PROPAIÉTÉS DES NOMBRES PREMIERS
96. Lemme. Lorsquun nombre premier ne divise pas un nom' bre^ il est premier avec lui.
Par exemple, le nombre premier 7, ne divisant pas 20, est premier avec 20. En effet, puisque les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7, les communs diviseurs de 7 et de 20 ne peuvent être que 1 et 7 ; or 7 ne divise pas 20 ; le seul commun diviseur de ces deux nombres est donc 1, et par conséquent ces deux nombres sont premiers entre eux .
Théorème IX. Lorsquun nombre premier divise le produit de plusieurs facteurs^ il divise au moins Vun d^eux.
Je considère d'abord un produit de deux facteurs 14x20, divisible par un nombre premier 7 ; je dis que l'un des facteurs est divisible par 7. En effet, si 7 divise 20, le théorème est démontré; s'il ne divise pas 20, il est premier avec lui,
NOUDRËS PREMIERS. 89
et, en vertu du Ihooreme V (n*^ 82), il doit diviser Tautrc facteur 14.
Je considère maintenant un produit de trois facteurs, par exemple 14x20x16, divisible par un nombre premier 7 ; je dis que l'un des facteurs, au moins^ est divisible par 7. En effet, je suppose effectué le produit 14x20 des deux premiers facteurs; le nombre premier 7 divise le produit des deux nombres 14x20 et 16, et par conséquent divise l'un d'eux. S'il divise 16, le théorème est démontré ; s'il ne divise pas 16, il divise l'aulre nombre 14x20 ; dans ce cas, le nombre premier 7 divise le produit 14x20 de deux facteurs, et Ton sait qu'il doit diviser l'un d'eux, 20 ou 14. Ainsi 7 divise nécessairement l'un des trois facteurs 16, 20, 14.
Ce mode de raisonnement peut être étendu facilement à autant de facteurs que l'on veut. Je suppose que le nombre premier 7 divise un produit de quatre facteurs
yi dis qu'il divise l'un d'eux. Je regarde en effet le produit des trois premiers facteurs comme effectué ; le nombre 7 divise le produit des deux nombres 14x20x16 et 12, et par conséquent divise l'un d'eux. S'il divise 12, le théorème est démontré ; s'il ne divise pas 12, il divise l'autre nombril 4 X 20 x 16 ; dans ce cas le nombre premier 7 divise le produit de trois facteurs, et par conséquent divise Tun d'eux.
Le théorème, étant démontré pour quatre facteurs, s'étendra de même à cinq facteurs, puis à six, à sept, etc. Le théorème est donc vrai pour un nombre quelconque de facteurs.
97, ConoixAiuB I. Lorsquun nombre premiei' divise une puiss:mce d un nombre^ il divise ce nombre*
En effet, une puissance d'un nombre est un produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre ; le nombre premier, divisant le produit, divise l'un des facteurs, et par conséquent divise le nombre qui a été élevé à la puissance. Ainsi le nomj)re premier 7, divisant le nombre 9261, qui est la troisième puissance de 21 , divise nécessairement 21.
90 LIVnE II. — CIIAMTRE IV.
98. CoKOLLAiRE II. Quaud deux nombres sont premiers entre eux, deux puissances quelconques de ces deux nombres sont premières entre elles.
Soient deux nombres 15 et 28, premiers entre eux ; je dis que des puissances quelconques 15', 28* de ces deux nombres sont aussi deux nombres premiers entre eux. En effet, si ces deux puissances n'élaient pas premières entre elles, elles admettraient un plus grand commun diviseur autre que l'unité. Je suppose d'abord que ce plus grand commun diviseur soit un nombre premier ; ce nombre premier divisant 15' et 28*, diviserait 15 et 28; les deux nombres 15 et 28 admettraient ainsi un diviseur commun autre que Tunilé, ce qui est impossible, puisque ces deux nombres sont premiers enlrc eux. Je suppose maintenant que le plus grand commun diviseur des deux puissances 15' et 28* soit un nombre non premier, ce nombre sera divisible nécessairement par un certain nombre premier, et ce nombre premier diviserait . les deux puissances, et par conséquent les deux nombres eux-mêmes, ce qui est impossible.
99. Théorème X. Un nombre nest décomposable qu^en tin seul stjstème de facteurs premiers.
J'ai dit qu'un nombrequelconquepeut être considéré comme un produit de nombres premiers ; je vais démontrer que, quel que soit le procédé de décomposition qu'on emploie, on arrive toujours au môme résultat final ; en d'autres termes, qu'il n'y a qu'une manière de représenter un nombre donné par un produit de facteurs premiers. Tout se réduit évidemment à démontrer que, lorsque deux produits de facteurs premiers représentent le même nombre, ils sont composés identiquement de la même manière.
Je suppose que le fadeur premier 7 se trouve dans le premier produit, il se trouvera aussi dans le second. En effet, le nombre 7, divisant le premier produit, et par conséquent le second, qui est égal au premier, divisera l'un des facteurs qui composent ce second produit; comme ces facteurs sont premiers, l'un d'eux sera précisément ?•
NOMBRES PRE31IERS. 01
Je suppose maintenant que le premier produit renferme le facteur 7 trois fois, c'est-à-dire 7x7x7 ou 7', le second produit renfermera aussi 7'; car si le second produit renfermait, par exemple, 7% en divisant les deux produits égaux par 7*, on aurait encore deux produits égaux, Pun renfermant le facteur 7, l'autre ne le renfermant pas, ce qui est impossible. Ainsi le« deux produits égaux sont composés des mêmes facteurs premiers affectés des mêmes exposants. C'est identiquement la même expression.
DÉCOMrOSITiûN d'un NOMBRE EN SES FACTEURS PREMIERS.
100. Proposons-nous de décomposer le nombre 504. On remarque d'abord que ce nombre, étant terminé par un chiffre pair, est divisible par le facteur premier 2; en effectuant la division, on aura 504=2x252. Le nombre 252 est encore divisible par 2, et Ion a 252=2x126. Le nombre 126 est encore divisible par 2, et l'on a 126=2x63. Le nombre 63 n'est plus divisible par 2; mais, la somme de SCS chiffres étant divisible par 3, ce nombre est divisible par 5, et Ton a 63=:3x21. Le nombre 21 est encore divisible par 3, et l'on a 21=3x7. Le nombre 7 étant premier, la décomposition est terminée. On a finalement
504=2x2x2x3x3x7=2^x3*x7 On dispose ordinairement l'opération de cette manière :
Décomposer le nombre 1500 en ses facteurs promierj. Au ieu d'opérer comme précédemment, il est plus simple d'ob-
92 LIVRE ir. - CHAPITRE IV.
server que 1500=15x100, et de décomposer séparément les deux nombres 15 et 100. Puisque 15=5x5 et que 100=i0xl0 = 2*x5S on a 1500=2^x3x5'.
Pour reconnaître si un nombre donné est premier, il suffit de s'assurer qu'il n'est divisible par aucun des nombres premiers dont les secondes puissances sont inférieures ou égales à ce nombre. Soit par exemple le nombre 1229 ; ce nombre n'est divisible par aucun des nombres premiers
2,3,5 29,31; le nombre premier suivant 37, multiplié
par lui-même, donne un produit 1369 plus grand que 1229 ; on en conclut que le nombre 1229 est premier; car s'il était divisible par un nombre premier plus grand que 31, il le serait aussi par un nombre plus petit.
101. La décomposition des nombres en facteurs premiers permet de résoudre presque instantanément un grand nombre de questions sur les nombres.
Considérons deux nombres quelconques décomposés en leurs facteurs premiers, par exemple
Le produit de ces deux nombres est
360x336 = 2'xû'Xox2*x3x7.
En réunissant les facteurs 2'x2*, ce qui se fait par Taddition des exposants (n'*58), ona 2\ De même le produit 3'x3 donne 3' ; car on peut considérer le second facteur comme étant affecté de l'exposant 1. Ainsi on a pour le produit demandé
360x336 =r2'xo'x5x7,
et Ton voit que l'on effectue la multiplication en ajoutant les exposants des facteurs premiers qui entrent dans les deux nombres, et écrivant les autres à la suite.
Quand deux nombres sont décomposés en facteurs premiers, il est aisé de reconnaître si le plus grand est divisible par le plus petit; il faut pour cela que le premier renferme tous les
NOMBRES PREIIIKRS. S3
facteurs premiers du second avec dos exposants au moins égaux; car le nombre dividende, élant égal au produit du diviseur par le quotient, contient tous les facteurs premiers du diviseur, et en outre ceux du quotient. Ainsi, on voit immédiatement que le nombre 2^* x 3' X 5 X 7 est divisible par le nombre 2' X 3'x 5. On etfeclue la division en relranchant les exposants du diviseur des exposants d^s mêmes facteurs dans le dividende, et écrivant à la suite les facteurs du dividende qui n'entrent pas dans le diviseur; Le quotient est ici 2^x3x7; car, en multipliant le diviseur par le quotient, on reproduit le dividende.
DIVISEURS d'un nombre.
102. Un diviseur quelconque d'un nombre se compose d*une partie des fadeurs premiers de ce nombre. Si donc ou combine ces facteurs premiers de toutes les manières possibles, soit un à un, soit deux à deux, etc., on formera tous les diviseurs du nombre proposé.
Je vais expliquer, sur le nombre 560, comment on effectue ordinairement ces combinaisons.
Les deux premières colonnes verticales de gauche représentent la décomposition du nombre 360 en facteurs premier.> ; à droite sont placés les diviseurs cherchés. Pour les former, on a mis en tête le diviseur 1 ; on Ta multiplié par le fadeur premier 2, et on a écrit le produit 2 au-dessous. On trouve ensuite dans la deuxième colonne verticale un second facteur premier 2 ; on multiplie par ce facteur les deux diviseurs déjà obtenus, on forme ainsi le diviseur 2 déjà écrit et un nouveau
IS
diviseur 4 que l'on écrit au-dessous. On continue de la sorte à multiplier tous les diviseurs déjà formés parle facteur premier suivant, en ayant soin de ne pas écrire deux fois le même diviseur. Ainsi, quaqd on arrive au facteur 3, on multiplie par 3 les quatre diviseurs précédemment obtenus, ce qui donne quaire diviseurs nouveaux, 3, 6, 12, 24. On arrive alors au second facteur 3, par lequel on multiplie les huit diviseurs déjà trouvés. Quaire se reproduisent, on ne les écrit pas ; on écrit seulement les quatre nouveaux 9, 18, 36, 72. En multipliant par 5 les douze diviseurs déjà obtenus, on forme douze diviseurs nouveaux que Ton écrit.
Il est aisé de voir que de cetle manière toutes les combinaisons possibles ont été formées avec les facteurs premiers du nombre proposé, et que par conséquent on a oblenu tous les diviseurs de ce nombre. Le plus petit diviseur est Tunité, le plus grand le nombre lui-même.
103. 11 est facile de dire, à priori^ combien un nombre donné admet de diviseurs. Je reprends le nombre 360, qui, décomposé en ses facteurs premiers, est
J'écris sur une ligne horizontafe l'unilé et les puissances successives de 2 jusqu'à 2', sur une seconde ligne Tunité et les puissances de 3 jusqu'à 3', sur une troisième ligne l'unité et 5 :
La première ligne horizontale contient, outre Tunité, les diviseurs formés avec le facteur 2. La deuxième ligne contient de même, outre Tunité, les diviseurs formes avec le facteur 3. La première renferme 3-f-l, ou 4 nombres, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans l'exposant de 2^^ plus 1 . La seconde renferme 2 -I- 1 ou 3 nombres, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans l'exposant de 3' plus 1. La troisième contient deux nombres, c'est 1 -H 1 . Je multiplie maintenant chacun des nombres
