CHAPITRE V

359. n arrive souvent que l'on a à effectuer des calculs sur des nombres approchés. On a vu en efTel que les grandeurs incommensurables ne peuvent être mesurées exactement. D'ailleurs les instruments dont on se sert dans la mesure des grandeurs ne sont susceptibles que d'un certain degré de précision; les nombres obtenus doivent être regardés, non pas comme les mesures exactes des grandeurs, mais comme des évaluations plus ou moins approchées, suivant la perfection de Pinstrument. Ces nombres approchés étant introduits dans les calculs, on arrive à un résultat inexact ; il se présente ici deux questions : l"" Connaissant Tapproximation des nombres sur lesquels on opère, quelle est Tapproximation du résultat? — 2^ Avec quelle approximation faut-il avoir les nombres sur lesquels on opère, pour que Ton obtienne le résultat avec une approximation donnée?

360. Ordinairement on exprime l'approximation d'un nombre décimal en disant qu* elle est moindre qu'une certaine

unité décimale jjr;. Lorsqu'on connaît le sens de l'erreur,

il est possible d'écrire le nombre avec n chiffres décimaux exacts. Soit le nombre 28,45752 approché par excès à moins de 0,001 près ; le nombre 28,457 est aussi approché à moins de 0,001, dans un sens ou dans l'autre. Soit le nombre 28,45652 approché par défaut à moins de 0,001 ; le nombre 28,457 est aussi approché à moins de 0,001, dans un sens

542 LIVRE YII. -^ CHAPITRE V.

OU dans Tautre. Mais lorsqu'on ne connaît pas le sens de Tapproxîmalion, ceci n'est pas toujours possible. Si le nombre 28,45732 est approché à moins de 0,001 dans un sens inconnu, le nombre exact est compris entre 28,45632 et 28,45832 ; chacun des nombres 28,457 et 28,458 serait approché à moins de 2 millièmes.

On effectuera rapidement les calculs sur les nombres approchés à Taide des procédés que nous avons expliqués dans le chapitre précédent. Mais il y a une précaution à prendre : Tapproximation des nombres donnés introduit une certaine erreur dans le résultat, l'opération abrégée en occasionne une seconde; il impprte que la seconde erreur n'augmente pas considérablement la première. Si la première erreur est moindre que jTj^ et dans un sens connu, on dirigera les calculs de

manière que la seconde soit aussi moindre que r^^ et en sens

inverse ; on aura ainsi le résultat à moins de j^ près. Si la

première erreur est moindre que rrr^i (« étant un nombre

d'un chiffre) et dans un sens inconnu, on dirigera lés calculs

de manière que la seconde erreur soit moindre que -rTviTT'

la somme des deux erreurs étant plus petite quejTroou que

;^,on aura encore le résultat à moins de ;:-7û.

Addition.

361. Lorsqu'on fait l'addition de plusieurs nombres approchés dans le même sens, l'erreur commise sur le résultat est égal à la somme des erreurs partielles. Soit à additionner les nombres 12,457, 7,875, 0,209, 3,628 approchés par excès, chacun à moins d un millième. L'addition donne 24,169. L'erre\ir commise étant moindre que 4 millièmes , la somme

exacte est comprise entre 24,165 el 24,169. On prendra ^4,17 par excès, à moins d'un demi-cenlième près.

Mais quand on ne connaît pas le sens de l'approximation des nombres proposés, les uns étant approchés par défaut, les aulres par excès, les erreurs se compensent en parlie, et Terreur commise sur le résullat est moindre que la somme des erreurs partielles. Proposons-nous d'additionner les nombres précédents approches chacun à moins de 1 millième, mais dans un sens inconnu. Dans le cas le plus défavorable, Terreur sera moindre que 4 millicmes; de sorte que le résultat exact est compris enire 24,165 el 24,173. On prendra 24,17 à moins demi-centième près, dans un sens inconnu.

IfSoastrActfoii.

362. L'erreur commise sur la différence de deux nombres approchés égale la différence ou la somme des erreurs commises sur les deux nombres, suivant que ces deux nombres sont approchés dans le môme sens ou en sens contraires. Du nombre 57,259 approché par excès à moins de 1 millième, soit à retrancher le nombre 29,345 approché par défaut à moins de 1 millième, l'opération donne 27,914. Ce nombre est trop fort, et Terreur commise est moindre que 2 millièmes. La différence exacte est donc comprise entre 27,912 et 27,914 ; on prendra 27,91 par défaut à moins de 1 demi-centième près. Si Ton ne connaissait pas le sens des erreurs, Terreur commise sur le résultat étant moindre que 2 millièmes dans un sens ou dans l'autre, la différence exacte serait comprise entre 27,912 et 27,916 ; on prendrait 27,91 par défaut à moins de 1 centième près.

Multiplication.

PRODUIT d'un nombre APPROCHÉ PAR UN NOMBRE EXACT.

363. Considérons d'abord le cas x)ù Ton multiplie un nombre approché par un nombre exact. Il est clair que Terreur

344 UVRE \U. — CUAPITRE V.

commise sur le résultat est égale à Tendeur commise sur le facteur approché, multipliée par le facteur exact.

Exemple I. Soit à multiplier le nombre 25,674, approché par excès à moins de 1 millième, par le nombre exact 82,1*67. Le multiplicateur étant moindre que 83 unités, Terreur commise sur le produit est plus petite que 83 millièmes ou que 1 dixième. Nous calculerons le produit par la méthode abrégée à moins de 1 dixième, en plaçant sous les millièmes du multiplicande le chiffre des unités du multiplicateur.

Les produits partiels fournis par les trois chiffres 1,6, 7 du multiplicateur étant seuls inexacts, la quantité négligée au produit est moindre que 1 H- 6 H- 7 ou que 14 millièmes. Le produit calculé exactement serait compris entre 21059,546 et 2109,560; pour avoir le produit exact, il faut en retrancher une quantité moindre que 83 millièmes ; le produit exact est donc compris entre 21059,463 et 2109,560; on prendra 21059,5 à moins d'un dixième, dans un sens inconnu.

Si l'on ne connaissait pas le sens de l'erreur commise sur le multiplicande, le produit exact étant compris entre 21059,463 et 21649,643, on prendrait 21059,55 à moins d'un dixième jprès ; le second chiffre décimal devrait être conservé, quoique nexact. Le nombre 21059,5 avec un seul cliifire décimal ne serait approché qu'à moins de 15 centièmes, ou plus simplement de 2 dixièmes.

Exemple II. Calculer la circonférence d'un. cercle dont le

CALCULS D^APPROIIMATION. 3i5

rayon est ^,87 à moins d'un centième près. En désignant par r le rayon et par % le rapport de la circonférence au diamètre, on sait que la circonférence est égale à i%r. On a

Pour avoir la circonférence, il faut multiplier le nombre 2;: par le rayon r. L'erreur commise sur le second fadeur occasionne dans le proiduit une erreur moindre que 7 centièmes ou {\yxù 1 dixième. Si Ton effectue la multiplication par la méthode abrégée à moins de 1 dixième près, c'est-à-dire en plaçant le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des millièmes du multiplicande, on trouve 36,875, et la partie négligée au produit est moindre que 54-84-7, ou que 20 millièmes. Le produit calculé exactement serait donc compris entre 36,873 et 36,893. Pour avoir le produit exact, il faut ajouter ou retrancher une quantité moindre que 7 centièmes; le produit exact est donc compris entre 36,80 et 36,963. On prendra 36,9 à moins d'un dixième près.

ExEBiPLE III. Calculer, moins d'un millimètre près, la circoniérence du cercle circonscrit au carré qui a un mètre de côté.

Si Ton appelle x la longueur de la circonférence, on a

j=x\/2. L'erreur commise sur \/2 étant multipliée par un nombre plus petit que 4, il suftit de calculer ce facteur à moins

d'un dix-millième, ce qui donne v^= 1,4143 par excès. Faisant le produit par la méthode abrégée, à moins de 1 millième, on trouve 4,44309, et la partie négligée est moindre que 15 cent-millièmes. Le produit calculé exactement serait donc compris entre 4,4430 et 4,4435. Pour avoir le produit exact, il faut en retrancher une quantité plus petite que 4 dix-milliômcs; le produit exact est donc compris entre 4,4426 et ) i455; on prendra 4,445 à moins d'un demi-millième, par tlcfaut ou par excès.