RACINE CARRÉE. I

petit. J'essaye 8; pour cela j'écris 8 à la droite de 12, et j<; multiplie le nombre 128, ainsi formé, par 8 ; le produit 1024 se compose du produit de 12 dizaines par 8, c'est-à-dire du double produit des dizaines par les unités, et en outre du produit de 8 par 8, c'est à-dire du carré des unitt^s. Or la somme de ces deux parties doit être contenue dans 987 ; puisque 1024 est plus grand que 987, on en conclut que le chiffre 8 est trop fort. J'essaye 7 de la même manière, en multipliant 127 par 7 ; le produit 889 étant contenu dans 987, le chiffre 7 est bon ; c'est bien le chiffre des unités de la racine. Ainsi la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587 est 67, et il y a un reste 98.

200. Soit encore à extraire la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 458732.

On raisonnera comme précédemment : ce nombre étant plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. En vertu du théorème démontré, on obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les 4587 centaines.

Je reprends d'ailleurs la démonstration du théorème, afin d'en bien faire comprendre la généralité. Je désigne par a la racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé ; ce nombre contient a* centaines, ou-le carré de a dizaines ; il ne contient pas (a -f- 1 )* centaines, ou le carré de a-hl dizaines. Donc la racine cherchée est ou a dizaines, ou un nombre plus grand que a dizaines, mais plus petit que a-f-1 dizaines. En un mot, a exprime exactement le nombre des dizaines de la racine.

188 LIVÏŒ IV. — CHAPITRE I.

Il s'agit donc d'extraire la racine du plus grand carre contenu dans le nombre 4587. Ce nombre étant plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unités et d'un certain nombre ('î dizaines. On obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand pan é contenu dans les 45 centaines. En répétant les raisonnements du numéro précédent, on trouve que 67 est la racine du plus grand carré conlenu dans le nombre 4587, et qu'il y a un reste 98. Ainsi la racine du nombre 458752 se compose de 67 dizaines et d'un chiffre des unités que je vais déterminer.

Si du nombre proposé on retranche le carré des 67 dizaines, il reste 98 centaines, qui, ajoutées aux 32 unités, donnent 9832. Ce nombre renferme le double produit des dizaines par les unités; on divisera donc 983 par le double de 67 ou par 134, ce qui donne pour quotient 7. Le chiffre des unités est ou 7 ou un chiffre plus petit. On essayera 7, en écrivant 7 ù la droite de 134 et multipliant 1347 par 7 ; le produit 9429 étant plus petit que 9832, le chiffre 7 est bon. Ainsi la racine cherchée est 677, et il y a un reste 403.

De ce qui précède on conclut :

Règle. PoMf extraire la racine carrée du plus (jraml carré contenu dans un nombre entier j on partage ce nompre en tranches de deux cinffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d'ailleurs ne renfermer qxiun chiffre. On extrait la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche^ ce qui donne le premier chiffre de gauche de la racine cherchée. On retranche ce plus grand carré de la première tranche^ et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante ; on sépare le premier chiffre de droite, et on divise le nombre ainsi formé par le double du chiffre déjà obtenu à la racine; le quotient est le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaye ce chiffre en l'écrivant à la droite du double du premier chiffre^ multipliant le nombre ainsi formé par le chiffre que Von essaye^ et retranchant ce produit du nombre obtenu par rabaissement de la seconde tranche. Si la soustrac-

RACîNE CARRÉE. m

lion estpossiblej le chiffre essayé est bon; si elle n^est pas possible ^ ce chiffre est trop fort^ et alors on essaye le chiffre inférieur (rime unité. Quand on a trouvé le second chiffre de la racine^ à la droite du reste on abaissa la tranche suivante^ on sépare le premier chiffre de droite, et on divise le nombre ainsi formé par le double de la partie déjà obtenue à la racine. On continue de cette manière jusqu à ce quon ait abaissé toutes les tranches.

Quanti on effectue les soustractions en même temps que les multiplications, on dispose l'opération de cette manière :

J'apjliquc la .règle à l'exemple suivant :

On voit qu'il y a autant de chiffres à la racine qu'il y a de franches dans le nombre proposé.

PuKuvE. Si Ton élève au carré la racine trouvée et si Ton ajoute le resle, on doit retrouver le nombre donné.

REUARQUFS.

201. RemxVRqueJ. Soit à extraire la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 237.

En appliquant la règle précédente, après avoir déterminé le premier chiffre 1 de la racine, on divise 13 par le double des dizaines 2, ce qui donne 6 pour quotient; le chiffre des unilés est 6 ou un chiffre plus petit. Je divise ce même nombre 13 par le double des dizaines plus 1, c'est-à-dire par 3, je trouve 4 pour quolient; je dis que le chiffre des unités de la racine est 4 ou un chiffre plus grand. En effet, le nombre i 57, contenant le produit 30x4, contient à plus forte raison le produit plus petit 24x4; le carré de 14 est donc contenu dans le nombre proposé, et par conséquent la racine cherchée est 14 ou un nombre plus grand. J'essaye 4; pour cela, de 137 je retranche 24x4, il reste 41 ; le nombre proposé contient le carré de 14 plus 41. On sait que le carré de 15 égale le carré de 14, plus deux fois 14, plus 1, et par conséquent égale le carré de 1 4 plus 29 ; le resle 41 étant plus grand que 29, le nombre proposé contient le'carré de 15. Le chiffre 4 est donc trop faible ; j*essaye 5 ; pour cela, de 41 je retranche 29, il reste 12 ; le nombre proposé égale le carré de 15, plus 12 ; ce nouveau reste étant plus petit que deux fois 15, plus 1 , le nombre proposé ne contient pas le carré de 16. Le plus grand carré conlenu dans le nombre proposé est donc le carré de 15; la racine cherchée est 15, et il reste 12.

Ainsi, lorsqu*on a trouvé un ou plusieurs chiffres de la racine et quà la droite du reste on a abaisse la tranche suivante et séparé le premier chiffre ^ si Ion divise le nombre ainsi formé par le double de la partie déjà trouvée à la racine^ plus 1 , le quotient est le chiffre suivant de la racine, ou un chiffre trop faible. On essaye ce chiffre en récrivant à la droite du double de la première partie^ multipliant le nombre ainsi formé par le chiffre que Von essaye et retranchant ce produit du nombre obtenupar l'abaissement de la seconde tranche. Si le reste est plus petit que le double du nombre obtenu à la racine en prenant le chiffre queVon essaye^ ce double étant augmenté de 1 , ce chiffre est bon. Si le reste est égal ou supérieur ^ le chiffre essayé est trop faible, et alors on essaye le chiffre supérieur d^une unité; pour cela^ on retranche du reste précédent ce double plus 1 .

RACli^E CARRÉE. l'jl

202. Rebiarque II. En combintint les deux méthodes, c'està-dire en divisant le nombre séparé par le double de la partie obtenue à la racine ou par ce double plus un, on obtient deux quotients qui comprennent entre eux le chiffre cherché. Prc nons un exemple :

25 o2G 5oJ8

Le premier chiffre de la racine csl 1 . En divisant 17 par 2 ou par «1, on trouve les quotients 8 ou 5 ; le second chiffre est Tun des quatre nombres 5, 6, 7, 8. J'essaye 5; le reste 53 étant plus grand que 31 , le chiffre 5 est trop faible. De 53 je retranche 31, le nouveau reste 22 étant plus petit que 33, le chiffre 6 est bon. En divisant 225 par 32 et par 33, on trouve les quotients 7 et*6 ; le troisième chilfre de la racine est 6 ou 7. J'essaye 6 ; le reste 294 étant plus petit que 333, le chiffre 6 est bon. En divisant 2942 par 332 et par 333, on trouve le même quotient 8 ; le quatrième chiffre de la racine est 8 sans ambiguïté.

203. Remaiîquc m. A mesure qu'on avance dans l'opération, l'incertitude se restreint de plus en plus ; car, à partir du second chiffre de là racine, ou môme à partir du premier, si ce premier est égal ou supérieur à 5, les deux divisions, par ksquelles on détermine chacun des chiffres suivants, donnent le même nombre entier ou deux nombres entiers consécutifs. En effet, dans Texemple précédent, pour déterminer le troisième chiffre de la racine, on a divisé 225 par 32 ou par 33, Je prends la différence des deux quotients complets :

192 LIVRE lY. - CUAPITRE î.

Le second quotient complet ^,^ est nécessairement plus pelit que 10; d'autre part, le dénominateur 32, double d'un nombre de deux chiffres, est plus grand que 10 ; donc la différence des deux quotienis complets est plus petite que l'unité, et par conséquent ces deux quotienis sont compris entre deux nombres entiers consécutifs, ou bien ils comprennent entre eux un seul nombre entier. Dans le premier cas, les parties entières des deux quotients sont les mômes, et l'on a le chiffre de la racine sans ambiguïté; dans le second cas, les parties entières sont deux nombres enliers consécutifs : il y a incertitude entre ces deux nombres seulement ; un essai décidera.

Dans le calcul du quatrième chiffre de la racine, la différence des deux quotients complets étant plus petite que ~, il est très-probable que ces deux quotients offriront la même partie entière, et que par conséquent on aura le quatrième chiffre sans ambiguïté.

Lorsque le premier chiffre de la racine est égal ou supérieur à 5, la même propriété se manifeste déjà dans le calcul du second chiffre ; car, dans ce cas, la différence des quotients complets est, même pour le second chiffre, plus petite que Tunité.

Ainsi, quand on calcule une racine carrée^ à partir du second chiffre j ou même à partir du premier si ce premier est égal ou supérieur à 5, mi seul essai auplu^ suffira pour déterminer chacun des chiffres suivants.

Racines earrées Incomiiieiisaralilett.

204. Nous avons VU (n° 192) que, lorsqu'un nombre entier, comme 28, n'est pas un nombre carré, il n'existe pas de nombre fractionnaire qui, élevé au carré, reproduise exactement ce nombre. Mais on peut trouver deux nombres fraetionnaîrcs qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on veut, et dont les carrés comprennent le nombre donné, c'est-à-dire soient, l'un plus petit, Tautre plus grand que ce nombre.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer deux nombres, qui ne difièrent entre eux que de ^, et dont les carri s

AAGINE CARRÉE. 1^3

comprennent le nombre 28. Pour cela, je mets ce nombre sous la forme

En extrayant la racine du plus grand carré contenu dans 4032, on trouve que ce nombre est compris entre les carrés des deux nombres entiers consécutifs 63 et 64. Je compare maintenant les trois fractions

65^ 4032 ôi].

k dénominateur est le même, le numérateur de la seconde

fraction est compris entre les numérateurs des deux autres;

donc la première fraction est elle-même comprise entre les

deux autres. Ainsi les carrés des deux nombres fractionnaires

fl cl f^, qui ne diffèrent entre eux que de ^i^ comprennent

le nombre donné 28.

En général, si Ton met le nombre donné Â sous la forme

Axu

— - — (n étant un nombre entier quelconque), et si Ion extrait

la racine du plus grand carré contenu daiis le produit A xn',

on trouve deux nombres fractionnaires - et , qui ne

diffèrent entre eux que de -, etdont les carrés comprennent A.

Comme le nombre n peut être pris aussi grand qu on veut, les deux nombres fractionnaires, dont les carrés comprennent le nombre donné, différeront aussi peu qu'on voudra.

Chacun des nombres fractionnaires - et , qui diffèrent

enlre eux aussi peu qu'on veut et dont les carrés comprennent

A, est ce que Ton appelle la racine carrée de A; on le désigne

par le symbole y' A.

205. Il est aisé de voir que le nombre fractionnaire désigna par }fX est un nombre incommensurable, c'est-à-dire qu'il

19i LIVRE IV. ~ CHAPITRE L

peut représenter une grandeur incommensurable avec une approximation aussi grande qu on veut (n"" 138).

En effet, si Ton considère les nombres dont les carrés sont inférieurs à A, ceux dont les carres sont supérieurs à A, et si i on suppose que ces nombres représentent des grandeurs de même espèce, on a deux séries de grandeurs commensurables, telles que les grandeurs de la première série sont plus petites que celles de la seconde série, et que la différence entre une grandeur de la première série et une de la seconde peut être rendue aussi petite qu'on veut; il existe donc entre les deux séries de grandeurs commensurables une grandeur incommensurable unique et déterminée que Ton peut regarder comme la limite commune des deux séries de grandeurs commensurables. Puisque cette grandeur est comprise entre.

les deux grandeurs - et , elle diffère de chacune d'elles

d'une quantité plus petite que -, et par conséquent elle est

exprimée par Tun ou l'autre des deux nombres - et avec

une erreur moindre que -; en un mot, la grandeur incommensurable est représentée par le nombre incommensurable v/ÂI

206. On peut prendre le nombre n assez grand, non-seulement pour que les nombres - et diffèrent entre eux

aussi peu qu'on voudra, mais encore pour que leurs carrés eux-mêmes diffèrent entre eux aussi peu qu'on voudra. En effet ces deux carrés ont pour différence

Le numérateur étant plus jpetit que 2a-f-2, c'est-à-dire que

(a-f-l)x2 ; cette différence est moindre que , ou

a4-l 2 que • x-« Supposons quUl s'agisse du nombre 28, com-