On abrégera Topération de la manière suivante

Règle. Après avoir déterminé le nombre n des chiffres exacts que Von veut au quotient^ on prendra sur la (jauehe du diviseur proposé assez de chiffres pour former un nombre au moins égal an; à la suite^ on prendra encore n chiffres^ et Von aura ainsi le premier diviseur^ ou diviseur d* entrée. On prendra ensuite sur la gauche du dividende proposé assez de chiffres pour former un nombre au moins égal au diviseur d'entrée^ et Von aura ainsi le premier dividende partiel. On divisera le premier dividende partiel par le premier diviseur, ce qui donnera le premier chiffre du quotient, et Von retranchera le produit de ce diviseur par le chiffre ainsi trouvé. Suppinmant un chiffre à la droite du premier diviseur, on aura le second diviseur; on divisera le reste par le second diviseur, ce qui donnera le second chiffre du

231 LIVRE Yif. — CUAPITRE IV.

quotient^ et ron continuera de cette manière jusqiCà ce qu*on ait obtenu tons les chiffres du quotient.

Les exemples suivants feront bien comprendre ce procédé de calcul. Considérons d'abord le cas. où le premier chiffre à gauche du diviseur est égal ou supérieur au nombre des chiffres du quotient, et mettons la virgule dans le diviseur après ce premier chiffre. Proposons-nous de calculer, à moins d'une unîlô près, le quotient de 283514,762 par 7,5438621. On voit immédiatement que le quotient renfermera 5 chiffres à sa partie entière; ici n=5. Le premier chiffre 7 à la gauche du diviseur étant plus grand que 5, à la suite on prendra 5 chiffres pour former le diviseur d'entrée 754386. Le premier dividende partiel, devant contenir ce diviseur, sera 2835147.

En divisant le premier dividende partiel par le premier diviseur, on obtient le premier chiffre 3 du quotient et un reste 571989. Au lieu d'abaisser à la droite du reste le chiffre suivant du dividende, on barre le premier chiffre 6 à la droite du divir seur d'entrée, et on divise ce reste par le second diviseur 75438, ce qui donne le second chiffre 7 du quotient. Barrant un second chiffre 8 à la droite du diviseur, on divise le reste 43923 par le troisième diviseur 7543, ce qui donne le troisième chiffre 5 du quotient. On continue de la sorte jusqu'à ce qu'on ait trouvé les cinq chiffres du quotient.

Évaluons maintenant Terreur commise. En multipliant le diviseur par chacun des chiffres du quotient, nous avons négligé un ou plusieurs chiffres à la droite du diviseur, ce qui occasionne une erreur sur le produit partiel. On a eft'ectué le produit comme dans la multiplication abrégée, quand on écrit le quotient sous le diviseur en ordre inverse, plaçant le chiffre des unités 2 sous le chiffre des dixièmes 5.

Ol'ËRATIO.XS ABRÉGËE9; 535

On a muliiplié en effet le premier diviseur, ou diviseur d'entrée 7,54386, par Je premier chiffre 3 du quotient, puis le second diviseur 7,5438 par le second chiffre 7 du quotient, et ainsi de suite. D'apccs le raisonnement que nous avons fait, la quantité négligée au produitestmoindre que (5h-7-h5-h84-2) ou que 25 dixièmes. Appelons a le dividende proposé, b le diviseur, q le quotient trouvé 37582, c la quantité négligée dans le produit 6x9. En retranchant du dividende le produit inexact bq—Cy nous avons obtenu un reste 2,662 que nous désignons par r. Si Ton écrit que le dividende est égal au produit inexact bq— c plus le reste, on a

d'où Ion déduit, en divisant par fr,

Ainsi, pour avoir le quotient exact -r, il faut au nombre en-

lier q ajouter une première fraction 7 et en retrancher une se-

condoT. Le reste r étant plus petit que le dernier diviseur 7,5,

r 2 662 il est clair que la première fraction -r ou =-^7 — est plus petite

que Tunilé. La quantité négligée c dans le produit étant plus

petite que 25 dixièmes, la seconde fraction est moindre que

7~r. On prendra donc pour valeur approchée du quotient le

nombre entier 37582 par défaut, à moins d*une demi-unité près.

355. Considérons maintenant le cas où le nombre formé par les deux premiers chiffres de gauche du diviseur est égal ou supérieur au nombre des chiffres du quotient. Soit par exemple à calculer à moins d*une unité près le quotient de

479205,439 par 10,254328. Le quotient aura 5 cliifires à sa partie enlière; ici tt=^. Le nombre 10, formé par les deux premiers chiiïres du diviseur, est plus grand que 5 ; à la suite prenons encore 5 chiffres pour former le diviseur d'entrée 10,25452.

La quantité négligée dans le produit abrégé ost plus petite que (2h-3h-7h-6h-4) ou que 22 dixièmes. Pour avoir le quotient exact, il faut au nombre entier 46732 ajouler la fraction

TTr-cyz — , et en retrancher une fraction moindre que .^ ' —

Ce nombre entier est donc approché à moins d une demi-unitè prés, par défaut ou par excès.

On continuera de cette manière indéfiniment.

En général, chacun des chiffres du quotient étant moindre que 10^ la somme des chiffres du quotient est plus petite que lOn, et par conséquent la quantité c, négligée au produit, est plus petite que lOn dixièmes ou que n unités; d'autre part, la partie entière du diviseur étant égale ou supérieure à n, le

diviseur b est plus grand que n; la fraction -r sera donc plus

petite que -OU que Tunité. Le nombre entier obtenu exprime

donc le quotient à moins d'une unité près, par défaut ou par excès.

Raelne carrée*

356. Lorsqu'on veut trouver à moins d'une unité près la racine d'un nombre très-grand, il est possible d'abréger un peu l'opération. Lorsquon a calculé plus de la moitié des