PRODUIT DE PLUSIEURS FACTKURS

Soit 7' 5 diviser par 7'. Il faut trouver un nombre qui, multiplié par 7', reproduise 7*; ce nombre est 7*.

Exercices.

1* Combien y a-t-il de secondes dans un jour?

Ce nombre est exprimé par le produit 60x60x24.

Réponse : 86400 secondes.

2' La circonférence a été partagée en 360 degrés, le degré ' en 60 minutes, la minute en 60 secondes. Combien la circonférence renferme-t-elle de secondes?

Réponse : 1296000.

5° La lumière parcourt 70000 lieues par seconde. A quelle distance de la terre serait situé un astre dont la lumière emploierait un jour pour venir jusqu'à nous?

Réponse : 6048000000 lieues.

CUAPITUE II

DEFIMTIONS.

59. On a \u que diviser un nombre par un autre, c'est chercher combien de fois le dividende contient le diviseur. Lorsque la division se fait exactement, en d'autres termes, lorsque le dividende contient le diviseur un certain nombre de fois exactement, on dit que le premier nombre est divisible par le second. Ainsi 28, contenant 7 quatre fois exactement, est divisible par 7.

D'autre part, on appelle multiples d'un nombre les produits que Ton obtient en multipliant ce nombre par les nombres

consécutifs 2, 3, 4 , etc. Les multiples de 7 sont deux fois

7 ou 14, trois fois 7 ou 21, etc. Par analogie, le nombre 7, pouvant être considéré comme le produit de 7 par l'unité, est le plus petit multiple de 7 .

Tout multiple d'un nombre, se composant d'un certain nombre de fois ce nombre, est divisible par ce nombre; et, réciproquement, tout nombre divisible par un autre est un multiple de ce dernier. Ainsi,les deux expressions, nombre divisible par un autre, ou nombre multiple d'un autre, ont même signification.

Lorsque le dividende ne contient pas exactement le diviseur, l'opération appelée division consiste à chercher le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende. Dans ce cas, le dividende est égal à un certain multiple du diviseur, plus un reste moindre que le diviseur. Ainsi, 38 est égal à un multiple de 7, plus un reste 3; en d'autres termes, 38 donne le reste 3, par rapport au diviseur 7.

Il est évident que la somme ou la différence de deux jiombres divisibles par un troisième est divisible par ce troisième. On ajoute, par exemple, les deux nombres 21 et 35, divisibles par 7 ; la somme se composant de trois fois 7, plus cinq fois 7, est égale à huit fois 7, et par conséquent est divisible par 7.

Mais si Ton ajoute deux nombres, Tun divisible par un troisième, Tautre non divisible, la somme ne sera pas divisible. On ajoute, par exemple, les deux nombres 21 et 58, le premier divisible par 7, le second non divisible; le nombre 38 égale 5 fois 7, plus un reste 3; la somme se composera d'un cerlain nombre de fois 7, plus le même reste 5. Ainsi, dans ce cas, la somme n est pas divisible, et elle fournit le môme reste que la partie non divisible.

L'étude des restes constitue une des parties principales de la théorie des nombres; aussi importe-t-il de savoir déterminer par des procédés rapides le reste de la division d'un nombre par un autre, sans qu'on soit obligé d'effectuer la division. Je vais m' occuper de la recherche de ces procédés, en me bornant, pour le moment, à quelques diviseurs simples.

A cette question se rattache celle des caractères de divisibilité; on entend parla le moyen de reconnaître, à l'inspection d'un nombre, s'il est divisible par tel ou tel diviseur; car si le procédé, indiqué pour le calcul du reste, donne zéro, il est clair que le nombre donné est divisible par le diviseur que Ton considère.

60. Les nombres divisibles par 2 s'appellent nombres pairs; ceux qui ne le sont pas s'appellent nombres impairs. Si l'on considère la suite des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, «, 10, 11, 12,..,

on voit que les nombres pairs et les nombres impairs se succèdent alternativement. Les nombres 2, 4, 6, 8 sont pairs; les nombres 1, 3, 5, 7, 9, sont impairs. Tout nombre impair égale un nombre pair plus un.

00 LIVRE II. — Cil AUTRE II.

Nqus allons démonfrer qu'*/n nombre est pairJorsquHl est terminé par on par Vun des chiffres pars ^^ 4, 6, 8, et qu'il est impair Jorsqu il est terminé par lun des chiffres impairs

Considérons d'abord un nombre terminé par 0, par exemple le nombre 230. Ce nombre égale 23 fois 10; mais 10 égale 5 fois 2 ; donc 230 égale un certain nombre de fois 2, et par conséquent est divisible par 2.

Soit maintenant un nombre, comme 236, terminé par un chiffre pair. Ce nombre se compose de deux parties, Tune 230 divisible par 2, l'autre 6 aussi divisible par 2 ; donc ce nombre est lui-même divisible par 2.

Mais,si le nombre est terminé par un chiffre impair, il n'est pas divisible par 2. Soit, par exemple, le nombre 237, terminé par le chiffre impair 7 ; ce nombre 237 égale le nombre pair 256, plus un; cest donc un nombre impair.

En appliquant celte règle, on voit immédiatement que les nombres 150, 78, 1004 sont pairs et que les nombres 21, 153, 67 sont impairs.

DIVISEUR r

61. En examinant la série des nombres, on reconnaît que les multiples de 5 se succèdent de cinq en cinq. Le premier multiple que l'on rencontre est le nombre 5 lui-môme; après le nombre 5, viennent les quatre nombres 6, 7, 8, 9, ou 5 -h 1 , 5^-2, 5 -1- 3, 5 -H 4; ces nombres ne sont pas divisibles par 5 et donnent pour restes les quatre premiers nombres 1, 2, 3, 4. On trouve ensuite le nombre 5 + 5 ou 2 fois 5 ; c'est un nouveau multiple de 5. Les quatre nombres suivants étant égaux à 10 + 1, 10-1-2, 10 -H 3, 10 -h 4, ne sont pas divisibles par 5, et donnent pour restes les quatre premiers nombres; vient ensuite 10-1-5 ou 3 fois 5, nouveau multiple de 5. Ce raisonnement est général ; les quatre nombres qui suivent un multiple quelconque de 5 sont égaux à ce multiple, plus 1, 2, 3, 4; le cinquième nombre est égal au multiple précédent plus 5, c'est un nouveau multiple de 5.

DIVISIBILITÉ. Gl

Nous allons faire voir qu'w?i nombre est divisible parhjorsquil est terminé par ou par 5.

Considérons d'abord un nombre tel que 240, terminé par zéro. Les raisonnements que nous avons faits sur le diviseur 2 s'appliquent au diviseur 5. Le nombre 240 égale 24 fois 10 ; mais 10 égale 2 fois 5 ; donc 240 égale un certain nombre de fois 5, et par conséquent est divisible par 5.

Soit maintenant un nombre comme 245, terminé par 5. Ce nombre se compose'de deux parties, Tune 240 divisible par 5, Tautre 5 aussi divisible ; donc ce nombre esl lui-même divisible par 5.

Mais si le nombre n'est pas terminé par ou par 5, il n*est pas divisible par 5. Par exenoiple, le nombre 245 égale le nombre 240 divisible par 5, plus le reste 3. De même le nombre 247 égale le nombre 245, divisible par 5, plus le reste 2. On voit donc que le reste de la division dmi nombre par 5 est le même que le reste donné par le dernier chiffre.

62. Théorème. Le reste de la division d'un nombre par 4 éiiale le reste que donne le nombre formé par ses deux derniers chiffres.

" Le nombre 100, étant égal à 25 fois 4, est divisible par 4. Tout nombre terminé par deux zéros, étant un mulliple de 100, est par conséquent divisible par 4. Un nombre quelconque 2736 se décompose en deux parties, l'une 2700 divisible par 4, l'autre 36 formée des deux derniers chiffres. Si cetle seconde partie est divisible par 4, le nombre Test aussi ; si cette seconde partie n'est pas divisible par 4, le nombre ne Test pas non plus, et le reste est le même que celui fourni par cette seconde partie.

Corollaire. Vn nombre est divisible par 4, quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible j)(iv 4.

63. Lemme I. Une unité d'un ordre quelconque égale un multiple de 9 plus 1. En effet, les nombres 9, 99, 999..., que Ton forme en multipliant 9 par les nombres 1, H, 111,... sont des multiples de 9 ; si Ton ajoute l'unité à ces différcnls nombres, on obtient 10, 100, 1000,... c'est-à-dire les unités des différents ordres.

Lemme II. Un nombre formé d'un chiffre significatifs suivi d'un nombre qmlconque de zéros, égale un multiple de 9 plus ce chiffre.

le nombre 800, par exemple, égale 8 fois 100 ; or, 100 égale un multiple de 9 plus 1 ; donc 800 égale 8 fois ce multiple, ce qui donne un multiple, plus 8 fois Tunité, ou 8.

Théorème. Le reste de la division d'un nombre par 9 égale le reste de la somne de ses chiffres par 9.

Un nombre quelconque, par exemple 3548, peut être décomposé de la manière suivante :

La seconde partie 40 égale un multiple de 9 plus 4 ; la troisième partie égale un multiple de 9 plus 5 ; la quatrième un multiple de 9 plus 3. En réunissant tous tes multiples, on obtient un multiple : on voit donc que le nombre proposé se compose d*un multiple de 9, augmenté de la somme de ses chiffres. Si cette somme est divisible par 9, le nombre luimême sera divisible ; si cette somme n'est pas divisible, le nombre ne sera pas divisible, et il donnera le même reste que la somme de ses chiffres.

Corollaire. Un nombre est divisible par 9, quand la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Inapplication du théorème montre que les nombres 27, 81,

155, 2405, sont divisibles par 9; que les nombres 12, 52, 2501, ne sont pas divisibles, et donnent pour reste 5, 7, 6.

64. Remarque. On abrège l'addition des chiffi'es en retranchant 9 successivement dans le cours de l'opération, fontes les fois que ce sera possible ; car en retranchant 9 on ne change pas le reste. Soit le nombre 5548 : je dis 8 et 4 font 12, reble 5, et 5 font 8, et 5 font 11, reste 2 ; le reste de la division du nombre 5548 par 9 est 2.

Soit le nombre 2604521956. En sous-entendant la soustraction de 9, je dis: 6 et 5...0, et 9... 0, et 1... 1, et 2... 5, et 5... 6, et 4... 1, et 6... 7, et 2... 0. Le nombre proposé est divisible par 9.

G3. Théorème. Le reste de la division d'un nombre par 5 âjale le reste de la division de la somme de ses chiffres par 5.

On a démontré qujun nombre quelconque égale un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Puisque 9 est un multiple de 5, un multiple de 9 est aussi un multiple de 5; donc un nombre quelconque égale un multiple de 5, plus la somme de ses chiffres.

Corollaire. Un nombre est divisible par 5 quand la somme de ses chiffres est divisible par 5.

En faisant la somme des chiffres, on retranchera 5 ou un multiple de 5 toutes les fois que ce sera possible. Soit le nombre 125405207928; on dira : 8 et 2... 1, et 9... 1, et 7... 2, et '6... 2, et2.,. 1, et 5... 1, et 4... 2, et 5... 1, et 2... 0, et 1... 1. Le reste de la division du nombre proposé par 5 c:t 1.

diviseur 11.

66. Je cherche d'abord les restes que fournissent les puis-^ sauces successives de 10 divisées par 11.

Le nombre 100 égale 99 plus 1 ; mais 99, ou 9 fois 11, est un mulliple de H ; donc iOO égale un multiple de H plusl.

On obtient 1000 en multipliant 100 par 10 ; mais 100 égale un multiple de 11 plus 1 ; le multiple de 11 répété 10 fois donne un multiple de 11 ; donc 1000 égale un multiple de 11 plus 10.

De même on obtient 10000 en multipliant 1000 par 1 ; mais 1000 égale un mulliple de 11 plus 10; le multiple, répété

10 fois, donne un mulliple; le reste 10, multiplié par 10, donne 100 ou un multiple de 11 plus 1 ; donc 10000 se compose de deux multiples de 11, qui, réunis, forment un multiple, plus un reste 1 .

En continuant de la même manière, on trouve alternativement les restes 1 et 10, ainsi que le représente le tableau suivant :

X Vf ^^^ ••••••••• M \J

100= multiple de U H- 1

1000= id. +10

10000= id. -4- 1

100000= id. -f-10

On en conclut :

Lemme I. Ltinité suivie d^un nombre pair de zéros égale un multiple de 11 plus 1.

Lemme II. Vunité suivie d^un nombre impair de zéros égale un midtijile de H moins 1 . En effet, le nombre 1000, par exemple, égale un multiple de 11 plus 10 ; §i Ion remplace 10 par

11 moins 1 , on voit que le nombre 1000 égale un multiple de 11 moins 1.

Lemme IIL Un nombre formé d*un chiffre significatifs suivi d*un nombre pair de zéros ^ égale un mulliple de il plus ce chiffre.

Lemme IV- '^\ nombre formé d'un chiffre significatif, suivi

d'un nombre impair de zéros ^ égale un multiple de H moins ce chiffre.

THÉoiiÈME. Pour trouver le reste de la division d*m nombre ])ar \\y on retranche la somme des chiffres de rang pair de la somme des chiffres de rang impair ^ augmentée de H si cela eht nécessaire.

Soit un nombre quelconque 1659718. Je le décompose de la manière suivante :

10 = multiple de li. . , . — 1

700= id -i-7

9000= id —

30000= id: .... -4-3

600000= id —6

1000000= id +1

Puisque la somme de tous les multiples de 11 donne un multiple de 11, le nombre proposé égale un multiple de H, plus la somme des chiflres de rang impair, moins la somme des chiffres de rang pair.

En calculant l'une et l'autre somme, on aura soin, pour abréger, de retrancher 11 toutes les fois que ce sera possible, ce qui, comme il a été dit, ne change pas le reste. En opérant de cette manière sur le nombre proposé, on trouve 8 pour la première somme, 5 pour la seconde ; le nombre 1639718 égale donc un multiple de 11, plus 8, moins 5, c'est à-dire un multiple de 11, plus 3.

En opérant sur le nombre 8092, on trouve 2 pour la première somme, 6 pour la seconde ; le nombre proposé égale donc un multiple de 11 , plus 2, moins 6. Afin de pouvoir retrariclierla seconde somme de la première, j'augmente celle-ci de 11, et je retranche 6 de 15, ce qui donne le reste 7.

Corollaire. Lorsque le reste ainsi obtenu est 0, on en conclut que le nombre eat divisible par 11.