CAS OU LE DIVISEUR EST DECIUAL
154. D'après les explications que nous avons données au n** 135, nous avons déjà fait comprendre que le quotient ne change pas, quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre. Mais il est bon de démontrer cette proposition d une manière plus précise. Désignons par la lettre a la quantité dividende,, par b la quantité diviseur, et partie quotient ; puisque le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, on a
a=b'xq.
Si Ton multiplie ces deux quantités égales par un même nombre c, on a deux produits égaux
axc=b'XqXc,
ou, en changeant l'ordre des facteurs (n® 128),
axc = bxcxq.
Le nombre ax c est égal à un produit de deux facteurs, l'un 6 X c, l'autre ç ; il en résulte que le quotient de a x c par fc x c est ^, c'est-à- dire est le même que le quotient de a par 6.
155. Soit à diviser 4,576 par 2,38. Si Ton multiplie par le même nombre 100 le dividende et le diviseur, le quotient ne change pas, et la question revient à diviser le nombre décimal 457,6 par le nombre entier 238, ce qui rentre d'ans le cas précédent. Le quotient est 1,923 par excès h moins d'un demimillième près. Ainsi :
Règle. Lorsque le diviseur est un nombre ilécimalj on supprime la virgule au diviseur ^ en ayant soin de la déplacer dans le dividende d^autant de rangs vers la droite quHl y a de chiffres décimaux au diviseur ; et Ion a à diviser un nombre décimal par un nombre entier.
On demande, par exemple, le quotient de 2 par 0,059 à moins d'un centième près. On divisera 2000 par 59, et Ton trouvera pour le quotient cherche 35^90 par excès à moins d'un demi centième près.
CBAPIÏRE IV
CONVEBSION BES PBAGTIONS OBDUVAIBES EN rnACTIONS DÉ€inbyLE8
156. On a vu que le calcul des fractions décimales se ramène immédiatement au calcul des nombres entiers, tandis que le calcul des fractions ordinaires est beaucoup plus compliqué. Il est donc utile, lorsqu'une quantité est exprimée par une fraction ordinaire, de savoir Texprimer en décimales. C'est ce qu'on appelle converlir une fraction ordinaire en fraction décimale.
Puisqu'une fraction ordinaire est égale au quotient de la division de son numérateur par son dénominateur, on effectuera cette division d*après la règle établie pour la division des nombres décimaux. Soit, par exemple, la fraction |;
le quotient étant exactement 0,875, la fraction ordinaire } est égale à la fraction décimale 0,875. ,
157. Examinons dans quel cas la conversion es^ possible exactement. On sait (n®144) qu'une fraction décimale n'est autre chose qu'une fraction ordinaire ayant pour dénominateur une puissance de 10; si l'on réduit cette fraction à sa plus simple expression, en divisant ses deux termes par leur plus grand commun diviseur, on obtiendra une fraction irréductible ne renfermant à son dénominateur que les fac-
CONVEnSION DES PRAGT. ORD. £N DËCIM. 159
teurs premiers 2 et 5 de la base 10, ou seulement Tun d'entre eui. Ainsi, pour qu'une fraction ordinaire irréductible soit égale à une fraction décimale, il est nécessaire que son dénominateur ne renferme que les facteurs premiers 3 et 5.
Cetfe condition suffit; car, lorsque le dénominateur de la fraclion proposée n'est formé que des facteurs premiers 2 et 5, affectés de certains exposants, on peut, en multipliant les deux termes par une puissance convenable de l'un de ces facteurs, rendre les deux exposants égaux entre eux. Le dénominateur est alors une puissance de 10, et la fraction transformée en une fraction décimale. On conclut de là :
Théorème I. Pour qu^une fraction ordinaire irréductible puisse être convertie exactement en décimales^ il faut et il stiffit que son dénominateur ne renferme que les facteurs premiers 2 et 5.
158. 11 est aisé de reconnaître que le nombre des chiffres décimaux esl égal au plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur de la fractioti proposée. Soit, par exemple,
la fraclion irréductible jtt ou ^^ — = ; en multipliant les
deux termes par 5% on la transforme en une fraction déci-
21x5* 525 maie ^^ — ^', ou y^- Les deux termes de la fraction proposée étant premiers entre eux, son numérateur 21 ne contient pas le facteur 2, qui entre au dénominateur, et par conséquent le nouveau numérateur 21x5* n'est pas divisible par 10; la fraction décimale 0,525 est donc formée de trois chiffres décimaux.
7 7 Il en est de même de la fraction ^ ou -^, dont nous avons
effectué la conversion. En multipliant les deux termes par
7x5* 5', on la transforme en une fraction décimale ^5 — =nt ou
r^r-i, ayant trois chiffres décimaux.
159. Lorsque le dénominateur de la fraction ordinaire irrM iciiblc renferme des facteurs premiers autres que 2 et 5, il est impossible de la convertir exactement en décimales. Mais, dans ce cas, on l'exprime avec une approximation aussi grande qu'on veut; car, si Ton pousse la division as ez loin, Perreur, étant momdre qu'une unité de Tordre auquel on s'arrête, devient aussi petite qu'on veut,
La fraction ordinaire donne ainsi naissance à une fraction dé 1 • aie qui se prolonge indéfiniment ; je vais démontrer qu'elle est périodique^ c'est-à-dire qu'à partir d'un certain rang elle se compose des mêmes chiffres qui se reproduisent dans le môme ordre. En effet, dans les divisions successives, comme tous les restes sont plus pelils que le diviseur, après un nombre d'opérations au plus égal au diviseur diminué d'une unité, on retombe nécessairement sur un leste déjà obtenu, et alors on recommence dans le même ordre les divisions déjà faites, et les mêmes chiffres se reproduisent au quotient.
Je prends pour exemple la fraction f ;
Puisque les restes sont plus petits que 7, il n'y a que six restes différents possibles, savoir les six premiers nombres; or, les cinq premières divisions donnent les six premiers nombres 4, 5, 1, 3, 2, 6; tous les restes possibles sont épuisés; 'a division suivante ramènera nécessairement un reste déjà obtenu. Ici on obtient le premier reste 4, et on recommence les divisions déjà faites, à partir de la première ; on retrouve ainsi au quotient les mêmes chiffres dans le même ordre. Le nombre 571428, formé par les chiffres qui se reproduisent indéfiniment, constitue ce qu'on appelle la
CONVERSIONS DES FRACT. ORD. EN DÉCIM. 141
période. Je remarque que la période renferme au plus un nombre de chifTres égal au diviseur diminué d'une unité; mais souvent elle en renferme un nombre moindre. Ainsi la fraction ^ donne naissance à la fraction décimale périodique simple 0,272727...., dont la période n*a que deux chiffres ; après deux divisions seulement on retrouve le premi'jr reste 5.
1 60. On distingue deux sortes de fractions décimales périodiques : les fractions décimales périodiques simples^ dont los cliifires périodiques commencent immédiatement après la \irgule ; et les fractions périodiques mixtes^ dont les chiffres périodiques ne commencent qu'à partir d'un certain rang après la virgule. Les deux fractions que nous venons de considérer sont périodiques simples. La fraction fj donne nair-
sanceà une fraction périodique mixte 0,647727272 ; la
période 72 ne commence qu'au quatrième chiffre ; les trois chiffres placés entre la virgule et la première période sont dits iiréguHers.
En résumé, la conversion d\ine fraction ordinaire en fraction décimale donne naissance, soit à une fraction décimale limitée^ soit à une fraction périodique, simple ou mixte.
PHACTIONS PÉRIODIQUES SIMPLES.
161. Étudions maintenant les fractions décimales illimitées et périodiques. Je vais démontrer que de pareilles fractions décimales sont égales à des fractions ordinaires, avec une approximation aussi grande qu'on veut. Considérons d'abord une fraction périodique simple, telle que 0,272727. En prenant, par exemple, trois périodes, on a une fraction décimale limitée 0,272727 qui a un sens bien précis ; je multiplie cette fraction par 100, ce qui donne le nombre décimal 27,2727 ; de ce nombre décimal je retranche la fraction elle-même.
Je reiranche les deux premières périodes à partir de la vir^ gule, il resle à retrancher la dernière période; la différence égale le nombre entier 27, moins celle dernière période 0,000027. Or de 100 fois, la fraction décimale limitée, j'ai retranché une fois la fraction, la différence égale 99 fois la fraction ; j'obtiendrai la fraction elle-même en divisant cette différence par 99 ; donc la fraction décimale 0,272727 égale la
fraction fj, diminuée de la quantité très-petite ïqqj^Tqq*
En prônant quatre périodes, on trouverait de môme
En général la fraction décimale égale la fraction ordinaire |j, moins la OO"* partie de la dernière période. Or, si Ton prend un nombre de périodes de plus en plus grand, la valeur de la dernière période diminue de plus en plus et devient aussi petite qu'on veut; donc la fraction décimale proposée diffère de la fraction ordinaire f^ d*une quantité aussi petite qu'on veut. En un mot, la fraction décimale périodique tend vers une limite égale à ~.
Le raisonnement que nous venons de faire s'applique évidemment à une fraction périodique simple quelconque. On transporte la virgule après la première période, en multipliant par une puissance de 10 marquée par le nombre des chiffres de la période ; on retranche du produit la fraction elle-même, ce qui donne une différence égale à la fraction multipliée par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. D'autre part, cette différence est exprimée par la période considérée comme un nombre entier, moins la dernière période. Donc la fraction décimale a pour limite une fraction ordinaire ayant pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. Ainsi : .
GOMVEE^lOiN DES FRAGT. ORD. LrV DËGIU. 145
Théorème II. Une fraction décimale périodique simple est égale aune fraction ordinaire qui a pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d^autdnt de 9 quHl y a de chiffres à la période.
La fraction fj peut être simplifiée ; maïs, comme un nombre formé de 9 seulement ne renferme ni le facteur 2 ni le facteur 5, on arrivera à une fraction ordinaire irréductible qui ne renfermera à son dénominateur ni le facteur 2, ni le facteur 5.
162. Il est évident que, si on réduisait cette fraction ordinaire en décimales, on retrouverait la fraction périodique proposée. Au reste on peut s*cn assurer de la manière suivante : je veux démontrer, par exemple, que la fraction périodique
0,272727 provient de la conversion en décimales de la
fraction ordinaire ||.
Puisque 100 fois un nombre est égal à 99 fois, plus une fois ce nombre, on a
Donc, quand on calcule en décimales le quotient de 27 par 99, après les deux premières divisions on obtient le quotient 27 et on trouve le premier reste 27 ; donc la fraction décimale est périodique simple et la période est 27.
FRACTION PERIODIQUE MIXTE.
S 6 3 . Considérons m aintenant une fraction périodique mixte 0,585272727.... En prenant, par exemple, trois périodes, on a une fraction décimale limitée 0,385272727. Je transporte successivement la virgule au commencement et à la fin de la première période, en multipliant par 1000 et par 100000, ce qui donne les nombres décimaux 385,272727 et 38527,2727 ; puis je retranche le premier du second
144 LIVRE m. — CHAPITR:. lY.
J'ai retranché la partie entière et les deux premières périodes, il reste à retrancher la dernière période ; la dirférencc égale le nombre entier 38142, moins la dernière période. Or de 100000 fois la fraction, j'ai retranché 1000 fois cette fraction, la différence égale 99000 fois la fraction; j'obtiendrai la fraction elle-même en divisant cette différence par 99000 ; donc la fraction décimale égale la fraction |f{^, moins la 99000"* partie de la dernière période. Si Ton prend un nombre de périodes de plus en plus grand, la valeur de la dernière période diminue et devient aussi petite qu'on veut; donc la fraction décimale proposée diffère de la fraction ordinaire |||^ d'une quantité aussi petite qu'on veut. En un mot, la fraction décimale tend vers une limite égale à cette fraction ordinaire. Ainsi :
Théorème III. Une fraction décimale périodique mixte est égale à une fraction ordinaire qui a fwur numérateur la différence des nombres entiers que Von obtient en transportant la virgule à la fin et au commencement de la première période y et pour dénominateur un nombre formé d'atUant de 9 quil y a de chiffres à la période^ suivis d* autant de zéros quHl y<ide chiffres irréguliers.
164. Je remarque que le numérateur ne peut jamais être terminé par un zéro; car il faudrait pour cela que le dernier des chiffres irréguliers fût le même que le dernier chiffre de la période, et alors la période commencerait un chiffre plus tôt. Dans Texemple précédent, il faudrait que le dernier chiffre irrégulier fût 7, et alors la fraction, devenant
0,587272727 , la période serait 72 et commencerait un
chiffre plus tôt; il n'y aurait que deux chiffres irréguliers et non pas trois, comme on Ta supposé.
Le dénomiuatcur 99x1000, d'après sa composition, rcn« ferme les facteurs 2 et 5 avec des exposants égaux au nombre des chiffres irréguliers, et en outre des facteurs premiers autres que 2 et 5. En simplifiant la fraction, on pourra bien supprimer des facteurs 2 ou des facteurs 5 ; mais on ne pourra
GONVERSlOiN DES FHAGT. ORD. £N DEGIM. 145.
pai supprimer à la fois un facteur 2 et un facteur 5 ; car alors on diviserait par 10, et le numérateur n'est pas divisible par 10. On arrivera donc à une fraction irréductible renfermant à son dénominateur Tun des facteurs 2 ou 5 avec un exposant égal au nombre des chiffres irréguliers.
165. Nous avons dit que, lorsque le dénominateur d'une fraction ordinaire ne renferme que les (acteurs premiers 2 et 5, la fraction se convertit en une fraction décimale limitée, mais que, si le dénominateur renferme des facteurs premiers autres que 2 et 5, la fraction décimale est indéfinie et périodique. Nous pouvons maintenant compléter cette théorie et indiquer à quel caractère on reconnaît d'avance si la fraction périodique est simple ou mixte.
Théorème IV. Une fraction ordinaire irréductible, dont le dénominateur ne renferme que des facteurs premiers antres que 2 et h, donne naissance à une fraction décimale périodique simple.
En cflet, nous savons déjà que la fraction décimale est périodique; elle ne peut être mixte; car la fraction ordinaire irréductible, que représente une fraction périodique mixte, renferme à son dénominateur les facteurs 2 et 5 ou «u moins Tun d eux ; donc la fraction décimale sera périodique simple.
166. THÉonÈuE Y. Une fraction ordinaire irréductiblCy 4ont le dénominateur renferme les facteurs 2 et^et d* autres facteurs, donne naissance à une fraction décimale périodique mixte, et le nombre des chiffres irréguliers est égal au plus haut exposant des facteurs ^ et 5 dans le dénominateur.
En effet, la fraction décimale est périodique; elle ne peut être simple ; car la fraction ordinaire irréducliiile, que représente une fraction périodique simple, ne renferme à son dénominateur ni le facteur 2 ni le facteur 5 ; donc la fraction décimale sera périodique mixte. D'après une remarque faite précédemment, le nombre des chiffres irréguliers doit être
U6 LIVRE m. — CIIAPITHE IV.
égal précisément au plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur.
Considérons par exemple la fraction j^; puisque 88=2^x 1 1 , on aura une fraction périodique mixte, avec trois chifftes irréguliers.
167. Remarqué. Les développements de foutes les fractions ordinaires qui ont même dénominateur peuvent se déduire du développement de la plus simple d'entre elles, de celle qui a pour numérateur l'unité.
Je considère, par exemple, les fractions qui ont pour dénominateur H. La fraction^ égale 0,090909 J'obtiens immédiatement la fraction ^, en multipliant la période par 5, ce
qui donne ^=0,272727 Et en effet, quand la période est
trois fois plus grande, il est clair que la fraction décimale devient elle-même trois fois plus grande.
Une fraction ordinaire, comme —, qui a pour dénominateur le produit de H par des facteurs 2 et 5, se ramène aussi à la fraction yï» Si Ton multiplie en effet les deux termes de la fraction par 5', la fraction prend la forme
^ 25X5^X11 ""iO'Xll'
la fraction ^^f^ égale le nombre fraclionnaire 647 -+-^; or le développement de la fraction —• se déduit du développement de j^ ; il suffit de multiplier la période par 8 ; donc la fraclion ^ égale 647,727272 .... On obtiendra la fraction proposée en divisant ce résultat par 1000 ; ainsi f|:=0,6477272
