NOMBRES PREMIERS
nombres à la suite les uns des autres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, H, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
Parlant de 2, on barre les nombres de 2 «en 2, savoir : 4, 6, . . . Les nombres ainsi barrés sont les multiples de 2 ou les nombres pairs.
Parlant de 3, on barre les nombres de trois en trois, savoir 6, 9, 12, 13. . . . Les nombres ainsi barrés sont les multiples de 3.
Les multiples de 4 ont déjà été barrés, puisque ce sont des multiples de 2.
Partant de 5, on barre les nombres de 5 en 5, savoir : 10, 15, 20, . . . ; ce sont les multiples de 5.
Les multiples de 6 sont déjà barrés comme multiples de 2 et de 3.
Partant de 7, on barre les nombres de 7 en 7 ; ce sont les multiples de 7.
Les multiples de 8 et de 9 sont déjà barrés, les premiers comme multiples de 2, les seconds comme multiples de 3.
Il est inutile d aller plus loin. En effet, lorsqu'un nombre plus petit que 100, par exemple 96, est divisible par un nombre 12 plus grand que 10, il est égal au produit de 12 par un quotient 8 nécessairement plus petit que 10, et par conséquent il est aussi divisible par 8 ; en un mot, lorsqu'un nombre plus petit que 100 est multiple d un nombre plus grand que 10, il est aussi multiple d'un nombre plus petit que 10, et, comme tel, a déjà été barré.
Les nombres non barrés
sont les nombres premiers.
94. Si Ton voulait former le tableau des nombres premiers plus petits que 1000, on écrirait les mille premiers nombres à la suite les uns des autres et on barrerait comme précédemmentles multiples de2, 3, 5, 7,11,1 3, 17, 19,23, 29, 31 . On s'arrêterait après avoir barré les multiples de 31, parce
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que le nombre 32, multiplié par lui-même, donne un résullat plusgrand que 1000. Toul nombre pluspelitquelOOOclmulliplc d'un nombre plus grand que 31 , est aussi mulliple d'un nombre plus petit que 31, et, comme tel, aura déjà été barré.
95. Nous allons démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée. Soit p un nombre premier; je dis qu'il existe un nombre premier plus grand que p. Considéroiis en effet le produit de tous les nombres premiers de i à p, et à ce produit ajoutons l'unité, nous obtiendrons un nombre
N=1.2.5.o.7.H p-hi.
Ce nombre N étant formé de deux parties, Tune divisible par chacun des nombres premiers de 2 à ;;, l'autre non divisible, n*est divisible par aucun de ces nombres premiers. Cela posis si le nombre N est premier, comme il est plus grand que p, le théorème est démontré; s'il n'est pas premier, il est divisible par un nombre premier, et, d'après ce que nous avons dit, ce nombre premier est plusgrand quep., Ainsi, dans tous les cas, il existe un nombre premier plus grand que p, et par conséquent la suite des nombres premiei s est illimitée.
