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i28. Les propriétés des produits de plusieurs facteurs, que nous avons démontrées, lorsque les fadeurs sont entiers (liv. II, ch. I) , subsistent quand les facteurs sont fractionnaires- J'examine d'abord la propriété fondamentale, savoir : le produit ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs. Le produit

7X«XaXtâ =

est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs. Or, si l'on intervertit l'ordre des facteurs fractionnaires, on intervertit simplement l'ordre des facteurs entiers qui compo-

il8 LIVRE III. - CHAPITRE 11.

sent les deux fermes de la fraction-produit, ce qui ne change pas la valeur de ces deux fermes.

La propriété fondamentale étant ainsi généralisée, toutes ses conséquences le sont par là même. Ainsi, dans un produit de facteurs quelconques, on peut grouper deux facteurs en un seul, et réciproquement décomposer un facteur en plusieurs autres.

Lorsqu'on aura à calculer un produit de fractions, on aura soin de supprimer les facteurs communs avant de commencer les multiplications. Ainsi, dans le produit précédent, on aperçoit au numérateur et au dénominateur les facteurs communs 7, 4, 3, 10, que Ton supprime; de celte manière on obtient immédiatement le résultat sous la forme la plus simple I .

Division*

129. Voici la définition générale de la division : Étant donnés deux nombres^ nommés ^ Vun dividende^ Vautre diviseur^ trouver un nombre tel que le produit du diviseur par ce nombre reproduise le dividende.

Lorsque nous nous sommes occupés delà division des nombres entiers, nous avons considéré la division comme ayant pour but de chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Lorsque le dividende contient exactement le diviseur, le quotient est entier.

Mais, quand le diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende, le quotient est fractionnaire. Soit d'abord à diviser 5 par 7 ; le quotient sera exprimé par la fraction | ; car le produit du diviseur 7 par la fraction | est égal à cinq fois la septième partie du diviseur 7, ou à cinq fois l'unité, ce qui donne le dividendes. Ainsi, une fraction exprime le quotient de son numérateur par son dénominateur: cest pourquoi le signe de la fraction, le trait horizontal, a été adopté pour indiquer la divii io i ; on place au-dessus le dividende, au-dessous le diviseur.

Soit encore à diviser 31 par 7 ; le diviseur est contenu quatre

CALCUL DES FRACTIONS ORDlNAffiES. il 9

fois dans le dividende, et il y a un reste 3. Comme le reste 5, divisé par 7, donne la fraction |, le quotient cherché sera exprimé par le nombre fractionnaire 4-|-| ; car si Ton multiplie le diviseur par ce nombre fractionnaire, on a 4 fois 7, plus trois fois la septième partie de 7, c'est-à-dire plus le reste 3, et l'on reproduit le dividende. Dans la division des nombres entiers,* nous nous bornions à chercher la partie entière du quotient; pour compléter le quotient, il suflU d'ajouter une fraction ayant pour numérateur le reste de la division et pour dénominateur le diviseur.

CAS ou LE DIVISEUR EST ENTIER.

130. Soit à diviser la fraction ^ par 3. Puisque le quotient, multiplié par le diviseur 3, ou répété 3 fois, doit reproduire le dividende, ce quotient est trois fois plus petit que le dividende. Or, on sait que l'on rend une fraction trois fois plus petite en multipliant son dénominateur par 3 ; le quotient cherché est donc^ ou yî. Ainsi, on divise une fraction par un nombre entier en multipliant le dénominateur de la fraction par ce nombre entier, •

Quand le numérateur de la fraction est divisible par le nombre entier, on effectue la division d'une manière plus prompte, en divisant le numérateur par le nombre entier. Par exemple, le quotient de la fraction f par 3 est la fraction |. Car on sait que Ton rend une fraction trois fois plus petite en divisant son numérateur par 3.

Soit à diviser le nombre fractionnaire 17-}-^ par 5. On dira : le cinquième de 17 est 3 pour 15 et il reste deux unités, qui, converties en septièmes et ajoutées aux quatre septièmes, donnent ^ ; le cinquième de cette fraction est ||. Le quotient cherché est denc 3-f-y|.

CAS ou LE DIVISEUR EST FRACTIONNAIRE.

131. Proposons-nous d abord la question suivante: | de mètre d'étoffe ont coûté 15 francs; trouver le prix du mètre?

'M LIVRE m. - CHAPITRE 11.

Puisque 5 huitièmes de mèfre ont coûté 15 francs, un seul huitième coulera cinq fois moins, c'est-à-dire 3 francs; un môlre coûtera huit fois plus qu'un huitième^ c'est-à-dire 3x8 ou 24 francs.

Proposons-nous encore cette question : | de mèlre d'éloffe ont coûté "5^ de franc, trouver le prix du mèlre? Puisque 5 huitièmes de mètre ont coûté -^ de franc, un seul huitième coulera 5 fois moins, c'est-à-dire j^; un mèlre coûtera 8 fois plus qu'un huitième^ c'est-à-dire -5^. Or cette opération est une division dans laquelle^ est le dividende, f le diviseur, le prix du mètre le quotient; car le prix du mètre, mulliplié par la quantité d'étoffe achetée |, doit reproduire la somme depensée ~ de franc.

132. Reprenons maintenant le raisonnement d'une manière abstraite. Diviser ~ par |, c'est chercher un quotient qui, multiplié par le diviseur |, reproduise le dividende ~. Riais multiplier une quantité par |, c'est en prendre 5 fois la huitième partie; donc les 5 huitièmes du quotient égalent le dividende ^; un seul fei/i^'èmevaut 5 fois moins, c^est-à-dire^^; le quotient entier vaut 8 fois plus que son huitième, c esl-àdire j^ ou |f . Tel est le quotient demandé ; on Tobtient, comme on voit, en multipliant le dividende ^ par le divisenr renversé |. D'où l'on déduit la règle suivante :

Règle. On divise une quantité par une fraction en la multipliant par le diviseur renversé.

renauques.

133. La règle précédente comprend fous les cas de la division. Lorsque le diviseur est un nombre entier, S par exemple, le quotient égale la cinquième partie du dividende, ou le produit du dividende par la fraction \ ; or cette fraction f peut être considérée comme le nombre entier j renversé.

De même, diviser par \ , c'est la môme chol^e que multiplier par 5.

CALCUL DES FRACTIONS ORDINAlHtS. " 121

Si le diviseur et le dividende sont des nombres fractionnaires, on les mettra préalablement sous forme de fractions.

134. De môn.e que, par l'extension donnée à la définition, la multiplication ne comporte plus nécessairement Tidée d'augmentation, de même la division ne comporte plus Tidée de diminution. Puisque diviser revient à multiplier par le diviseur renversé, on voit que, si le diviseur est plus grand que Tunité, le quotient sera plus petit que le dividende, mais que, si le diviseur est plus petit que l'unité, le quotient sera plus grand que le dividende.

135. On se fera une idée très-nette de la division en remarquant que, dans tous les cas, le quotient exprime combien de fois le dividende contient le diviseur et combien de parties du diviseur. Si le quotient est un nombre entier 5, le dividende, étant égal au produit du diviseur par le quotient 5, ou au diviseur répété 5 fois, contient évidemment 5 fois le diviseur. Si le quotient est une fraction |, le dividende, étant égal au diviseur multiplié par |, contient trois fois la cinquième partie du diviseur. De même, un quotient fractionnaire 4 -H | indique que le dividende contient quatre fois le diviseur, plus trois fois la cinquième partie du diviseur. En un mot, le quotient exprime la mesure de la quantité dividende^ quand on prend la quantité diviseur pour unité j ou, ce qui est la même chose, le rapport de la quantité dividende à la quantité diviseur.

D'après cela, il est clair que, si l'on rend le dividende un certain nombre de fois plus grand, le quotient devient le môme nombre de fois plus grand, et que, si Ton rend le divi-

122 LIVRE m. - CHAPITRE II.

seur un certain nombre de fois plus grand, le quotient devient le môme nombre de fois plus pelit. 11 en résulte que le quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre.

136. Lorsque le diviseur est un nombre entier, on peut considérer la division comme ayant pour but de partager le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités au diviseur. Supposons, par exemple, que le diviseur soit le nombre entier 5 ; le quotient, multiplié par le diviseur 5, ou répété 5 fois, reproduit le dividende ; donc le dividende se compose de 5 quantités égales au quotient, et par conséquent, si Ton partage le dividende en 5 parties égales, chacune des parties sera égale au quotient.

Commuiie mesure de deux grapidei^rs*

r37. Lorsqu'une grandeur est contenue exactement dans deux grandeurs de même espèce, on dit qu'elle est une com* mune mesure des deux grandeurs.

On détermine la plus grande commune mesure de deux grandeurs de la même manière que le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers. J'appelle A et B les deux grandeurs ; je cherche combien de fois la plus grande A contient la plus petite B ; elle la contient, 'par exemple, 2 fois, plus un reste R; on démontrera que les communes mesures de A et de B sont les mêmes que celles de B et de R. Je cherche combien de fois B contient R; elle la contient, par exemple, 3 fois, plus un reste R'. Je cherche combien de fois R contient R' ; elle la contient, par exemple, une fois, plus un reste R". Je continue de cette manière jusqu'à ce que j'arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans le reste précédent; le dernier reste obtenu est la plus grande commune mesure cherchée. Si, par exemple, R' contient 4 fois exactement R", ce dernier reste R" est la plus grande commune mesure des grandeurs A et B.

Les divisions successives donnent

B = 3R4-ri' R = R'-+-1V' R'==4R".

En remontant de proche en proche, on (rouve

La plus grande commune mesure R'' est contenue exactement 19 fois dans B, 43 fois dans A. Le rapport de la grandeur A à la grandeur B est exprimé par la fraction }| ; et en effet, la grandeur A contient 43 fois R", c'est-à-dire 43 fois la dixneuvième partie de B. Le rapport de B à A est exprimé par la fraction inverse f|.

GRANDEURS INGOUMENSURABLES.

138. Il arrive quelquefois que, si loin que l'on pousse l'opération, on n'arrive jamais à une division rigoureusement exacte (on démontre en géométrie qu'il en est ainsi pour la diagonale et le côté du carré) ; dans ce cas, les deux grandeurs n'admettent pas de commune mesure, et sont dites incom" menmrables entre elles.

11 est impossible de trouver exactement le rapport de deux grandeurs incommensurables A etB; mais on peut l'obtenir avec une approximation aussi grande qu'on veut. Je partage, par exemple, la grandeur B en mille parties égales, et je cherche combien de fois la grandeur A contient l'une de ces parties; je suppose qu'elle la contienne 725 fois, plus un reste plus petit que cette partie ; il est-clair que le rapport de A à B est plus grand que -j^, mais plus petit que j^ ; on peut donc représenter approximativement le rapport cherché par l'une ou l'autre de ces deux fractions; l'erreur commise est plus petite qu'un millième.

Mesurer une grandeur, c'est chercher le rapport de cette grandeur à l'unité. S'il existe une commune mesure entre la

\n LIVRE ri. — CHAPITRE II.

grandeur et riinilé, la grandeur est dite commensurable ; on peut la représenter exactement par un nombre, entier ou fractionnaire. S'il n'existe pas de commune mesure entre la grandeur et Tunité, on dit que' la grandeur est incommensurable ; il est impossible de l'exprimer exactement ; on se borne alors à une évaluation approximative, ce qui suffit dans la pratique.

On a coutume d'appeler nombre incommensurable le nombre fractionnaire qui mesure une grandeur incommensurable avec une approximation aussi grande qu^on veut.

EXERCICES

1* Combien coûtent 15 mètres et ~ de mètre d'étoffe à raison de de 18 francs le mètre?

On obtient d'abord le prix de i^ mètres d étoffe en répétant 15 fois le prix du mètre; on obtient ensuite le prix de ^ de mètre en répétant 7 fois la douzième partie du prix du mètre : c'est là ce qu'on appelle multiplier par ^. En résumé, on multipliera le prix du mètre par la quantité d, étoffe i5 + -^.

On aurait pu convertir préalablement en une fraction simple la quantité d'étoffe, ce qui donne ^^ de mètre. Il faudrait répeler 187 fois la douzième partie du mètre, c'est-à-dire multiplier par la fraction *jÇ.

Dans V exemple actuel les calculs se simplifient ; car

On a multiplié d'abord la fraction ^ par 18; /^ produit 2^, par la suppression du facteur 6, qui se trouve au numérateur et au dénominateur^ se réduit à 2|^ = y^= 10-h • . On a multiplié ensuite le nombre entier 15 par \^ et ajouté les 10 unités retenues. Ainsi les 15 mètres et ^ coûtent 280 flrancs plus }.

2® On a acheté 15 mètres plus ~ d'étoffe pour 280 francs plus |. Quel est le prix du mètre?

Jxprix du mètre, multiplié par la quantité d'étoffe, doit reprodtdre la somme payée; on obtiendra donc le prix du mètre en divisant la somme payée par la quantité d'étoffe achetée.

(280-hi) : ^l5^-j^)=(280-

On pourrait faire directement sur cet exemple le rainouncnent qui a con^

ûttU à la rcgle du »• 13?. On sait ce qu'ont coûté 187 douzièmes de mètre; il est clair que 187 mètres auraent coûté douze fois plus, et qu'un seul mètre coûterait 187 fois moins; il faut donc, pour avoir le prix du mètre, multiplier la somme payée par il et diviser par 187 ; en un mot, il faut multiplier par la fraction ^.

3° Quelle quantité d'étoffe à 18 francs le mètre peut-on acheter avec 280 francs plus ^?

U prix du mètre multiplié par la quantité d'étoffe devant reproduire la somme totale, on obtiendra cette quantité d'étoffe en divisant la somme totale par le prix du mètre»