CHAPITRE IV

IHULTIPLICATIOIV

DEFINITION

21. La multiplication consiste à répéter un nombre nommé MULTIPLICANDE outant (le fois qu'il y a d^unités dans im autre nombre nommé multipliCxVteur. Le résullal s'appelle produit.

Ainsi, multiplier 9 par 5, c'est répéter le nombre 9 cinq fois ; 9 est le multiplicande^ ou le nombre que Ton multiplie ; 5 est le multiplicateur^ ou le nombre qui indique combien de fois il faut répéter le multiplicande.

Si Ton a plusieurs monceaux renfermant chacun le même nombre de noix, et si on les réunit en un seul, on fait une mulliplicalion. Le monceau total est le produit de la multiplication.

La multiplication, comme on le voit, n'est autre chose qne l'addition de plusieurs nombres égaux entreeux. Pour mulliplier 9 par 5, j'écris donc le nombre 9 cinq fois :

et j'additionne ; j'obtiens le produit 45.

Mais si les nombres élaienl plus grands, s'il s'agissait, par exemple, de multiplier 258 par 36, l'addition deviendrait très longue; car il faudrait écrire 36 fois le multiplicande. Je \ais expliquer comment on parvient à simplifier l'opération^

22. Il est nécessaire de savoir d'abord par cœur les produits que Ton obtient en multipliant les neuf premiers nombres les uns par les autres deux à deux ; tous ces produits sont réunis dans la table suivante, dont on allribue Tinvenlion ix Pythagore.

Voici comment on forme cette table :

J'écris sur une même ligne horizontale les neuf premiers nombres. J'ajoute chacun de ces nombres à lui-même, en disant :. 1 et 1 font 2, 2 et 2 font 4, 3 et3... 6, 4et4... 8, 5 et 5... 10, ô et 6... 12, 7 et 7... 14, 8 et 8... 16, 9 et 9.. . 18, etj'écris les résultats dans une seconde ligne horizontale au-dessous de la première. Cette seconde ligne renferme, comme on le voit, les n€uf premiers nombres répétés deux fois, c'est-à-dire les produits des neuf premiers nombres par 2.

A la seconde ligne j'ajoute la première, en disant : 2 et 1 ..• 3, 4et2... 6,6 et 3... 9, etc.; et j'écris les résultats dans une troisième ligne horizontale. A deux fois chacun des neuf pre-

miers nombres, j'ai ajouté une fois ces mômes nombres, j'ai ( ainsi trois fois ces nombres; la troisième ligne contient donc ' les produits des neuf premiers nombres par 3. \

A la troisième ligne j'ajoule de même la première, en disant : 5 et 1... 4, 6 et 2. . 8, 9 et 3... 12, etc. ; et j'écris les résultats dans une quatrième ligne horizontale. A trois fois chacun des neuf premiers nombres, j'ai ajouté une fois ces mêmes nombres ; et j'ai ainsi quatre fois ces nombres ou leurs produits par 4.

On continuera de la sorte à ajouter aux nombres de la dernière ligne obtenue les nombres correspondants de la première, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux produits des neuf premiers nombres par 9. Alors on s'arrêtera, la table est complète, elle renferme tous les produits que l'on obtient en multipliant les neuf premier nombres les uns par les autres ' deux à deux.

Les nombres contenus dans une même colonne Terlicale sont les produits du nombre placé en tête de cette colonne par chacun des neuf premiers nombres; les nombres contenus .dans une même ligne horizontale sont les produits des neuf premiers nombres par le nombre placé en avant. Si donc on .veut trouver dans la table un produit, le produit Je 7 par 3, par exemple, on regardera la colonne verticale qui commence par 7, et la ligne horizontale qui commence par 3 ; le nombre 21, placé au point où se croisent les deux lignes, est le produit cherché.

Par analogie, on dit qu'on multiplie un nombre par Tunité quand on écrit ce nombre lui-même; de celte manière, Ta première ligne horizontale contient les produits des neuf premiers nombres par l'unité. *

Il est nécessaire d'apprendre par cœur la table de multiplication; on l'énonce ainsi :

2 fois i.... 2, 2 fois 2.. ..4, 2 fois 3.... 6...., 2 fois 9.... 18.

3 fois i .... 3, 5 fois 2. ...6, 5 fois 3.... 9...., 3 fois 9.... 27.

Dfoisl,...9, 9rois2;.. 18, 9 fois5.... 2^.,.., 9fois9,... 81.

multiplication d*urf noijoiu!: de plusieurs chiffres par un momdre

d'un chiffre.

23. Soil à multiplier 497 par 6. L'opération consisle à répéter le multiplicande six fois; je répéterai six fois les unités, puis les dizaines, puis les centaines. J'écris le multiplicaleur au-dessous du multiplicande,

et je souligne. Je dis : six fois 7 unités font 42 unités, j'écrrs 2 unités sous la colonne des unités, et je reliens 4 dizaines ; six fois 9 dizaines font 54 dizaines, et 4 dizaines retenues font 58 dizaines, j'écris 8 dizaines sous la colonne des dizaines, et je retiens 5 œnlaincs ; six fois 4 centaines font 24 centaines, et 5 cenlaines retenues font 29 centaines, j'écris 9 centaines et 2 mille. Le produit est 2982.

On effectuera rapidement Topéralion en disant : 6 fois 7.... 42, je pose 2 et reliens 4 ; 6 fois 9.... 54 et 4.... 58, je pose 8 et retiens 5 ; 6 fois 4.... 24 et 5.... 29, je pose 29. Le produit est 2982.

On commence l'opération par la droite, à cause des retenues ; la raison en est la môme que pour Taddilion.

UULTIPLIGATION d'uN NOMBRE QUELCOiNQUE PAR 10, 100, 1010, ETC.

24. Proposons-nous d'abord de multiplier le nombre 5037 par 10. Il s'agit de répéter ce nombre dix fois, c'est-à-dire de le rendre dix fois plus grand ; il suffit pour cela de mettre un zéro à sa droite, ce qui donne 56370. En effet, le chiffre 7, qui était placé au premier rang et exprimait des unités, est mainlenant placé au second rang et exprime des dizaines, c'c^t-à-dire des unités dix fois plus grandes. Le chiffre 3, qui était placé au second rang et exprimait des dizaines, est maintenant placé au troisième rang et exprime des centaines, c'est-à-dire des unités dix fois- plus grandes, et ain&i de suite. Chaque partie du nombre étant devenue dix foi^ plus grande, le nombre lui-même est devenu dix fois plus grand.

Proposons marinlcriarit de multiplier le nombre 5637 par 100. Il s*agil (le répéter ce nombre cent fois, c*est- à-dire de le rendre cent fois plus grand ; il suflit pour cela de mettre deux zéros à sa droite, ce qui donne 565700. En effet, le chiffre 7, qui était placé au premier rang et exprimait des unités, est maintenant I)lacé au troisième rang et exprime des centaines, c'est-à-dire des unités cent fois plus grandes. Le chiffre 3, qui était placé au second rang et exprimait des dizaines, est maintenant placé au quatrième rang et exprime des mille, c'est-à-dire des unités cent fois plus grandes, et ainsi de suite. Chaque partie du nombre étant devenue cent fois plus grande, le nombre lui-même est devenu cent fois plus grand.

On verrait de même que pour multiplier le nombre 5637 par 1000, il suffit de mettre trois zéros à sa droite, ce qui donne 5637000. Car le chiffre 7, qui exprimait des unités, exprime maintenant des mille ; le chiffre 3, qui exprimait dos dizaines, exprime maintenant des dizaines de mille, etc.

Ainsi, pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000...., il suffit d'écrire à sa droite u?i, deuor^ trois.... zéros.

IIULTIPLICÀIIO:^ DE DEUX KOUBRES QUELCOiNQUES.

25. Soit à multiplier 5637 par 258. J'écris le multiplicateur au-dessous du multiplicande, et je trace un trait horizontal.

Multiplier 5637 par 258, c'est répéter le multiplicande deux cent cinquante-huit fois, ou bien, c'est le répéter huit fois? plus cinquante fois, plus deux cents fois.

Je répète d'abord le inultiplicande huit fois ; j'ai le premier produit partiel 45096, que j'écris sous le trait horizontal.

Je répète maintenant le multiplicande cinquante fois. Mais 50, c'est 5 his dix. On répétera donc le multiplicande cin-

quan(c fois, en le répélanl d'abord dix fuis, etrépélanl ensuite le résultat cinq fois. Pour répéter le multiplicande dix fois, il suffit, comme nous l'avons vu, de mettre un zéro à sa droite, ce qui donne 56370. Il faut ensuite répéter ce résultat cinq fois, c'est-à-dire le multiplier par 5 ; on a ainsi le second produit partiel 281850, que Ton écrit au-dessous du premier.

Je répète enfin le multiplicande deux cents fois. Mais 200, c'est deux fois cent. On répétera donc le multiplicande deux cents fois, en le répétant d'abord cent fois, et répétant ensuite le résultat deux fois. Pour répéter le multiplicande cent fois, il suffit de mettre deux zéros à sa droite, ce qui donne 563700 ; il faut ensuite répéter ce résultat deux fois, c'est-à-dire le multiplier par 2 ; on a ainsi le troisième produit partiel i 127400, que l'on écrit au-dessous du second.

Ayant obtenu les trois produits partiels, on les additionne, et l'on trouve ainsi le produit demandé 1454346.

26; On obtient le premier produit partiel en inultipliaiit le multiplicande par le premier chiffre 8 du mulliplicateur. On

obtiendra évidemment le second en multiplianlle mulliplicando par 5, ce qui donne 28i 85 et mettant un zéro à la droite ; mais on peut se dispenser d'écrire ce zéro, en plaçant ce nombre 28185 de manière que son premier chiffre 5 se trouve dans la colonne des dizaines. On obtiendra de même le troisième produit partiel en multipliant le multiplicande par 2, ce qui donne 11 274 et mettant deux zéros à la droite; mais on se dispensera d'écrire les zéros en plaçant ce nombre 11274 de manière que son premier chiffre 4 soit dans la colonne des centaines.

L'opération est disposée de la manière suivante :

1454346 On opère en disant : 8 fois 7 . » .. 56, je pose 6 (dans la calontue

MULTIPL'CATION. 27

desunités)etroliens5; 8 fois 3.... 24 et 5.... 29, je pose 9 et reliens 2; 8 fois 6.... 48 et 2.... 50, je pose et retiens5 ; Sfois 5.... 40 et 5.... 45.

5 fois 7.... 35; je pose 5 (dans la colonne des dizaines) et reliens 3; 5 fois 5.... 15 et 3..:. 18, je pose 8 et reliens i ; 5 fois 6.... 30 et 1.... 31, je pose 1 et reliens 3; 5fois5.... 35 cl 3.... 28, je pose 28.

2 fois 7.. . 14, je pose 4 (dans la colonne des centaines) et retiens 1 ; 2 fois 3.... 6 et!.... 7, je pose 7; 2 fois 6.... 12, je pose 2 et retiens 1 ; 2 fois 5.... 10 et 1.... 11, je pose 11.

J additionne : le produit demandé est 1454346.

Nous pouvons mainienant formuler la règle générale de la multiplication.

Règle. Vour multiplier deux nombres quelconques^ on écrit le multiplicateur sous le multiplicande ; on souligne; puis on multiplie te multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur^ en ayant soin d'écrire te premier chiffre de chaque produit jiartiel sous le chiffre du multipUcatenr qui l'a fourni. Ensuite on additionne les produits partiels,