CHAPITRE PREMIER

PRODUIT DE PI4USIEI3BS FACTEURS

SIGNES ABREVIATIFS.

Si. On a imaginé des signes abréviatifs pour indiquer les qualre opérations arithmétiques qui ont été étudiées dans le livre précédent.

Le signe -l- signifie p/w5, le signe — signifie moins. Ainsi :

5 plus 3 s'écrit 5 -h 5 5 moins 3 s'écrit 5 — 3.

On emploie le signifie x, ou même quelquefois un simple point, pour indiquer la multiplication. Ainsi 5x3 ou 5,3 signifie 5 multiplié par 3.

La division est indiquée par deux points ou par un trait horizontal ; au-dessus de ce trait on place le dividende, au-dessous le diviseur. Ainsi 12 divisé par 3 s'écrit 12 : 3 ou -^.

On a imaginé d*autres signes pour indiquer Tégalité ou rinégalité de deux nombres. Le signe=est celui de Tégalité./ Ainsi 5 X 3=i5 exprime que le produit de 5 par 3 égale 15.\ Le signe > veut dire plus grand que; le signe < plus petit ' que. Ainsi 7> 5 exprime que 7 est plus grand que 5, et 5 < 7 que 5 esl plus pi fil que 7. L'ouverture du signe est toujours tournée du côté du plus grand nombre.

62 LlYllE 11. - CHAPITRE 1.

L'expression

indique qu'il faut multiplier 5 par 4, ce qui donne 20 ; qu'il faut multiplier ensuite 20 par 3, ce qui donne 60 ; enfin qu'il faut multiplier 60 par 7, ce qui donne 420. L'expression proposée indique donc une série de multiplications successives ; les nombres qui, par cette suite de multiplications, servent à former le produit final, sont les facteurs du produit. .

CliAISGEMEKT DE L ORDRE DES FACTEURS.

52. Je vais démontrer une proposition très-importante, et dont on fait fréquemment usage : c'est que le produit ne change pas, quel quel soit Tordre dans lequel on effectue les multiplications. Je dispose, par exemple, les facteurs précédemment cités dans l'ordre suivant

il faut multiplier 3 par 5, ce qui donne 15, puis 15 par 7, ce qui donne 105, puis 105 par 4, ce qui donne 420 ; j'obtiens le même produit. Pour démontrer ce principe d'une manière générale, je considérerai successivement divers cas particuliers.

Lemme I. Le produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit Vordre des facteurs.

Ce cas simple a été démontré dans le chapitre de la multiplication (n° 33).

Lebisie II. Le produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux derniers.

Nous vouions prouver, par exemple, que 5x4x3 = 5x3x4. Pour figurer ce produit, écrivons le nombre 5 quatre fois sur une même ligne horizontale, et répétons cette ligne trois fois :

PROMIT DE PLUSfEURS FACTEURS. 55

Chaque ligne horizonlale, se composant du nombre 5 répété quatre fois, vaut 5x4; comme il y a trois lignes, on a en tout 5x4x3. D'autre pari, chaque colonne verticale, se composant du nombre 5 répété trois fois, vaut 5x3; comme il y a quatre colonnes, on a en tout 5x3x4. Ainsi, le même tableau, évalué d'une façon ou de l'autre, donne 5x4x3 ou 5x3x4. Il en résulte que le produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit Tordre des deux derniers.

Lemme IH. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas quand on intervertit lordre des deux derniers. Je considère les deux expressions

Si l'on suppose effectué le produit des premiers facteurs 5x4x3, les deux expressions se réduisent au produit des trois mêmes facteurs, dans lequel seulement Tordre des deux derniers 7 et 2 a été changé, ce qui, comme on Ta vu, n'altère pas le résultat final.

Lemme IV. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas lorsqu^an intervertit lordre de deux facteurs consécutifs quelconques.

Si dans le produit 5x4x3x7x2x8 on change Tordre des deux facteurs consécutifs 3 et 7, on obtient le produit égal 5x4x7x3x2x8. En effet, si Ton effectue le produit des quatre premiers facteurs, puisque Tordre des deux derniers seulement 3 et 7 est interverti, on obtiendra le même produit de part et d'autre, et, comme ce produit est soumis ensuite aux mômes opérations, c'est-à-dire est multiplié par 2, puis par 8, on arrivera au même résultat final.

Théorème I. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas quand on change d\me manière quelconque V ordre des facteurs.

En changeant successivement Tordre de deux facteurs consécutifs, on peut disposer les facteurs du produit

dans tel ordre que Ton voudra. On veut, par exemple, amener le fadeur 2 au premier rang; on le fera d*abord passer au quatrième rang, en changeant l'ordre des deux facteurs con-. sécutifs 7 el 2, puis au troisième, en changeant l'ordre des facteurs consécutifs 3 et 2, puis au second, puis enfin au premier. On amènera de même au second rang celui des autres facteurs que Ton désignera, et Ton continuera de la rorle jusqu'à ce que Ion ait disposé tous les facteurs dans Tordre voulu.

53. Théouème II. Dons un produit de plusieurs facteurs^ on peut combiner deux^ trois^ facteurs à volonté.

D'abord, si les deux facteurs que l'on veut combiner sont au commencement, comme Texpression elle-même indique (^u il faut muliplier le premier par le second, on pourra effectuer cette multiplication et remplacer ainsi ces deux fac- Icurs par leur produit. Si les deux facteurs ne sont pas au commencement, on supposera qu'ils y soient amenés, et on les remplacera par leur produit ; ce produit pourra être mis ensuite à un rang quelconque.

Puisqu'on peut réunir deux facteurs, on en peut réunir trois, quatre, etc. ; car on en combinera d'abord deux, puis on combinera le produit de ces deux premiers avec le lioisième, etc.

Ces combinaisons de facteurs abrègent singulièrement les calculs ; on demande, par exemple, la valeur du produit

Si Ton effectuait les multiplications dans Tordre indiqué, le calcul serait long ; mais je remarque que 2 fois 5 font 10 el 4 fois 25 font 100 ; je groupe donc les facteurs 2 et 5, 4 et 25, 7 el 9 ; Texpression proposée se réduit à

54. Réciproquement, on peut décomposer un facteur en deux^ trois y autres plus simples»

Soit Texpression