PRODUIT DE DEUX NOMBRES APPROCHÉS
364. Considérons maintenant le produit de deux facteurs approchés. Nous examinerons differenls cas, suivant que les deux facteurs soiil approchés dans le même sens ou en sens contraires. Appelons a et 6 les valeurs exactes des deux facteurs ; supposons que le facteur a soit compris entre les deux quantités a' el o" approchées, la première par défaut, la seconde par excès ; que de môme le second facteur soit compris entre les deux quantités b' et b" approchées, la première par défaut, la seconde par excès.
1° Prenons d'abord les deux valeurs a" et 6'' approchées par excès. Posons
a et p étant les erreurs commises sur ces deux valeurs. On a
d*où Ton déduit
a"t" — afr = fra -h a^ -f- ap .
En groupant les deux derniers termes, on peut écrire
a"t" — ab = ta -h (a -h a)p = &« 4- a"|3.
Si l'on appelle e la différence entre le produit exact ab et le produit approché a'V\ et si dans le terme ba on remplace le nombre b par le nombre plus grand b'\ on obtient la formule
2° Prenons maintenant les deux valeurs a^ et b^ approchés par défaut. Posons
On a
ab = {a' 4- a) {b' 4- j3) = a'fr' -)- Voi + a'j3 -h aj3,
CAWBLS D'APrnOXlMATlO.^. 547
d'où
ub — a'b'^ Va -H «'J3 -^ ap.
En groupant les deux derniers termes, on peut écrire
a& — a V = t'a Hr- (r(' 4- oî)p = 6'« -f- ai3.
Si Ton désigne comme précédemment par ç la différence entre le produit exact ab et le produit approché a'b% on a
5** Prenons maintenant l'un des facteurs a" par excès, l'au tre &' par défaut. Posons
On a
d'où
On en déduit
ou
l):=h'-hSi.
a"(fc'H-p)=t(a4-«),
a''b'-{-a''^=ab-hb(x.
a"b'--ab=zboL'-a"p,
ab — a"b' — a"p--b<iL,
suivant que le produit approchée a"b' est plus grand ou plus petit que le produit exact ab. Dans le premier cas, Terreur commise est moindre que la quantité 6a , dans le second cas, elle est moindre que a"P ; dans les deux cas, l'erreur est moindre que la plus grande des deux quantités 6"a, a"^. On peut dire encore que Terreur est moindre que la somme 6"a-i-a"lâ. On conclut de ce qui précède que, dans tous les cas, Veneur commise sur le produit de deux facteurs approchés est moindre que la somme des produits que F on obtient en multipliant l* erreur commise sur chaque facteur par Vautre facteur pris par ^xcès.
548 LIVRE Vif. - CHAPITRE Y.
CADRÉ d'un nombre APPROCHÉ.
365. Lorsque les deux facteurs a et (sont égaux entre eux, le produit ab devient un carré a*, et l'erreur commise est moindre que c'a -ho"», c'est-à-dire moindre que Sû'a. Ainsi r erreur commise sur le carré (Pun nombre approché est plus petite que deux fois V erreur commise sur ce nombre mtiltipliée par ce nombre lui-même pris par excès.
EXEMPLES
Exemple I. Calculer le produit des deux nombres 54,258 et 21,367 approchés tous deux par excès à moins d'un millième. Ces facteurs étant respectivement moindres que 35 et 22, Terreur commise sur le produit proposé sera plus petite que 22 millièmes, plus 35 millièmes, c'est-à-dire plus petite que 57 millièmes, ou que 1 dixième. En calculant le produit par la méthode abrégée à moins de 1 dixième, on trouve 731,983; la quantité négligée est moindre que 3 4- 6 H- 7 ou que 16 millièmes. Le produit, calculé exactement, est donc compris entre 731,983 et 731,999; pour avoir le produit exact, il faut retrancher une quaiîtilé moindre que 57 millièmes; il en résulle que le produit exact est compris entre 731 ,926 et 751 ,999; on prendra 731,9 par défaut à moins d'un dixième près.
Si Ton ne connaissait pas le sens de l'approximation des deux facteurs, le produit exact serait compris entre 731,926 et 752,056. On prendrait 752,0 à moins d'un dixième, par défaut ou par excès.
ExE»iPLE II. Calculer la surface du cercle dont le rayon est 5,87 à moins d'un centimètre près. La surface d'un cercle est exprimée par la formule zr*. L'erreur commise sur le carrer* est moindre que 1 centième multiplié par deux fois le rayon pris par excès, c'est-à-dire moindre que 12 centièmes, dans lé produit wXr*, Terreur provenant du facteur r* sera moindre que 0,12x5,2, c'est-à-dire moindre que 0,4; on aura ainsi la surface à moins d'un mètre carré près. Il faut diriger les calculs en conséquence. En calculant r* par la
CALCULS D*APPROXIHATION. 349
mélhode abrégée à moins de 0,1', on trouve 34,452, et la partie négligée est moindre que 7 millièmes ; si Ton prend r'=34545, Terreur provenant du calcul étant moindre que 1 centième, Terreui* totale sur r* sera moindre que 13 centièmes. Il en résulte sur icr* une erreur moindre que 0,5. En calculant le produit irxr* par la méthode abrégée à moins de 1 unité, on trouve 108,18, et la quantité négligée est moindre que 3 H- 4 4- 4 4- 5 ou 16 ceniièmes; le produit calculé exactement serait compris entre 108,18 et 108,34; pour avoir le produit exact, il faut ajouter ou retrancher une quantité moindre que 0,5 ; le produit exact est donc compris entre 107,6 et 108,9 ; on prendra 1,08 à moins d'une unité près.
