REMARQUE IL — Lorsque le quotient renferme un grand

filVISION.

nombre de chiffres, il est avantageux de former les produits du diviseur par les neuf premiers nombres, comme nois avons fait d'abord : Topération marche beaucoup plus rapidement.

EXEMPLE

45. Remarque III. Lorsque le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros, on peut supprimer de pari et d'autre un môme nombre de zéros, le quotient ne change pas. Soit, par exemple, a diviser 377000 par 28600 ; la question revient à chercher combien de fois 286 centaines sont contenues dans 3770 centaines ; il faudra donc diviser 3770 par 286 ; le quotient est 15, et il reste 52 centaines. Ainsi le quotient ne change pas, mais il faut ajouter à la droite du reste les deux zéros supprimés.

Ai

46. Remarque. IV. Quand on a trouvé un chiffre du quotient, il faut multiplier le diviseur par ce chiffre et retrancher le produit du dividende partiel. Pour abréger un peu Toperation, on a coutume d'effectuer la soustraction en même temps que la multiplication. Soit à diviser 525826421 par 4738. Je mets en regard les deux manières de procéder.

Quand on a trouvé le premier chiffre 6 du quotient, au lieu de multiplier le diviseur par 6, pour retrancher ensuite le produit du premier dividende partiel, on dit : 6 fois 8 font 48 unités, je ne peux les retrancher de 2 unités : j'ajoute au dividende 5 dizaines oii 50 unités, qui, avec les 2 unités, font 52 unités; de 52 je retranche 48, il reste 4. Six fois trois dizaines font 18 dizaines; j'ai ajouté au nombre supérieur 5 dizaines ; pour que la diférerice ne change pas, j'ajoute aussi 5 dizaines au nombre inférieur ; j'ai donc à retrancher 18 plus 5 ou 25 dizaines. J'ajoute au nombre supérieur 2 centaines ou 20 dizaines, qui, avec les 8 dizaines, font 28 dizaines; de 28 dizaines je retranche 25 dizaines, il reste 5 dizaines, etc.

DlVtSÎOiN. 45

On opère en disant : 6 fois 8... 48, de 52 il reste 4 et retiens 5; 6 fois 5.... 18 et 5.... 23, de 28 il reste 5 et- retiens 2; fois 7.:.. 42 et 2.... 44, de 45 il reste 1 et reliens 4; 6 fois 4.... 24 et 4.... 28, de 32 il reste 4, etc.

Mais cette manière de procéder n'offre pas un bien grand avantage ; elle dispense, il est vrai, d'écrire les produits, ce qui abrège un peu l'opération ; mais elle présente cet inconvénienl, que lorsqu'on retrouve au quotient un chiffre déjà obtenu, il faut recommencer une multiplication déjà faile. C'est ce qui a lieu dans l'exemple actuel; on retrouve à la fin les deux premiers chiffres 6 el 8 ; par le procédé ordinaire, il suffit d'écrire de nouveau les produits 28428 et 37904, déjà calculés, tandis que par l'autre procédé il faut les calculer une seconde fois. Les élèves pourront donc s'en tenir à la première méthode.

47. Remarque V. J'ai dit que, pour former le premier dividende partiel, on prend sur la gauche du dividende proposé autant de chiffres qu'il y en a au diviseur, ou autant plus un. Dans ce second cas, le nombre des dividendes partiels, et par conséquent le nombre des chiffres du quotient, est égal à l'excès du nombre des chiffres dii dividende sur le nombre des chiffres du diviseur. Dans le premier cas, le nombre des chiffres du quotient est égal à cet excès plus un.

48. Remarque VI. Nous allorls donner quelques exemples des différentes sortes de questions que l'on peut résoudre par la division.

1^ On achète pour 35 francs de drap, à 7 francs le mèlre. Combien de mètres a-t-on achetés? Il est clair que, autant de fois 7 francs sont contenus dans 35 francs, autant de mètres on a achetés. Or 7 est contenu 5 fois dans 35 ; donc on a acheté 5 mètres de drap.

2° On a acheté 7 mètres de drap pour 35 francs. Quel est le prix du mètre? Si le mètre coûtait 1 franc, les 7 mètres coûteraient 7 francs; si le mètre coûtait 2 francs, les 7 mètres coûteraient deux fais plus, c'est-à-dire deux fois 7 francs ; si

le mètre coûtait 3 francs, les 7 mètres coûteraient 5 fois plus, . c'est-à-dire 5 fois 7 francs, etc. Ainsi, autant de fois 7 francs seront contenus dans 35 francs, autant de francs coûtera le mètre. Puisque 7 est contenu 5 fois dans 35, le mètre de drap coûte 5 francs.

5** Partager 28 pommes entre 4 enfants. Je prends 4 pommes et j'en donne une à chaque enfant; j'en prends 4 autres, et j'en donne une à chaque enfant, etc. Autant de fois 4 pommes seront contenues dans 28 pommes, autant de pommes recevra chaque enfant. Puisque 4 est contenu 7 fois dans 28, chaque enfant aura 7 pommes pour sa part.

49. En général, le partage d'un nombre en plusieurs parlies égales revient à une division. Comme nous l'avons expliqué tout à rheure, le partage de 28 en 4 parties égales revient à chercher combien de fois 4 est contenu dans 28 ; car si Ton prend 4 unités dans le dividende et qu'on les distribue entre 4 personnes, chacune en aura une ; ainsi, autant de fois le nombre à partager contiendra 4 unités, autant d'unités contiendra chaque part.

Il en résulte un moyen très-rapide d'effectuer la division par Tun des neuf premiers nombres. Diviser un nombre par 2 revient, comme nous l'avons dit, à le partager en deux parties égales, ou à en prendre la moitié. De même, diviser un nombre par 3, par 4, par 5, par 6, etc., revient à en prendre le tiersy le quarts le cinquième^ le sixième^ etc. Soilà diviser 6956 par 2.

On dira : la moitié de 6 mille est 3 mille, que l'on écrit audessous de 6 ; la moitié de 9 centaines est 4 centaines pour 8, et il reste une centaine, qui, ajoutée aux 5 dizaines du nombre proposé, fait 15 dizaines ; la moitié del5 dizaines est 7 dizaines pour 14, et il reste une dizaine, qui, avec les 6 unités, fait 16 unités ; la moitié de 16 unités est 8 unités. Ainsi la moitié du nombre proposé, ou le quotient cherché, est 3478» Je divise de la même manière 395472 par 7»

DIVISION. 47

Je dirai en abrégeant : le septième de 39 est 5 pour 55, et il reste 4; le septième de 45 est 6 pour 42, et il reste 5 ; le septième de 54 est 4 pour 28, et il reste 6 ; le septième de 67 est 9 pour 65, et il reste 4 ; le septième de 42 est 6. Le quotient demandé est 56496.

PREUVE

50. Nous avons défini la division une opération qui a pour but de chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Supposons que le diviseur soit contenu exactement dans le dividende ; dans ce cas, le dividende est égal au diviseur répété autant de fois qu'il y a d'unités au quotient, c'est-à-dire au produit du diviseur par le quotient, et l'on voit que la division peut être définie ainsi : étant donnés deux nombres^ appelés lun dividende et Vautre diviseur ^ trouver un nombre qui^ multipliant le diviseur ^ ou qui^ multiplié par le diviseur (ce qui est la même chose) reproduise le dividende.

Il en résulte une manière très-simple de vérifier la division. En multipliant le diviseur par le quotient, on devra reproduire le dividende.

Si le diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende, le dividende contient le diviseur un certain nombre de fois, plus un reste moindre que le diviseur ; il est clair, dans ce cas, qu'en multipliant le diviseur par lequotient, et ajoutant le reste au produit, on devra encore reproduire le dividende. Je vérifie de cette manière le dernier exemple de division :

On retrouve le dividende ; il est très-probable que ropcralîon est exacte.

rTiERCICES.

1** Un père laisse en mourant une forlune de 74640 francs à partager entre 8 enfants. Quelle est la pari de chacun? On prendra le huitième de la fortune totale.

Réponse : 9330 francs.

2** On a acheté pour 585 francs de draps à raison de 1 3 francs le mètre. Combien de mètres a-t-on achetés?

Autant de fois 13 francs sont contenus dan^ 585 francs, autant de mètres on a achetés. On divisera donc 585 par 13.

Réponse ; 45 mètres.

3° On a achelé 320 mètres d'étoffes pour 7560 francs. A combien revient le mètre ?

Site prix du mètre était de 1 franc^ 320 mètres coûteraient 320 francs; s'il était de 2 francs ^ 320 mètres coûteraient deux fois plus, etc.; autant de fois 320 francs seront contenus dans 57G0 francs, autant de francs coûtera le mètre. Il faut donc diviser 5760 par 320.

Réponse : 18 francs.

4° On a payé 60172 francs un convoi de marchandises pesant brut 1535 kilogrammes. On sait que remballage est la cinquième par-tie du poids total. A combien revient le kilogramme de marchandises?

// faut d^abord calculer le poids de remballage, en prenant le cinquième de 1535 kilogrammes ; on trouve ainsi que Remballage pèse 307 kilogrammes. En retranchant ce poids du poids total, on aura le poids 1228 kilogrammes delà marchandise elle-même. En divisant 60172 par 1228, on aura enfin le prix du kilogramme.

Réponse : 49 francs.

5° Combien y a-t-il de minutes et d'heures dans 24056 secondes ?

DIVJSIO.N. 49

Pumiue 60 secondes forment une mhiutej autant de fois 60 secondes seront contenues dans 24056 secondes^ autant de minul nous aurons; en divisant 24056 par 60, nous trouvons ainsi 400 minutes^ et il reste 56 secondes. De mêmCj puisque GO minutes forment une heure^ autant de fois 60 minutes seront contenues dans iOO minutes^ autant d'heures noitô aurons;

en divisant 400 par 60, nous trouvons 6 heures^ et il reste 40 minutes. Ainsi, 24056 secondes valent 6 heures 40 minutes et 56 secondes.

6® Combien faudra-t-il de temps à une fontaine donnant 15 lilrcs d*eau par minute pour remplir un bassin d'une capacité de 24645 litres?

Autant de fois 24645 litres contiennent 15 litres^ autant de minutes il faudra à la fontaine pour remplir le bassin : nous trouvons 1643 minutes. E7i opérant comme dans le problème précédent j on verra que ce nombre de minutes est égal à 1 jour 3 heures et^'5 minutes.

1^ Quel temps faudrait-il pour faire le tour de la terre, si Ton pouvait marcher sans cesse en faisant une lieue par heure? Réponse : 375 jours.

8" Deux voyageurs vont à la rencontre Tun de Taulrc ; ils sont actuellement distants de 20704 métrés ; le premier fait 12 mètres par minute, le second en fait 20. On demande: 4** après combien de temps les deux voyageurs se rencontreroui ; 2* à quelle dislance ils seront alors des points de départ?

Les deux voyageurs faisant V un 12 mètres. Vautre 20 mètres l,ar minute^ la distance qui les sépare diminue de 32 mètres par minute ; autant de fois 32 mètres sont contenus dans 20704 mè'.res^ autant de minutes il leur faudra pour se rencontrer ; en divisant 20704 par 32, on trouve 647 minutes ou 10 heures 47 minutes. Pendant ce temps^ le premier voyageur a parcouru 77G4 mètres, le second 12940.

9° La circonférence de la terre est de 40 millions de mètres. Quelle est la longueur en mètres de la lieue de 2? au degré et celle de la lioiie marine de 20 au degré?

Réponse : La lieue de 25 au degré vaut 4444 métros. La lieue marine 5556

10° La distance de la hine à la terre est 60 fois plus grande que le rayon du globe terrestre, et ce rayon est de C566503 mètres. On demande quel temps mettrait le son, qui parcourt 540 mètres par seconde, pour venir de la lune à la terre ?

On exprimei^a d'abord en mètres la distance de la lune à la terre; ensuite on cherchera combien de secondes mettrait le son pour parcourir cette distance ; enfin on calculera combien il y a de minutes y d^heures et de jours dans ce nombre de se* condes.

Réponse : 13 jours 5 minutes.

H® La distance du soleil à la terre est de 34000000 lieues de 25 au degré, et l'on sait que la lumière met 8 minutes 13 secondes pour venir du soleil à la terre. Combien de lieues la lumière parcourt-elle par seconde?

12" L'étoile la plus rapprochée de nous est à une distance 200000 fois plus grande que le soleil. Combien de temps emploie la lumière pour venir de cette étoile jusqu'à nous?

Réponse : Environ 3 ans.