NIVBRE A SES DEUX TERMES
- 123. Je considère d'abord une fraction plus petite que Tunilé, |- par exemple. Si l'on ajoute à ses deux termes le môme nombre a, on obtient une nouvelle fraction —J qui est ellemôme plus petite que Tunilé, puisque le numérateur reste toujours plus petit que le dénominateur. Mais la différence des termes ne change pas. Si donc on prend Texcùs de l'unité sur chacune de ces deux fractions, les deux différences J et —^ ont même numérateur ; mais le dénominateur de la seconde est plus grand que le dénominateur de la première; la seconde différence est donc plus petite que la première. II en résulte que la fraction |~ est plus rapprochée de Tunilo que la fraction ^ et par conséquent celte fraction est plus
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grande que la fraction proposée. Ainsi, quand on ajoute un même nombre aux deux termes d'une fraction plus petite que l'unité, la fraction augmente.
Si Ton ajoute aux deux termes de la fraction des nombres de plus en plus grands, on obtient une série de fractions croissantes, et qui s'approchent de Tunité autant qu'on veut, en restant constamment moindres que l'unité.
Les mêmes raisonnements peuvent être appliqués à une fraction plus grande que l'unité. Si l'on ajoute un même nombre aux deux termes, la fraction se rapproche encore de Tunité, mais alors elle diminue. Et, si l'on ajoute aux deux termes des nombres de plus en plus grands, on aura une série de fractions décroissantes, et se rapprochant de l'unité autant qu'on voudra, tout en restant constamment supérieures à l'unité.
C'est ici le lieu d'introduire une idée qui joue un grand rôle en mathématiques, l'idée de limite. Lorsqu'une quantité variable s'approche indéfiniment d'une quantité fixe, de manière que la différence devienne aussi petite que Ton veut, la quantité fixe s'appelle la limite de la quantité variable. Ce qui précède nous en donne un premier exemple : si aux deux termes d'une fraction donnée on ajoute un même nombre de plus en plus grand, la fraction variable ainsi obtenue se rapproche de l'unité, de manière que la différence devienne aussi petite que l'on veut ; l'unité est donc la limite de la fraction variable. Si la fraction d'où l'on part est plus petite que l'unité, la fraction variable tend vers sa limite on croissant; si elle est plus grande que l'unité, en décroissant,
Mnltipllcatioiié
Cas ou le multiplicateur est entîeR,
124. La définition que nous avons donnée de la multiplitation subsiste dans le cas où le multiplicateur est un nombre entier, le multiplicande étant d'ailleurs une quantité quelconque. Multiplier une quantité par un nonibre entier ^ c'est la
CALCUL DES FRACTIONS ORDINAIRES. lio
répéter autant de fois quHl y a d^nnités dans le nombre entier. Multiplier une longueur par 4, c'est la répéter quatre fois, c est ajouter h la suite les unes des autres quatre longueurs égales à la longueur donnée.
Soit à multiplier par 4 la fraction |. Il s'agit de répéter 4 fois le multiplicande ; 4 fois 5 sept'èmes font 20 septièmes, c'est-à-dire la fraction^. Ainsi, on multiplie une fraction par un nombre entier en multipliant le numérateur par ce nombre entier. *
De même le produit de — par 4 est ^; mais on peut simplifier celte fraction en divisant ses deux termes par 4, ce qui donne | pour le produit demandé. On serait arrivé directement à ce résultat en remarquant qu'on rend la fraction ^quatre fois plus grande en divisant son dénominateur par 4.
Si Ton avait à multiplier un nombre fractionnaire par un nombre entier, on multiplierait d'abord la fraction, puis la partie entière, en ajoutant au produit les unités fournies par la fraction. Ainsi :
