CHAPITRE PREMIER
VBACTIONS OBDINAimBS
MESURES DE GRÀNDEUnS.
106. On appelle grandeur tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution.
Il faut distinguer deux sortes de grandeurs. Certaines grandeurs, comme une compagnie de soldats, un monceau de pommes, sont des collections d'unités; si Ton compte combien de soldats renferme la compagnie, combien de pommes le monceau, on obtient unnombre. C'est là l'origine du nombre, et c'est à ce point de \ue que nous l'avons étudié jusqu'à présent.
Il est d'autres grandeurs que l'on nomme continues j parce qu'on peut les augmenter ou les diminuer d'aussi peu qu'on veut ; la longueur d un fil, la capacité d'un vase, la durée d'un phénomène, sont des grandeurs continues. Les grandeurs de cette nature ne renferment pas en elles Tidée de nombre » cependant il est possible de les représenter par des nombres, et c'est là une première application très-importante de la science des nombres.
En effet, si l'on veut évaluer les longueurs, par exemple^ on choisira l'une d'elles pour servir de terme de comparaison,
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et l'on cherchera combien de fois celle longueur est contenue dans chacune des aulres. Si elle est contenue 5 fois dans une première, 12 fois dans une seconde, ces longueurs seront représentées, Tune par le nombre 5, Taulre par le nombre 12.
107. On appelle unité h grandeur choisie comme terme de comparaison pour toutes les grandeurs de même espèce.
Mesurer une grandeur, c'est la comparer à son unité; c'est chercher combien d'unités et de parties d'unité elle renferme.
l"" Lorsque l'unité est contenue exactement dans la grandeur, 5 fois par exemple, il n'y a pas de difficulté, la grandeur est exprimée par le nombre 5.
2"* Lorsque la grandeur à mesurer est plus petite que l'unité, on partage cette dernière en un certain nombre départies égales, et Ton cherche combien de parties renferme la grandeur. Je suppose que, l'unité ayant été parlagée en douze parlies égales, la grandeur renferme 7 parties exactement; on dira que la grandeur est les 7 douzièmes de l'unité, ou qu'elle est exprimée par la fraction sept douzièmes.
3"* Lorsque la grandeur à mesurer est plus grande que Punilé, et qu'elle ne la contient pas exactement, elle se compose d'un cerlain nombre d'unités et d'un reste plus petit que l'unité, reste que Ton évalue par une fraction, ainsi qu'il a élé expliqué. De cette manière, la grandeur est représentée par un nombre, augmenté d*une fraction.
Par extension d'idée, on appelle nomftr^, en général, la mesure d'une grandeur au moyen de'l'unilé ; le nombre proprement dit a été distingué par la qualification de nombre entier; la fraction est considérée comme un nombre plus petit que l'unité ; enfin un nombre entier, augmenté d'une fraction, constitue un nombre fractionnaire.
Les grandeurs, quand elles sont ainsi mesurées ou représentées par des nombres, portent le nom de quantités.
Je reprends en détailles définitions que je viens de donner.
FRÀCTiaNS OHDINÀIRES. iOi
DEFINITIONS
108. Lorsquon partage Vunité en plusieurs parties égales^ ex quon prend un certain nombre de ces parties^ on a ce qu'on appelle une fraction.
Je partage Tunité en cinq parties égales, et je prends trois de ces parties; j'ai la fraction trois cinquièmes.
Le nombre qui indique en combien de parties on a partagé Tunilë s'appelle dénominateur; le nombre qui indique combien on prend de parties s'appelle numérateur. Dans l'exemple précédent, 5 est le dénominateur, 3 le numérateur.
On énonce une fraction en disant d'abord le numérateur, puis le dénominateur, que Ton fait suivre de la terminaison ièm£.
On écrit une fraction en mettant le dénominateur audessous du numérateur, et séparant les deux nombres par un trait horizontal. Ainsi la fraction trois cinquièmes s'écrit
De même, si Ton partage l'unité en trente-sept parties égales, et que Ton prenne vingt-quatre de ces parties, on aura la fraction vingt-quatre trente-septièmes, qui s'écrit
109. On appelle nombre fractionnaire un nombre entier augmenté d'une'fraction. Ainsi 74-| est un nombre fractionnaire.
Il est aisé de mettre un nombre fractionnaire sous forme de fraction. Je remarque en effet que, puisqu'une unité vaut cinq cmquiè^nes, sept unités valent sept fois cinq cinquièmes, ou trente-cinq cinquièmes; j'ajoute les trois cinquièmesy j'ai trente-huit cinquièmes. Ainsi :
Règle. Pour mettre un nombre fractionnaire sous la forme • (Tune fraction ordinaire^ on multiplie rentier par le dénominateur de la fraction^ et on ajoute au produit le numérateur.
Puisqu'on peut mettre ainsi un nombre entier ou un nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction, on a élendu la dénomination de fraction aux nombres en général. Lorsque le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus petite que Tunité ; c'est une fraction proprement dite. Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus grande que Tunité ; elle tient la place d'un nombre entier ou d'un nombre fractionnaire. Enfin, quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction désigne l'unité elle-même.
Je considère, par exemple, la fraction ~. Puisque avec cinq cinquièmes on forme une unité, autant de fois 38 cinquièmes contiendront 5 cinquièmes^ autant la fraction ^ contiendra d'unités; or 38 contient 5 sept fois, et il reste 3; donc
Règle. Pour extraire les entiers contenus dans une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur^ on divise le numérateur par le dénominateur.
