Je me propose maintenant de déterminer deux frac

RAGliNE CARRÉE. 197

lions qui diffèrent de -, et dont les carrés comprennent la

fraction proposée ~. Afin de fixer les idées, je prends y^ poui différence; je mets la fraction proposée sous la forme

AxiV 576 -. 2

7"~7x1ii*"~ 12* ""11"^"" ir- *

J'extrais la racine du plus grand carré conlenu dans la partie entière 82. Les deux carrés 9' et 10*, entre lesquels est compris le nombre 82, comprennent aussi le nombre fractionnaire 82-i-f ; car, d'une part, 9' étant plus petit que 82, est plus petit que 82-f-f ; d'autre part, 10' surpassant 82 d'au moins une unité, surpasse encore ce nombre augmenté d'une fraction plus petite que Tunité. Je compare maintenant le quotient

—rr^ aux deux fractions r^, et 7-^,; le iliviseur est le môme, 12* \r 12*

le dividende est compris entre les deux numérateurs; donc le

quotient lui-même est compris entre les deux fractions. Ainsi

les deux fractions ^ et {f, qui ne diffèrent que de ^, sont

telles que leurs carrés comprennent la fraction proposée ^.

11 résulte de ce qui précède que l'on obtient la racine carrée

iïun nombre à moins de - près^ en multipliant ce nombre par

n*, extrayant la racine du produit à moijis d'une unité près, et divisant le résultat par n.

On demande, par exemple,yiO-+-f à moins de ^ près. En ninllipliant lO+f par 12', on trouve 1526-i-| ; la racine de

1526 a moins d'une unité près est 39 , donc \/rô moins de j^ près.

5..pj a

Bacine carrée des nombres décimanx.

210. Considérons maintenant un nombre décimal tel que 45,8732. Ce nombre décimal est égal à la fraction ordinaire *îWbV 9 ^^"t ^^ dénominateur est le carré de 1 00 ; en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans le nombre entier

m LIVRE IV. - CHAI1TRK I.

458732, on trouve 677 ; le numérateur étant compris entre les carrés de 677 et de 678, la fraction proposée est comprise entre les carrés des deux fractions f^ et f^ et sa racine entre ces deux fractions elles-mêmes. Ainsi on dira que chacun des deux nombres 6,77 et 6,78 est la racine approchée de 45,8732 à moins d'un centième près.

Pour que ce raisonnement soit possible, il faut que le dénominateur soit un caiTé parfait, c'est-à-dire que le nombre proposé renferme un nombre pair de chilTres décimaux. Si le nombre des chiffres décimaux était impair, on le rendrait pair en ajoutant un zéro à sa droite. Si Ton demande, par exemple, la racine de 45,875, on ajoutera un zéro et Ton cherchera la racine du nombre égal 45,8730, ce qui donne encore 6,77 à moins d'un centième.

Règle. Pour extraire la racine carrée cVun nombre décimal renfermant un nombre pair de chiffres décimaux^ on supprime la virgule et Von extrait^ à moins d^une unité^ la racine du nombre entier ainsi obtenu; puis on sépare par une virtjxde sur la droite de la racine un nombre de chiffres décimaux moitié du nombre des chiffres décimaux du nombre proposé^ et Von a ainsi la racine avec une erreur plus petite qiiune unité du dernier ordre.

Ce procédé permet d'exprimer en décimales les racines carrées avec une approximation aussi grande qu'on veut,

EXEMPLES

1"* Si Ton demande, par exemple, la racine carrée de 45,873 à un millième près, on ajoutera trois zéros à la droite de ce nombre afin d* avoir six chiffres décimaux, et Ton appliquera la règle précédente au nombre décimal 45,873000, ce qui donne la racine 6,773 approchée par excès à moins d'un millième.

2" On calculera de même la racine carrée du nombre entier 528 à moins d'un millième près en appliquant la règle énoncée au nombre décimal 528,000000. Mais, dans la pratique, il es/ inutile d'écrire d'avance les zéros ; on opère d'abord sur U

RAGIJVE CARRÉE. 199

nombre entier proposé, ce qui donne la partie entière de la racine ; ajoutant deux zéros à droite du reste, on obtient le chiffre des dixièmes; ajoutant deux nouveaux zéros, on obtient le chiffre des centièmes et ainsi de suite.

5"" Soit la fraction | dont on demande la racine à un centième près. On commencera par convertir en décimales la fraction proposée, et l'on s'arrêtera quand on aura quatre chiffres décimaux ; on trouve ainsi que la fraction f égale la fraction décimale 0,71428..., ce qu'on peulécrire de la manière suivante .•

On extraira ensuite la racine du numérateur à moins d'une unité près ; la racine du plus plus grand carré contenu dans le nombre entier 7 142 étant 84, il est clair que le nombre entier 7142 et par suite le nombre fractionnaire 7142,8..., sont compris entre les carrés des deux nombres entiers consécutifs 84 et 85 ; donc la fraction proposée elle-même est comprise entre les carrés des deux fractions ^ et ^iô. Ainsi la racine demandée est 0,84 ou 0,85 à moins d'un centième près.

De même, si l'on veut trouver la racine du nombre fractionnaire 52-l-| à un millième près, on convertira la fraction I en décimales, et l'on extraira la racine du nombre décimal 32,666666, ce qui donne 5,715.

REMARQUES

21 1 . Si Ton calcule v^5, successivement à moins d^une unité

près, à moins dcj-^, de j^w?, , on voit que la grandeur

incommensurable représentée par \f5 est comprise entre les deux séries de grandeurs commensurables

dont elle est la limite commune. Ces deux séries proscnlonl une particularité remarquable : les grandeurs de la première série vont en croissant, et par conséquent se rapprochent de plus en plus de leur limite ; celles de la seconde série vont en décroissant, et se rapprochent aussi de plus en plus de la môme limite.

Il n en est pas toujours ainsi : quand on calcule \/A à moins

de - près, le résultat n'est pas nécessairement d'autant plus

approché que n est plus grand. Par exemple, si Ton calcule

\/5 à moins de 7 près, on trouve ^ par excès; or ^=2,25 ; ce

résultat surpasse la vraie racitie d'une quantité plus petite

que 0^014. Si l'on calcule ^à moins de jjr près, on trouve

2,2 par défaut ; ce résultat diffère de la vraie racine d'une

g quantité plus grande que 0,036. Donc t est plus approché

que 2,2.