QUE DIX FOIS LE DIVISEUR

36. Ce cas n'offre aucune difficulté; sachant par cœur la table de multiplication, on verra de suite combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende.

Soit à diviser 28 par 7. On sait que 4 fois 7 font 28 ; donc 28 contient 7 quatre fois ; le quotient est 4.

Diviser 31 par 7. On sait que 4 fois 7 font 28, et que 5 fois 7 font 35. Donc le dividende 31 contient 7 quatre fois, et il y a un reste 3.

Et même, on dira immédiatement :

20 contient 5 4 fois.

63 contient 7. ..... 9 fois.

52 contient 6. * ♦ . . . 5 fois, plus un resie 2,

77 contient 8é . • « « « 9 fois, plus un reste 5. .

DIVISION. 5o

CAS OU LE DIVISEUR A PLUSIEURS CHIFFRES, LE DIVIDENDE ÉTAHT MOINDRE QUE DE DIX FOIS LE DIVISEUR.

37. J'examine d'abord à quel caractère on peut reconnaître que le dividende contient le diviseur et ne le contient pas dix fois; et afin de fixer les idées, je suppose que le diviseur soit un nombre de trois chiffres, par exemple 485. Le dividende doit être au moins égal à 485, et plus petit que 4850 ; ce sera par conséquent, ou un nombre de trois chiffres au moins égal au diviseur,, ou un nombre de quatre chiffres ne renfermant pas 485 dizaines, c'est-à-dire un nombre de dizaines é^al au diviseur. Ainsi le dividende a autant de chiffres que le diviseur, ou autant plus un.

Soit à diviser 2965 par 485 :

Puisque le dividende contient le diviseur au moins une fois, et ne le contient pas dix fois, le quotient est l'un des neuf premiers nombres. Pour déterminer lequel, il faut faire des essais; or on peut effectuer les essais de deux manières, soit en commençant par 9 et descendant progressivement jusqu'à ce qu'on obtienne un produit contenu dans le dividende, soit en commençant par 1 et montant jusqu'à ce qu'on arrive à un reste moindre que le diviseur.

On diminue le nombre des essais, et par conséquent on abrège l'opération, en remarquant que le diviseur 485 est plus grand que 400 et plus petit que 500, et en cherchant conibien de fois chacun de ces nombres est contenu dans le dividende. Pour déterminer combien de fois le nombre 400 est contenu ^ dans le dividende, il suffit de voir combien de fois 4 centaines sont contenues dans les 29 centaines du dividende, c^est-à-dire combien de fois 4 est contenu dans 29. Or 29 contient 4 sept fois ; le dividende contient donc 7 fois le nombre 400 ; il con* tiendra au plus 7 fois le diviseur proposé 485, qui est plus grand que 400; mais il est possible qu'il ne le contienne pas ce nombre de fois* Ainsi le quotient cherché est ou 7 ou l'un

36 LIVRE I. — CllAPlTUE V.

des nombres inférieurs ; il suffit dès lors de commencer les essais à 7, en descendant jusqu'à ce qu'on obtienne un produit contenu dans le dividende. J'essaye 7 : sept fois le diviseur donne un produit 3395 plus grand que le dividende ; le chiffre 7 est trop fort. J'essaye 6 : six fois le diviseur donne un produit 2910 contenu dans le dividende ; le quotient cherché est 6. Si du dividende on retranche le produit 2910, on trouve un reste 53.

^ De ce que nous venons de dire, on conclut la règle suivante :

Règle I. — Pour faire la division^ lorsque le dividende est plus petit que dix fois le diviseur , on cherche combien de fois le chiffre des plus hautes unités du diviseur est contenu dans la partie de même ordre du dividende^ et Von essaye le chiffre ainsi obtenu; si le produit du diviseur par ce chiffre est contenu dans le dividende^ ce chiffre est bon; sinon on essaye le chiffre inférieur d^ne unité ^ et on continue les essais ju^qu à ce qu'on trouve un produit contenu dans le dividende,

38. Mais on peut procéder d'une autr^ manière : je cherche combien de fois le nombre 500 est contenu dans le dividende ; pour cela je cherche combien de fois 5 centaines sont contenues dans les 29 centaines du dividende, c'est-à-dire combien de fois 5 est contenu dans 29 ; or 29 contient 5 cinq fois ; le dividende contient donc 5 fois le nombre 500 ; il contiendra donc au moins 5 fois le diviseur proposé 485, qui est plus petit que 500 ; mais il est possible qu'il le contienne un plus grand nombre de fois. Ainsi le quotient cherché est ou 5 ou un chiffre plus grand. J'essaye 5 : si le reste obtenu est plus petit que le diviseur, le dividende ne contient que 5 fois le diviseur, et le quotient est 5 ; si le reste est plus grand que le diviseur, on en conclut que le chiffre 5 est trop faible. Mais on n'essayera pas 6, en faisant une nouvelle multiplication ; on cherchera simplement combien de fois ce reste contient encore le diviseur, et en ajoutant à 5 ce second quotient on obtiendra le quotient cherché. Dans l'exemple actuel, le chiffre 5 donne un reste 538 fois plus grand que le diviseur; or ce reste con-

DIVISION. 57

tient encore une fois le diviseur, plus un reste 53 plus petit que le diviseur; donc le dividende contient 6 fois le diviseur; le quotient cherché est 6. On déduit de là un second procédé pour effectuer la division, et ce procédé est plus simple que le premier.

Règle II. Pour faire la division^ lorsque le dividende est plus petit que dix fois le diviseur^ on augmente dune unité le chiffre des plus hautes unités du diviseur et on cherche combien de fois ce chiffre ainsi augmenté est contenu dans la partie de même ordre du dividende. On multiplie le diviseur par le chiffre ainsi obtenu^ et on retranche le produit du dividende : si le reste est plus petit que le diviseur ^ le chiffre que Von essaye est bon ; si le reste est plu^ grand que le diviseur ^ on divise ce reste par le diviseur et on ajoute au chiffre essayé ce nouveau quotient,

39. Remarque. Quel que soit d'ailleurs le procédé que Ton emploie, il est impossible, en général, de déterminer immédiatement le quotient ; mais si Ton combine les deux procédés, on restreint beaucoup l'incertitude. Si Ton divise en effet la partie séparée sur la gauche du dividende,- alternativement par le premier chiffre du diviseur et par ce premier chiffre augmenté d'une unité, on trouve deux nombres qui comprennent le quotient cherché. Ainsi, dans lexemple précédent, le quotient ne peut être, ni plus grand que 7, ni plus petit que 5 ; c'est donc Tun des trois nombres 5, 6, 7. Il y a incerlitude entre ces trois nombres ; deux essais au plus décideront. J'applique encore cette méthode à quelques exemples :

Diviser 5280 par 687 . La division de 32 par 6 et par 7 donne 5 et 4 ; le quotient est Tun des deux nombres 4 et 5. Un essai décidera.

Diviser 55845 par 8935. La division de 55 par 8 etpar 9 donne le même nombre 6 ; il n'y a pas d'incertitude, le quotient est 6.

Diviser 17325 par 1936. La division de 17 par 1 donne 17; niais, puisque le dividende ne cx)ntient pas dix fois le diviseur, on sait déjà que le quotient ne peut surpasser 9 ; cette

première division n'apprend donc rien. D'autre part, 17 divisé par 2 donne 8 ; ainsi le quotient est 8 ou 9.

Diviser 1815 par 197. La division de 18 par 2 donne 9; le quotient est 9.