des sommets soient visibles pour un observateur placé au troisième sommet; et que les trois sommets soient visibles de tout point intérieur au triangle.
On commence, alors, par déterminer tous les éléments de tous ces triangles : c'est ce qu'on appelle faire la triangulation. Pour pouvoir effectuer cette triangulation, il faut savoir faire, sur le terrain, les mesures suivantes :
1" Mesurer la distance reetiligne de deux points accessibles l'un à l'autre, c'est-à-dire tels qu'on puisse se rendre directement de l'un à l'autre. Cette mesure est du ressort de l'arpentage et se fait, ordinairement, avec la chaîne d'arpenteur.
2" Mesurer l'angle formé par deux droites AB et AC du terrain (les points B et G étant visibles du point A\ Celte mesure se fait, d'ordinaire, avec un appareil appelé le graphomèire, en visant, successivement, du point A, les deux points B et C,
La description de ces appareils de mesure et leur usage ne rentre pas dans notre cadre; nous renvoyons, sur ce sujet, le lecteur aux traités spéciaux d'arp'entage, de planimétrie ou de topographie (').
application; s divemses. 239
Il nous suffira de retenir que ces deux mesures sonl possibles ; peu nous importera le procédé employé pour les effectuer.
Si tous les sommets des triangles font' .;neiilaux étaient deux à deux accessibles, il suffirait de mesurer directement sur !e terrain tous les éléments de ces triangles. En fait, les mesures directes des longueurs des cotés des triangles ne sont pas toujours possibles, soit parce que deux sommets sont séparés par un obstacle infranchissable, soit parce que les opérations seraient trop longues ou trop difficiles. Nous sommes doue, ainsi, conduits à traiter deux problèmes préliminaires :
Trouver la distance d'unjjoint accessible à un point inaccessible.
Ti'oiiver la distance de deux ^joints inaccessibles.
Ces deux problèmes nous conduiront, alors, à la triangulation.
La triangulation effectuée, il nous restera à tracer, sur la carte, les positions des divers points importants situés à l'intérieur dos triangles fondamentaux. Cette question sera résolue dans le problème dit de la carte.
Nous allons examiner ces diverses questions dans l'ordre où elles se sont présentées.
176. Problème. — Trouver la distance d'un point accessible à un autre point inaccensible.
Soit A un point accessible et B un point inaccessible {fig. 48), c'est-à-dire un point tel qu'on ne puisse aller en ligne droite de A en B sur le terrain. Nous pouvons, par exemple, supposer A séparé de B par un cours d'eau. Pour mesurer la distance AB, nous choisirons, sur le terrain accessible, un second point C et nous mesurerons directement la distance AC. Puis, par des visées, nous mesurerons les deux angles A et C du triangle ABC; nous connaîtrons ainsi, dans ce triangle, le côté b et les deux angles adjacents. H nous est donc facile de calculer le cùlé AB et nous a
b sin C
"sin(A-f C)'
yGoosle
eiO LEÇOMS m TlilGÛ.NOMETlllt:.
177. Problème. — Trouver la dislance de dnux points inaccessibles.
Soient A et B (jig. 49) deux points inaccessibles; par exemple, deux points sÉparés du terrain accessible à Tobservateur par un cours d'eau. On choisira, alors, deux points C et D sur le terrain accessible et on mesurera, d'abord, directement, la distance CD ^= a. Imaginons qu'on ait joint les quatre points A, B, C, D deux à deux. Par des visées, faik's en C et D, on mesurera les quatre
