Théorème VI. Si Von désigne par

1, a, fr, c, m — 1

les nombres inférieurs et premiers à m, on a

[1. a. b. c (m — 1)]*^1 (modw).

A tout nombre a inférieur et premier à m correspond un nombre b inférieur à m et vérifiant l'équivalence

ax^i (modm);

et il n'en correspond qu'un. Ce nombre b est aussi premier à m; car si ft et m avaient un facteur commun autre que Tunitc', ce facteur, divisant la différence ab—i et le terme aby divi-

328 IIVRE YIl. — CBAPlTiŒ III.

serait 1, ce qui est impossible. Le nombre m n'étant pas premier, Je facteur a peut se correspondre à lui-même et vérifier Téquivalence x*^l ; mais comme il entre deux fois dans le carré, le facteur a* donnera encore le résidu 1. Quant au groupe 1 (p — 1 ), qui donne le résidu — i , son carré donnera le résidu -h 1 . Ainsi le Ihcorème est démontré.

CnAPlTRE IV

ÎBATIOIVS ABBËCiÉES

349. Quand on a à eflecloer des opérations sur des nombres décimaux, et qu'on demande le résultat avec une certaine approximation, il est possible en général d'abréger beaucoup les calculs. On conçoit, en efiel, que Ton puisse dans le courant du calcul négliger les chirfres qui n'ont pas d'influence sur la pariie du résultat que Ton veut conserver. Nous allons expliquer des procédés très-simples pour abréger de la sorte les opérations de l'arithmétique. Commençons par la multiplication.

UULTIPLIGATION.

350. On demande, par exemple, à moins d'une unité près, le produit des deux nombres décimaux 628,45637 et 52,935784. Si Ton effectuait la multiplication d'après le procédé ordinaire, on aurait le produit avec onze décimales que Ton négligerait ensuite, puisqu'il suffit d'avoir le produit à moins d unité près. Voici un procédé connu sous le nom de règle d^Oughtred^ qui abrège Topèralion et qui dispense de calculer la partie que l'on doit négliger au produit.

Règle. Pour calculer le produit de deux nombres décimaux, à moins d^une unité près, on écrit au-dessous du multiplicande les chiffres du multiplicateur dans un ordre inverse, en plaçant le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des centièmes du multiplicande; puis on multiplie par chaque chiffre du midliplicateur la partie du multiplicande qui^ en allant de

530 LIVRE VII. - CilAiflBfi lY.

droUe à gmakây cùmmmce au chiffré du midtiplieande placé au-dessus du chiffre du multiplicateur que Pon considère^ et Von écrit les produits partiels les uns au-dessous des autres ^ en mettant les premiers chiffres de droite dans une même colonne verticale. On fait ensuite V addition; on supprime deux chiffres décimaux par une virgtdej et on augmente la partie entière d'une unité.

On multiplie d'abord la partie 628,456 du multiplicande par le chiffre des dizaines 3 du multiplicateur, ce qui donne le produit partiel 18855,68. Puis on multiplie la partie 628,45 du multiplicande par le chiffre des unités 2 du multiplicateur, ce qui donne le produit partiel 1256,00. On muUiplie ensuite la partie 628,4 par le chiffre des dixièmes 9 du mul* liplicateur, ce qui donne le produit partiel 565,56. Continuant de cette manière, on muUiplie la partie 628 unités du multiplicande par le chiffre des centièmes 3 du multiplicateur, puis la partie 62 dizaines du multiplicande par le chiffre des millièmes 5 du multiplicateur, et enfin la partie 6 centaines du multiplicande par le chiffre des dix-millièmes 7 du mulliplicateur. On voit que les premiers chiffres des produits partiels ainsi obtenus, exprimant tous des centièmes, doivent être placés dans une même colonne verticale.

Évaluons maintenant Terreur commise. Dans le premier produit partiel on a négligé le produit de la partie de droite 0,00037 du multiplicande par 30; celte partie étant moindre que 0,001, la quantité négligée au produit est moindre que

OPÉRATIONS ABRÉGÉES. . S5t

0,001 x30, c est-à-dire moindre que 3 centièmes. Dans le second produit partiel, on a négligé le produit de la partie de droite 0,00637 par 2; cette partie étant moindre que 0,01, la quantité négligée au produit est moindre que 2 cenlièmes. Dans le troisième produit partiel, on a négligé le produit de la partie de droite 0,05637 par 0,9 ; cette partie étant moindre que 0,-1 , la quantité négligée au produit est moindre que 9 centièmes ; et ainsi de suite ; Terreur commise sur chaque produit partiel est plus petite qu'un nombre de centièmes marqué par le chiffre correspondant du multiplicateur. On a négligé enfin le produit de tout le multiplicande par les chiffres 8 et 4 du multiplicateur ; le multiplicande étant moindre que 1000, et la partie 0,000084 négligée dans le multiplicaleur étant moindre que 0,00009, Terreur commise est plus petite que9 centièmes. Ainsi, Terreur totale, ou la somme des quantités négh'gées au produit, est moindre que 3-h2-+-9-i-34-5-H7-^(84-l) centièmes; en général, l'erreur est moindre qu^un nombre de centièmes marqué par la somme des chiffres du multiplicateur qui founnssent des produits partiels , plus le chiffre suivant augmenté dune unité.

Dans Texemple actuel, Terreur commise est moindre que 38 centièmes. Le produit obtenu est trop faible; la quantité négligée étant moindre que 0,38, le produit exact est compris entre 20698,50 et 20698,88. On prendra la valeur approchée S0699 par excès à moins d'une demi-unité près.

351 . Il est bon de remarquer que si Ton change Tordre des facteurs, on obtient le même résullat.

33î UVTtE Tïï. — CnAFITRE ÎT.

Dans la première opération on a mulliplié par les 3 dizaines du muUiplicaicur la partie 628,456 du multiplicande ; dans la seconde opéi-ation, ces 3 dizaines, placées au multiplicande, ont été mullipliées por la même partie 628,456 placée au multiplicateur et retournée. Dans la première opération, on a mulliplié par les 2 unités du multiplicateur la partie 628,45 du multiplicande ; dans la seconde opération, ces 2 unités, placées au multiplicande, ontété multipliéespar laméme partie 628,45 placée au multiplicateur et retournée, et ainsi de suite. Les deux opérations donnent donc le même résultat 20698,50. Mais Tévaluation de Terreur diiTére : dans le premier cas, nous avons dit que Terreur est moindre que 38 centièmes ; dans le second cas, nous dirons qu'elle est moindre que 35 centièmes. De ces deux évaluations de Terreur, on prendra la moins élevée.

352. Proposons-nous encore de calculer le produit des deux nombres 783,25673 et 43,856702, à moins d'une unité.

La quantité négligée au produit est moindre que 4-t- 5-i- 8 -H5-+-6-+-7-H1 centièmes, c'est-à-dire moindre que 34 centièmes. Le produit exact est donc compris entre 34350,87 et 34351,21. On prendra la valeur approchée 34351 à moins d*une demi-unité, dans un sens ou dans Tautre.

353. Le procédé que nous venons d'expliquer suffît dans la plupart des cas; on peut Tappliquer toutes les fois que la

. OrÉRATIONS ABRÉGÉES. 333

somme des chiffres du multiplicateur dont on a à tenir compte ne surpasse pas 100. Car alors la quantité négligée au produit est plus pelile que 100 centièmes ou que 1 unité. Si Ton appelle a la partie entière du produit calculé, augmenlée d'une unité ; pour avoir le produit exact, il faut de a retrancher une première fraction moindre que Tunilé, et en ajouter une seconde aussi moindre que l'unité; en prenant a pour valeur approchée du produit, on voit que Terreur commise est moindre qu'une unité, dans un sens ou dans Taulre.

Si la somme des chilTres du multiplicateur était plus grande que 100, mais plus petite que 1000, il faudrait, après avoir retourné le multiplicateur, placer le chiffre des unités sous le chiffre dçs millièmes du multiplicande.

Lorsqu'on demande le produit, non plus à moins d'une unité près, mais à moins d'un millième, par exemple, il suffit de transporter la virgule après les millièmes dans le multiplicande; puis de calculer le nouveau produit à moins d'une unité.

DIVISION