CARRÉS

191. Remarque. Le carré d'un nombre plus grand que Tunilé est plus grand que ce nombre ; car, le multiplicateur étant plus grand que l'unité, le produit est plus grand que le multiplicande.

Au contraire, le carré d'un nombre plus petit que Tunilé est plus petit que ce nombre.

Lorsqu'un nombre augmente, son carré augmente; car les deux facteurs du produit augmentant, il est clair que le produit augmente. Lorsqu'un nombre diminue, son carré diminue.

192. Théorème Y. Lorsqu^un nombre entier n'est pas un nombre carré j il n^ existe pas de nombre fractionnaire çui, élevé au carréy reproduise ce nombre entier.

Soit un nombre entier 28 non carré; ce nombre est compris entre les deux carrés consécutifs 25 et 36. Il n'existe pas de nombre entier qui, élevé au carré, reproduise 28 ; le nombre 5 donne un carré trop petit, le nombre 6 un carré trop grand. Mais n'existe-t-il pas entre 5 et 6 un nombre fractionnaire dont le carré reproduise exactement le nombre 28 ? Je suppose que le nombre 5 plus une fraction irréductible j jouisse de cette propriété; en mettant ce nombre fractionnaire sous forme de fraction, là fraction ~ ainsi obtenue est aussi irréductible ; car si on pouvait la simplifier, en extrayant les entiers, on retrouverait 5 plus une fraction égale à la fraction irréductible ~ et plus simple que celle-ci, ce qui est impossible. Le carré de la fraction irréductible ~ est aussi une fraction irréductible ^; donc ce carré ne peut être égal à un nombre entier 28.

193. Théorème VI. Lorsque les deux termes d'une fraction ordinaire irréductible ne sont pas des nombres carrés^ il n^ existe pas de fraction qui^ élevée au carréy reproduise exactement la fraction proposée.

Soit, par exemple, la fraction -J-f dont le numérateur ij est pas un nombre carré. Je veux démontrer que cette fraction ne peut être égale au carré d'une fraction, que je supposerai

rùduitc à sa plus simple expression, el que je représenterai par

r. Le carré de la fraction r est une fraction irréductibc 71.

a* 20 Mais deux fractions irréduclibles ri, 75» "® peuvent ôlrc

ùg:iles que si elles sont formées des mômes nombres (n* li7) ; il faudrait donc que 20 fût égal à «*, ce qui est impossible, puiscpie 20 n'est pas un nombre carré.

194. Théorème VII. Le carré de la somme de deux nombres égale le carré du premier nombre^ plus deux fuis le produit du premier par le second^ plus le carré du second.

Soit à élever la somme 7-1-5 au carré; il faut niulliplier 7-1-5 par 7 4-5. En multipliant d'abord par 7 chacune des parties du multiplicande, j'obtiens le carré de 7 et le produit 5x7. En multipliant ensuite'par 5, j'obtiens le produit 7x5 et le carré de 5. En définitive le carré de 7 + 5 égale le carré de 7, plus deux fois le produit de 7 par 5, plus le carré de 5.

195. Corollaire I. La différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs égale deux fois le plus petit nombre, plus un. Ainsi :

8*=(7-Hl)' = 7*4-7x2-Hl.

Quand on connaît un carré, il est facile d'aprcs cela de former le carré suivant. Par exemple, pour avoir le carré de H , il suffit au carré de 10 ou à 100 d'ajouter deux fois 10 plus 1 ou 21, ce qui donne 121.

196. Corollaire II. Lorsqu'on nombre entier, comme 68^ contient plusieurs chiffres, on peut le considérer comme une somme de deux nombres, les dizaines 60, et les unités 8 ;

RAC(NF: CARRliË. 18:>

alors son carré contient trois parlics, le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, le carré des unités. La première partie 00* ou 6* xlO* exprime un nombre de centaines marqué pare*; la seconde partie 60x8x2, ou 6x8x2x10, exprime un nombre de dizaines marque par 6x8x2; enfin la troisième partie 8* exprime des unités.

Cette décomposition permet souvent d'élever un nombre entier au carré avec une grande rapidité. Soit à former le carré de 15. La premièie partie est 100, la secondé 100, et la troisième 25 ; en tout 225.

197. C0R0LÎ.AIRE III. Un nombre entier, terminé par l'un des chiffres 2, 3, 7, 8, n'est pas un nombre carré.

Et en effet, dans le carré d'un nombre entier, le chiffre des unités provient du carré du chiffre des unités, et les carrés des neuf premiers nombres sont terminés par les chiffres 1 , 4, 9, 6, 5.

Extraction de la racine carrée deii nombres entiers.

198. On appelle racine carrée d'un nombre un nombre qui, élevé au carré, reproduit le nombre proposé. La racine carrée de 64 est 8, puisque le carré de 8 est 64. On désigne la racine

carrée par le signe yj . Ainsi v'64=8.

199. On donne un nombre entier. Si c'est un nombre carré, on cherchera sa racine ; si ce n'est pas un nombre carré, on se bornera pour le moment à chercher la racine dn plus grand carré contenu dans le nombre proposé. L'excès du nombre proposé sur le plus grand carré qu'il renferme s appelle reste.

Si le nembre donné est plus petit que 100, comme on sait par cœur les carrés des neuf premiers nombres, on trouve de suite le résultat. Soit, par exemple,- le nombre 45 ; le plus grand carré contenu dans ce nombre est 56, dont là racine est 6, et l'on a un reste 9.

I8£ LIVRE IV. — HHAPITHE l.

Je considère maintenant un nombre plus grand que 100, par exemple 4587.

Le plus grand carré contenu dans ce nombre étant au moins égal à 100, la racine cherchée est au moins égale à 10; elle se compose donc d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé contient le carré de la racine, plus le reste ; or, le carré de la racine, d'après ce qui a été dit, est formé de trois parties : le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, le carré des unités. La première partie, le carré des dizaines, exprimant des centaines, doit être contenue dans les 45 centaines du nombre proposé ; je vais démontrer ce théorème général : La racine du plus grand carré contenu dans les centaines ffun nombre exprime les dizaiiies de la racine de ce nombre.

Le nombre 45 est compris entre les deux carrés consécutifs 36 et 49, carrés de 6 et de 7. Le nombre proposé 4587 contient donc 30 centaines ou le carré de 60; il ne contient pas 49 centaines ou le carré de 70. Il en résulte que la racine cherchée est ou 60, ou un nombre plus grand que 60, mais plus petit que 70 ; en un mot, le chiffre des dizaines de la racine est 6.

On connaît les dizaines de la racine ; si du nombre proposé on retranche le carré des dizaines 3600, le reste 987 ne renferme plus que les deux autres parties du carré, savoir : le double produit des dizaines par les unités, ou le produit de 12 dizaines par le chiffre des unités, et le carré des unités. La première partie, exprimant des dizaines, est contenue dans les 98 dizaines ; mais ce produit n'est pas nécessairement le plus grand multiple de 12 contenu dans 98; car 98 contient en outre les dizaines de retenue fournies par le carré des unités et par le reste. En divisant 98 par 12, on trouve 8 pour quotient ; le chiffre des unités est donc 8 ou un chiffre plus