PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES FRACTIONS
110. Théorème I. Lorsqu'on rend le numérateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petite la fraction devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite.
Il est évident que si, sans changer le dénominateur, on augmente le numérateur, la fraction augmente ; car les parties restent les mêmes, et on en prend un plus grand nombre. Si on rend le numérateur deux, trois, . . fois plus grand, on prend un nombre de parties deux, trois... fois plus grand, ce qui donne une quantité deux, trois... fois plus grande. Ainsi, en
multipliant par 5 le numérateur de la fraction 4) on prend un nombre de septièmes trois fois plus grand, ce qui donne une nouvelle fraction ^, trois fois plus grande que la première. ^
111. Théorème II. Lorsqu'on rend le dénominateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petite h fraction devient le même nombre de fois plus petite ou plus grande.
Si, sans changer le numérateur, on augmente le dénominateur, il est clair que la fraction diminue; car, Tunité étant partagée en un plus grand nombre de parties égales, les parties deviennent plus petites, et comme on en prend le même nombre, on a une quantité plus petite.
Pour fixer les idées, je suppose que Ton multiplie par 5 le dénominateur de la fraction ^, ce qui donne la fraction^. Pour former la première fraction y, on a partagé l'unité en sept parties égales ; je subdivise chacune de ces parties en trois parties égales ; l'unité se trouve divisée de la sorte en 7 fois 5, ou en 21 parties égales. Avec un seul septième on a formé par ce moyen trois vingt et unièmes ; le vingt et unième est donc trois lois plus petit que le septième; et, comme on prend le même nombre de parties de part et d autre, la seconde fraction est Jrois fois plus petite que la première.
En divisant par 5 le dénominateur de la fraction ~, on obtient une fraction ^, trois fois plus grande que la première.
1 12. Théorème III. Quand on multiplie ou quand on divise par un même nombre les deux termes dune fraction^ la valeur delà fraction ne change pas.
Supposons que Ton multiplie par un même nombre 3 les deux termes de la fraction \. Si Ton multiplie d'abord le nuinéraleur par 3, on obtient une fraction ^, trois fois plus grande que la premièi-e : si Ton multiplie ensuite le dénominateur de cette seconde fraction par 3, on obtient une troisième fraction ^, trois fois plus petite que la seconde ; donc cette dernière fraction ^ ou H est égale k la première J. En uft
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mot, on voit que la fraction, devenant d'abord trois fois plus grande, puis trois fois plus petite, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre.
Supposons maintenant que Ton divise par un même nombre 3 les deux termes de la fraction — . Si l'on divise d'abord par 3 le numérateur, on obtient une seconde fraction —^ trois fois plus petite que la prçmière ; si Ton divisé ensuite par 5 le dénominateur de cette seconde fraction, on obtient une troisième fraction ^, trois fois plus grande que la seconde ; donc cette dernière fraction ^ est égale à la première |f . En un mot, on voit que la fraction,devenant d'abord trois fois plus petite, puis trois fois plus grande, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d'une fraction ne change pas quand on divise ses deux termes par un même nombre.
Simi^llficatioii des fraetlona.
1 13. Plus une fraction est simple, plus Tesprit conçoit aisément la grandeur qu'elle représente; ainsi on se figure parfaitement les quantités |, t, f ; mais si la fraction est compliquée, comme j^, on a plus de peine à concevoir la grandeur qu'elle représente. Il importe donc de simplifier les fractions autant que possible. Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale à la fraction proposée, et composée de termes plus petits. Le théorème III nous fournit immédiatement un procédé de simplification; toutes les fois que Ton apercevra un diviseur commun aux deux termes d'une fraction, on divisera ces deux termes par le diviseur commun, et l'on obtiendra de la sorte une fraction égale à la proposée et plus simple qu'elle.
Soit la fraction y^- En divisant les deux termes d'abord par 10, puis par 2 et par 9, on formé une série de fractions égales :
720 1^ Z6 i i620' 162' sr 9*
Ainsi la fraction proposée est égale à la fraction plus simple f .
Puisque celte dernière a ses deux termes premiers entre eux, on ne peut plus la simplifier par division ; mais il n'est pas évident qu'on ne puisse le faire par un autre procédé, en retranchant par exemple, de ses deux termes des nombres convenables. Il importe donc de rechercher à quels caractères on reconnaît qu une fraction est irréductible^ c est-à-dire ne peut être exprimée par des termes plus simples.
114. Théorème IV. Toute fraction^ égale à me fraction dont les deux termes sont premiers entre euxy a ses deux termes équi-multiples des deux termes de la fraction proposée.
Soit la fraction ^ dont les deux termes sont premiers entre
eux ; je désigne par j- une fraction égale à la proposée. Je
multiplie par b les deux termes de la première, par 9 les deux termes de la seconde : les deux fractions ne changent pas de valeur et se mettent sous la forme
Axb gx9 9X&' bxr
Ces fractions, étant égales et ayant mème.dénominateur, doivent avoir nécessairement même numérateur ; on aura donc
4xb=flX9.
Le nombre 9, divisant le produit ax9, doit diviser le produit égal ixb; mais il est premier avec le facteur 4 ; donc il divise l'autre facteur fr (n*" 82). Ainsi le nombre b est un certain multiple de 9, multiple que Ton peut représenter par 9X9 (q étant un nombre entier quelconque). Si, dans l'égalité précédente, on remplace b par le nombre égal 9X9, ^^ ^
4x9X9=ax9;
si Ton divise maintenant par 9 de port et d'autre, il vient
Axq=a ou a=4xç.
Ainsi les deux nombres a elb sont les produits de 4 et de 9 par un même nombre 9, ce que Ton exprime en disant que les nombres a et b sont des équi-multiples des deux termes 4 et 9 de la fraction proposée.
10(5 LIVRE ni. -^ CHAPITRE I.
115. Théorème Y. Une fraction dont les deux termes sotit premiers entre eux est irréductible.
En effet, nous venons de démontrer que les deux termes de toute fraction égale à la fractiqn proposée sont des multiples des termes de celle-ci, et par conséquent sont plus grands que ces termes ; il n'existe donc pas de fraction égale à la fraction proposée et formée de termes plus simples ; en un mot la fraction donnée est irréductible.
1 16. CoROLUiRE I. Pour réduire une fraction à sa plus simple expression^ il suffit de diviser ses deux termes par leur plus grand commun diviseur.
En effet, si l'on divise les deux termes de la fraction proposée par leur plus grand commun diviseur, on obtient deux quotients premiers entre eux (n°81); la nouvelle fraction, égale à la fraction proposée, est donc irréductible.
Ainsi, en divisant les deux termes de la fraction ^^ par leur plus grand commun diviseur 180, on arrive tout d'un coup à la fraction irréductible |, que nous avons trouvée précédemment par des divisions successives.
Dans la pratique, au lieu de chercher le plus grand commun diviseur, il est préférable en général de supprimer successivement tous les facteurs communs que Ton aperçoit dans les deux termes de la fraction ; quand il n'y a plus de facteur commun, les deux termes sont premiers entre eux et la fraction réduite à sa plus simple expression.
Exemples :
On a divisé les deux termes de la première fraction deux
FRACTIONS ORDINAIRES. i07
fois par 2, ceux de la seconde par 2 et par 3, ceux de la troisième par 2 et par 9, ceux de la quatrième deux fois par 5, puis par 5.
1 17. Corollaire II. Deux fractions irréductibles ne peuvent être égales à moins d'être composées des mêmes termes identiquement. Ainsi, quel que soit le procédé que l'on emploie pour simplifier une fraction, «n arrivera toujours au même résultat final.
I i8. Corollaire III. Quand on donne une fraction irréductible I, il est facile de former toutes les fractions qui lui sont égales ; il suffit pour cela de multiplier ses deux termes par
chacun des nombres consécutifs 2, 3, 4 Ces fractions
égales forment donc une série indéfinie
toutes ces fractions représentent la même quantité.
Étant donnée lune de ces fractions, par exemple f|, on obtiendra toutes les fractions égales en augmentant ou en diminuant ses deux termes de deux équi-multiples des termes de la fraction irréductible égale |.
BédudloB dc8 Iraetiona au inéi&e dénomiiuiteiur*
1 19. On compare aisément des fractions qui ont même dénominateur, comme -^ et ~. Puisqu'on a des parties égales, des douzièmes, de part et d'autre, il suffit de comparer les numérateurs; dans.rexemple précédent, on voit immédiatement que c'est la seconde fraction qui est la plus grande. On comprend par là combien il est utile de savoir réduire les fraclions au même dénominateur, c'est-à-dire de savoir trouver des fractions respectivement égales à des fractions données et ayant même dénominateur.
Je considère d'abord deux fractions | et ^. Si Ton multiplie les deux termes de la première par le dénominateur 7 de la seconde, on obtient la fraction égale |~. En multipliant de
108 LIVRE m.— CHAPITRE 1.
môme les deux termes de la seconde fraction parle dénominateur 5 de la première, on obtient la fraction égale ^|. Or les dénominateurs des deux nouvelles fractions sont égaux, comme produits des deux mêmes facteurs. Ainsi les deux fractions | et *, réduites au même dénominateur, deviennent ~ et ~.
Règle. Pour réduire deux fractions au même dénominateur ^ on multiplie les deux termes de chacune d'elles par le dénomi' nateur de Vautre,
