OPÉRATIONS ABRÉGÉES
chiffres de la racine y ou seulement la moitié quand le premier chiffre de la racine est égal ou supérieur à 5, on obtient tous les autres en divisant le reste par le double de la partie déjà trouvée à la racine.
On demande par exemple la racine du nombre 67952837 à moins d'une unité près.
II y a quatre chiffres à la racine, le premier est plus grand que 5 : je détermine d'abord les deux premiers chiffres 82 par le procédé ordinaire; puis je divise le reste 712837 par le double 16400 de la partie déjà trouvéo à la racine, plus simplement je divise 71 28 par 1 64 ; si j'écris la pai lie entière 43 du quotient à la droite de 82, j'ai la racine demandée à moins d'une unité près.
En effet, j'appelle A le nombre donné, a la partie 8200 déjà trouvée à la racine, R le reste 712837, que l'on obtient en retranchant du nombre donné A le carré a* de la partie déjà trouvée à la racine ; je désigne enfin par x la seconde partie de la racine. Le carré du nombre fractionnaire a H-x renfermant trois parties
on a
a*H-2ax«-+-ic* = A.
Si Ton retranche de part et d'autre la première partie a*, il vient
et, si Ton retranche x* de part et d'autre,
iaxx = l{—'X*, puis si Ton divise par 2a,
^""t^a 2a Le numérateur 05* est plus petit que 100* et par conséquent
538 LIVRE Vn. — CHAPITRE IV.
plus petit que 10000; puisque a désigne un nombre de quatre chiffres dont le premier est égal ou supérieur à 5, le dénominateur 2a est plus grand que 10000; la fraction
5" est donc plus petite que Hm, c'est-à-dire plus petite que Tunité. Si Ton néglige cette fraction, le quotient complet ^ donnera x par excès à moins d'une unité près. En
prenant seulement la partie entière du quotient, on aura
la racine à moins d'une unité près, par défaut ou par
excès.
Dans chaque exemple, on peut évaluer l'erreur avec plus
de précision. Dans Texemple actuel, x étant plus petit que 50,
2a plus grand que 16000, l'erreur^ est plus petite que jtwjtttv»
soit plus petite que 0,2 ; le quotient complet est compris entre 45,4 et 45,5; pour avoir x exactement, il faudrait retrancher de ce quotient une quantité plus petite que 0,2 ; donc la racine cherchée égale 8245 par défaut à moins d'une demi-unité près.
357. Soit encore à calculer la racine du nombre 255896754 à moins d'une demi -unité, près.
Si 8
Il y a cmq chiifres à la racine, je calcule les trois premiers
chiffres 159 par le procédé ordinaire, puis je divise le reste
5086754 par le double 51800 de la partie déjà trouvée à la
racine ; plus simplement je divise 50867 par 51 8, et j'écris à la
droite de 159 la partie entière 97 du quotient « L'drreur ^ est
plus petite que gîmTjTj ou que =; puisque du quotient complet
