S, BD^=Y

Danslesdeux triangles ADC et lîDC on connaît, alors, le côlé DC = a et les angles adja.cents ; on pourra donc calculer les deux longueurs ACet BC. On aura:

«sin[y + 5)

«sin-^

AC et cotés et

■ ■ "sinla + ri + v)

BG étant connus, on connaît dans le triangle ABC deux l'angle compris h; on pourra donc calculer le troisième coté AB en appliquant les formules O du deuxième cas classique (n" 1S8).

178, Triangulation. — Etant donné un terrain dont on veut lever le plan, supposons qu'on ait choisi, sur ce terrain, un certain nombre de points jirincipaux A, B, C, D, E, F, G [flfj. 50).

Nous aurons ainsi décomposé la surface en un certain nombre de triangles ABC, BCD, ACE, etc., dont il s'agit de déterminer les éléments.

Pour cela, on choisit une base d'opé- -„ bo. valioii, c'est-à-dire qu'on prend deux

des points A, B, accessibles entre eux, une étciuluc aussi plane que possible, et on mesure,

APPLICATIOSS DlVEItSES. SU

aussi exactement que possible, la distance AB. Ce sera là la seule mesure de longueur qu'on effectuera, directement, sur le terrain; aussi y apportera- t-on le plus grand soin.

On se transportera, ensuite, successivement, aux points A., B, G, U, etc., et on mesurera tous les angles des divers triangles. Ces mesures seront possibles puisque, par hypothèse (n° 17b), on a choisi les points A, B, C, D, etc., de telte façon que, de chaque sommet d'un triangle, les deux autres sommets soient visibles.

La triangulation se fait, alors, sans difflculté. Dans le premier triangle ABC on connaît le cûté AB (base de l'opération) et les angles, on pourra donc calculer les deux eûtes AG et BC.

Connaissant BC, on connaîtra dans le triangle BCDun coté et les angles ; on pourra donc calculer les longueurs B D et CD. Connaissant CD, le triangle CDF sera déterminé; et ainsi de suite. On calculera ainsi, de proche en proche, les éléments de tous les triangles.

Au cours de l'opération il pourra y avoir des vérifications. Ainsi, on pourra calculer le triangle EC F, soit en passant par la suite ABC, AEC, soit en passant par la suite de triangles ABC, BCD, DGF. l-es résultats devront être identiques dans les deux cas.

Lorsque le calcul est terminé, on fait une dernière vérification. Pour cela, on mesure, directement, sur le terrain, une des longueurs calculées, plus particulièrement la dernière, G F, par exemple. U devra y avoir concordance entre le calcul et la mesure.

Remarque. — Au premier abord, tous les calculs précédents peuvent paraître inutiles pour faire le levé du plan. La connaissance des angles des divers triangles suffit, en effet, pour qu'on puisse construire, avec la règle et le compas, tous ces triangles ; mais la construction que l'on ferait ainsi manquerait de précision.

Pour construire des angles il faut, en effet, se servir du rapporteur qui, quelque grand qu'il soit, donne toujours des erreurs notables sur les angles. Au contraire, on peut construire une échelle des longueurs sur le papier avec une très grande précision; et, particulièrement, si l'on emploie les échelles dites obliques, on peut, avec une très grande exactitude, reporter sur le papier des longueurs données ou décrire des cercles de rayons donnés. C'est pour cette raison que le calcul des longueurs des côtés s'impose.

179. Problème de la carte. — Lorsque la triangulation est faite et qu'on a reproduit, sur le papier, à l'échelle adoptée, des triangles semblables aux triangles fondamentaux, il reste à placer, sur le plan, les autres points du terrain.

91Î LliCONS DE TltlGOÎNOllETHIE.

Soit, alors, M {fig. SI) nn point du terrain situé à Tintépieur du triangle ABC. D'après la manière dont les sommets des triangles fondamentaux ont été choisis (n" 17o), les trois points A, B, C sont visibles du point M et on pourra, par trois visées effectuées au point M, mesurer les deux angles AMB et AMC. Le problème qui se pose donc (et c'est là ce qu'on appelle le problème de la earle) est le suivant :

Étant donnés trois points A, B, C, repérés sur la carte, trouoer la position d'un lieïi M, sur la carte, sachant que, du point M, on voit les deux portions de droites A B el A C sovs des angles y et fl.

On a, de suite, une solution géométrique de la question. Il siiffit,

en effet (fîfj. 5i), de décrire sur AB un segment capable de l'angle y

et sur AC un segment capable de

l'angle p; ces deux arcs de cercle

HO couperont, outre au point A,

au point M cherclié. Le problème

admet toujours une solution à

moins que les deux arcs de cercle

ne soient confondus; dans ce cas,

le point M serait indéterminé sur

le cercle circonscrit au triangleÂBC.

'a Dans la pratique, ceci ne peut pas

se présenter puisque le point M

que l'on cherche est situé à l'intérieur du triangle ABC.

Cette solution graphique est insuffisante. La construction d'un segment de cercle capable d'un angle donné exige, en effet ('), des constructions d'angles et, comme nous l'avons dit plus haut, ces tracés manquent de précision. Le point M sera donc bien mieux déterminé si on calcule les trois longueurs MA, MB, MC; car ii sera alors h l'intersection des trois cercles décrits de A, B, C comme centres et ayant ces longueurs pour rayons.

Les éléments du triangle ABC étant parraitemenl connus, on connaît l'angle A et les côtés AB — e, AC^/-. Pour pouvoir calculer les trois longueurs MA, MB, MC, il suffira de connaître les deux angles

car on connaîtra, alors, dans chacun des triangles A B M et A C M, les trois angles et un côté.