RACINE CARRÉE

pris entre 5' et 6', la quantité est au plus égale à 6 ; par

conséquent la différence des carrés est moindre que 6 X - ou

que — ; on pourra donc prendre n assez grand pour que cette

différence soit moindre qu'une quantité donnée .si petite qu'elle

soit. Aussi les carrés des nombres fractionnaires - et ,

diffèrent entre eux, et par suite du nombrQ A qu'ils comprennent, aussi peu qu'on voudra.

Il résulte de là que le carré du nombre fractionnaire variable désigné par ^T, sans être rigoureusement égal à A, en diffère aussi peu qu'on veut ; c'est là une sorte d'égalité par approximation indéfinie qu'on ne distingue pas en mathématiques de Tégalité absolue.

REMARQUE

207. Quand on a extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans un nombre entier, on connaît deux nombres entiers consécutifs, entre lesquels est comprise la racine du nombre proposé. Il est aisé devoir, à l'inspection du resle, duquel de ces deux nombres elle est le plus rapprochée.

Soit, par exemple, le nombre 28, dont la racine est comprise entre 5 et 6 ; ce nombre contient le carré de 5, plus le reste 3. Formons le carré de 5-f-{ ; ce carré, d'après ce qui a été dit, comprend trois parties : le carré de 5 ou 25; le double produit de 5 par |, c'est-à-dire 5; enfin le carré de J, ou J. Ainsi le carré de 5h-^ surpasse le carré de 5 de 5-1- y. En général, quand on ajoute une demi-unité à un nombre, son carré augmente du nombre lui-même plus un quart. Si donc le reste est égal ou inférieur à la partie entière de la racine, la partie fractionnaire sera moindre qu'une demi-unité. C'est ce qui a lieu dans l'exemple actuel : le reste 3 étant inférieur à 5, la racine est plus petite que 5-f-5; on prendra 5 par défaut, à moins d'une demi-unité près.

Mais si le reste est plus grand que la partie entière de la racine, la partie fi actionnaire sera plus grande qu*unc demir.nité. Par exemple, le nombre 32 contient le carré de 5, plus le reste 7; ce reste élant supérieur à 5, la racine csl plus grande que 5-l-î; elle est comprise entre 5 -h î et 6 ; on prendra 6 par excès, à moins d'une demi-unité.

Ainsi, dans l'extraction des racines, on aura soin de forcer le dernier chiffre, quand le reste sera plus grand que la racine^ trouvée.

Baelne carrée des ffraetioiis ordcRalres*

208. Si les deux termes de la fraction sont des nombres carrés, on obtient la racine carrée de la fraction en extrayant la racine carrée de ses deux termes. Ainsi la racine carrée de la fraction H est f , puisque le carré de la fraclion | est égal à H.

Lorsque les deux termes de la fraction proposée, que Ton peut toujours supposer réduite à sa plus simple expression, ne sont pas des nombres carrés, on a démonlré (n° 193) qu'il n'e.xislepas de fraclion qui, élevée au carré, reproduise exactement la fraclion proposée. Mais on peul trouver une fraclion dont le carré diffère infiniment peu de la fraclion donnée.

Lorsque le dénominateur de la fraction est un nombre carré, si Ton extrait la racine du plus grand carré conlenu dans le numérateur, on obtient immédiatement deux fractions dont les carrés comprennent la fraction proposée. Soit, par exemple, la fraction J-|; le numérateur étant compris entre 5' et 6*, les carrés des deux fractions f et f comprennent la fraclion proposée ||.

Si le dénominateur de la fraction proposée n'est pas un nombre carré, on le rendra tel en multipliant les deux termes de la fraction par le dénominateur. Soit la fraction y; en multipliant ses deux termes par 7, on la met sous la forme fj, et on est ramené au cas précédent.