Soit à diviser 1739845 par

Pour faciliter le raisonnement, je forme d'abord un tableau renfermant les produits du diviseur par les neuf premiers nombres, et j'observe que ce tableau peut être calculé par additions successives comme la table de multiplication; en ajoutant 738 à 738, on a deux fois le diviseur, soit 1476 ; en ajoutant 738 à ce nombre, on a trois fois le diviseur, soit 2214 ; en ajoutant 738 à ce dernier nombre, on a 4 fois le diviseur, etc.

Ce tableau étant formé, je sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu il en faut pour avoir un nombre contenant le diviseur au moins une fois, mais ne le contenant pas dix fois. Comme les trois premiers chiffres donnent ici un nombre 173 fois plus petit que le diviseur, je prends un chiffre de plus, ce qui fait 1739.

Ce nombre 1739, séparé sur la gauche du dividende, exprime des mille. Je cherche combien de fois ce nombre 1 739 contient

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le diviseur; à l'inspection du petit tableau dont nous avons parlé, on voit de suile qu'il le contient 2 fois. Puisque le diviseur est contenu deux fois dans le nombre 1 759, il est contenu 2 mille fois dans le nombre 1759 mille qui est mille fois plus grand, et par conséquent dans le dividende proposé.

On peut s'assurer d'ailleurs que le diviseur n'est pas contenu 5 mille fois dans le dividende. En effet, puisque 5 fois le diviseur donnent un produit plus grand que 1759, 5 mille fois le diviseur donnent un nombre de mille plus grand que 1 759 mille, et par conséquent ce nombre de mille n'est pas contenu dans le dividende proposé.

Ainsi, le dividende contient 2 mille fois le diviseur et ne le contient pas 5 mille fois; j'écris donc 2 mille au quotient.

Je retranche du dividende 2 mille fois le diviseur. Deux fois le diviseur font 1476; deux mille fois le diviseur font 1476 mille; si Ton retranche ces 1476 mille des 1759 mille du dividende, il reste 265 mille, et, si l'on retranche du dividende lui-même, il reste 265845.

Je cherche maintenant combien de fois ce reste 265845 contient encore le diviseur. Pour cela je considère le nombre 265845 comme un second dividende, sur lequel je raisonne comme sur le dividende proposé. Je sépare sur la gauche de ce nombre les 2658 centaines, et je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre séparé 2658 ; à l'inspection du tableau, on voit qu'il y est contenu 5 fois. -Puisque le diviseur est contenu 5 fois dans le nombre 2658, il est contenu 5 cents fois dans le nombre 2658 centaines, qui est cent fois plus grand, et par conséquent dans le second dividende. On verrait d'ailleurs, comme précédemment, qu'il n'est pas contenu 4 cents fois. J'écris donc 5 centaines au quotient.

Je retranche du second dividende 5 cents fois le diviseur ; trois fois le diviseur font 221 4 ; trois cents fois le diviseur font 2214 centaines, que je retranche des 2658 centaines du second dividende, il reste 424 centaines. Si l'on retranche du second dividende lui-même, il reste 42445.

Je cherche combien de fois ce nouveau reste 42445 contient encore le diviseur. Pour cela, je considère le nombre 42445

comme un troisième dividende, sur lequel je raisonne comme sur les précédents. Je sépare sur la gauche de ce nombre les 4244 dizaines, et je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre séparé 4244 ; il y est contenu 5 fois. Puisque le diviseur est contenu 5 fois dans le nombre 4244, il est contenu 50 fois dans le nombre 4244 dizaines, qui est dix fois plus grand, et par conséquent dans le troisième dividende ; j'écris donc 5 dizaines au quotient.

Je retranche du troisième dividende cinquante fois le diviseur. Cinq fois le diviseur font 5690 ; cinquante fois font 3690 dizaines, que je retranche des 4244 dizaines du troisième dividende, il reste 554 dizaines. Si l'on retranche du troisième dividende lui-môme, il reste 5545.

Je cherche enfin combien de fois le diviseur est contenu dans ce reste 5545, que Ton considère comme un quatrième dividende. Il y est contenu 7 fois; j'écris donc 7 unités au quotient.

Nous voici arrivés à un reste 379, plus petit que le diviseur. La division est terminée. Ainsi, le diviseur est contenu dans le dividende proposé 2000 fois, plus 300 fois, plus 50 fois, plus 7 fois ; il est donc contenu en tout 2357 fois ; le quotient cherché est 2537.

41. On voit que la méthode consiste à chercher combien de mille ibis le diviseur est contenu dans les 1739 mille du dividende; combiende centaines de fois dans les 2638 centaines du reste; combien de dizaines fois dans les 4244 dizaines du second reste, et enfin combien de fois dans le troisième reste 5545. On obtient ainsi successivement le chiffre des mille du quotient, celui des centaines, celui des dizaines et celui des unités.

Les nombres 1739, 2638, 4244, .5545, qui, divisés par le diviseur, donnent les chiffres successifs dû quotient, s'appellent dividendes partiels. Comme il est inutile, dans Topération, de considérer les dividendes complets, on n'écrira que les dividendes partiels.

DIVISION. li

42. Dans la "pratique, on se dispense ordinairement de former d'avance le tableau des produits du diviseur par l/îs neuf premiers nombres, et Ton effectue les divisions partielles par Tun des procédés que nous avons indiqués précédemment (n"*' 37 et 38). Après avoir séparé sur la gauche du dividende quatre chiffres pour former le premier dividende partiel 1739, je cherche combien ce premier dividende partiel contient le diviseur ; il le contient 2 fois et il y a un reste 263. J'écris 2 au quotient.

On remarque que si, à la droite du reste 263, on abaisse le chiffre suivant 8 du dividende proposé, on forme le second dividende parliel 2638. Je cherche combien de fois ce second dividende partiel contient le diviseur; il le contient 3 fois, et il y a un reste 424. J^écris 3 au quotient.

Si, à la droite du reste 424, on abaisse le chiffre suivant 4 du dividende proposé, on forme le troisième dividende partiel 4244. Je cherche combien de fois ce troisième dividende partiel contient le diviseur.; il le contient 5 fois, et il y à un reste 554. J'écris 5 au quotient.

Si, à la droite du reste 554, on abaisse le dernier chiffre 5 du dividende proposé, on forme le dernier dividende partiel 5545. Je cherche combien de fois ce dernier dividende parliel contient le diviseur ; il le contient 7 fois, et il y a un reste 379. J'écris 7 au quotient. L'opération est terminée ; le quotient est 2357, et il reste 379.

Nous pouvons maintenant énoncer la règle générale de la division :

i 42 LIVRE I. — CHAPITRE V.

Règle. — Pour diviser un nombre par un autre, on sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il en faut pour former un nombre au moins égal au diviseur. Cette partie separéej ou premier dividende partiel, divisée par le diviseur, donne le premier chiffre du quotient à partir de la gauche. A la droite du reste de cette première division on abaisse le chiffre suivant du dividende, ce qui donne le second dividende partiel; en le divisant par le diviseur, on obtient le second chiffre du quotient. A la droite du second reste, on abaisse le chiffre sui^ vaut du dividende proposé, ce qui donne le troisième dividende partiel. On continue de cette manière jusqu^à ce qu'on ait abaissé tous l^s chiffres du dividende.

REMARQUES

43. Remarque I. — Les dividendes partiels sont tous plus petits que dix fois le diviseur ; mais il peut arriver qu'un dividende partiel, autre que le premier, soit plus petit que le diviseur ; dans ce cas, le chiffre correspondant du quotient est 0, et, pour avoir le dividende partiel suivant, il Suffit d'abaisser encore un chiffre.

Soit, par exemple, à diviser 296212 par 486.

Je sépare quatre chiffres sur la gauche du dividende pour former le premier dividende partiel 2962 ; le diviseur étant contenu 6 fois dans ce premier dividende partiel, j'écris 6 centaines au quotient, et à la droite du reste 46 j'abaisse le chiffre suivant 1 du dividende proposé ; le second dividende partiel 461 étant plus petit que le diviseur 486, je mets au quolient, et j'abaisse le chiffre suivant 2 pour former le troisième dividende partiel 4612.