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Le plus grand cube contenu dans. ce nombre étant supérieur ou égal à 1 000, la racine cherchée est supérieure ou égale à 1 0; elle se compose donc d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé renferme le cube do la racine, plus le" reste ; or le cube de la racine, d'après co qui a été dit, comprend quatre parties : le cube des dizaines, etc. La première partie, exprimant des mille, ne peut se trouver que dans les 98 mille du nombre proposé. Je vais démontrer ce théorème général, savoir que la racine du plus grand cube contenu dans les mille d'im nombre exprime Us dizaines de la racine de ce nombre.
Le nombre 98 est compris entre les deux cubes consécutifs 64 et 125, cubes de 4 et de 5. Le nombre proposé 98654 contient donc 64 mille ou le cube de 40; il ne contient pas 125 mille ou le cube de 50; il en résulte que la racine cherchée est 40 ou un nombre plus grand que 40, mais plus petit que 50; en un mot, le chiffre des dizaines de la racine est 4.
On connaît les dizaines de la racine. Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines 64000, le reste 54654 ne renferme plus que les trois autres parties du cube, savoir : trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités, trois
RACINE CCBIQUK. 20:.
fois les dizaines multipliées par le carré des unités, le cube ^08 unités.
La première partie, exprimant des centaines, est contenue dans les 346 centaines ; trois fois le carré des dizaines étant 48, le produit de 48 par le chiffre des unités est contenu dans 340 ; mais ce produit n'est pas nécessairement le plus grand multiple de 48 contenu dans 346 ; car 346 contient en outre les centaines de retenue provenant des autres parties. En divisant 346 par 48, on trouve 7 pour quotient; le chiffre des unités est donc ou 7 ou un chiffre plus petit.
J'essaye 7 ; pour cela je forme les trois autres parties du cube de 47 : en multipliant 48 par 7, on obtient la première partie 35600 ; en multipliant le triple des dizaines ou 12 par le carré des unités 49, on obtient la seconde partie 5880 ; enfin la troisième parlic, lecube des unités, est 343. La somme 39823 de ces trois parties étant plus grande que 34654, le chiffre 7 est trop fort.
J'essaye 6 de la même manière. La somme des trois parties 33336 étant moindre que 34654, le chiffre 6 est bon. Ainsi la racine du plus grand cube contenu dans le nombre 98654 est 46, et on a un reste 1318.
Pour essayer le chiffre 7, au lieu de calculer les trois partics séparément, il est plus simple de procéder de la manière suivante : à la droite du triple des dizaines 12, j'écris le chiffre 7, je multiplie le nombre 127 ainsi formé par 7, j'ajoute au produit 889 le triple carré des dizaines, c'est-à-dire 4800, ce qui donne le nombre 5689 que je multiplie par 7, j'obtiens ainsi la somme 39823 des trois autres parties du cube. Kn effet de cette manière le nombre 7 a été multiplié deux fois successivement par 7, ce qui donne le cube des unilés; le triple des dizaines 12 a été aussi multiplié deux fois successivement par 7, ce qui donne trois fois le produit des dizaines par le carré des unités ; enfin le triple carré des dizaines 48 a été multiplié par le chiffre des unités 7. Après avoir reconnu que le chifl're 7 est trop fort, on essayera de la môme manière le chiffre 6.
20O LIVHK IV. — CHAPllRIi: 11.
219. Soit encore à extraire la racine du plus grand cube contenu dans le nombre 98654965.
33536 ISTStSS
On raisonnera comme précédemment : ce nombre étant plus grand que 1000, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unilés et d'un certain nombre de dizaines. En vertu du théorème démontré, on obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube contenu dans les 98654 mille.
Ce nombre 98654 étant lui-même plus grand que 1000, sa racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. On obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand cube contenu dans les 98 mille. En répétant les raisonnements faits précédemment on trouve que 40 est la racine du plus grand cube contenu dans 98654 et qu'il y a en reste 1318. Ainsi la racine cherchée se compose de 46 dizaines et d'un chiffre des unités que je vais déterminer.
Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines, il reste 1318 mille qui, ajoutés aux 965 unités, donnent 1 51 8965. Ce nombre renferme les trois autres parties du cube ; on divisera donc 13189 par trois fois le carré de 46 ou par 6548, ce qui donne pour quotient 2. On essayera le chiffre 2 par le procédé indiqué précédemment. Le chiffre 2 est bon. Ainsi la racine cherchée est 462.
De ce qui précède on conclut :
Règle. Pour extraire la racine ctibique du plus grand cube contenu dam un nombre entier donnée on partage ce nombre en
KÀGINË GUBiQUË. 207
tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d* ailleurs ne renfermer que deux chiffre^ oti un seul. On extrait la racine de la première tranche de gauchCj ce qui donne le pi^emier chiffre de gauche de la ratine cherchée. On retranche le cube de ce chiffre de la première tranche^ et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On sépare les deux premiers chiffres de droite et on divise le nombre ainsi formé par trois fois le carré du chiffre déjà obtenu à la racine. Le quotient est le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaye ce chiffre en formant les trois autres parties du cube et retranchant la somme du nombre obtemt par l'abaissement de la seconde tranche. Si la soustraction nest pas possible^ le chiffre essayé est trop fort^ et on essaye le chiffre inférieur d\ne unité; si elle est possible^ à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On continue de cette manière jusqu^à ce qu'on soit arrivé à la dernière tranche.
Preuve. En élevant au cube la racine trouvée et ajoutant le reste, on doit reproduire le nombre proposé.
Basilics cvbiqacs Incomineiisarablcs*
220. Les considérations que nous avons présentées sur les racines carrées incommensurables (n° 204) s'élendent facilement aux racines cubiques et en général aux racines d'un ordre quelconque. Lorsqu'un nombre entier A n'est pas un cube parfait, il n'exisle pas de nombre fractionnaire qui, élevé au cube, reproduise exactement ce nombre; mais on peut trouver deux nombres fraclionnaires qui diffèrent aussi peu qu'on voudra, et dont les cubes comprennent le nombre A.
AXfi' En effet, si Ton met le nombre A sous la forme — ^ — et ' n
si l'oa extrait la racine du plus grand cube contenu dans
Axn', on obtient deux nombres fractionnaires - et
qui ne diffèrent que de -, et dont les cubes comprennent le
nombre A.
208 LlVIlE IV. - (JUPITRE H.
Chacun de ces nombres fractionnaires - ou , qui dif-
feront aussi peu qu'on voudra et dont les cubes comprennent A, est ce que Ton appelle la racine cubique de A. On les désigne par lé symbole y^A.
On verra comme précédemment que ce nombre fractionnaire représente une grandeur incommensurable, avec une approximation indéfinie. Celte grandeur incommensurable,
comprise entre les deux grandeurs commensurables - et ,
diffère de chacune d'elles d'une quantité plus petite que - .
et par conséquent est exprimée par l'un ou l'autre des deux
nombres - et avec une erreur moindre que - ; en un
mot, la grandeur incommensurable est représentée par le nombre incommensurable \/ A.
Racine» cubiques des fractions ordinaires.
221 . Si les deux termes de la fraction sont cubes parfaits, on obtient la racine cubique de la fraction en extrayant la racine de ses deux termes. Ainsi yj ^ = f .
Lorsque les deux termes de la fraction proposée, que Ton peut toujours supposer réduite à sa plus simple expression, ne sont pas des nombres cubes, il n'existe pas de fraction qui, élevée au cube, reproduise exactement la fraction proposée; mais on peut trouver deux fractions qui diffèrent aussi peu qu'on voudra et dont les cubes comprennent la fraction proposée.
Lorsque le dénominateur de la fraction est un cube, si l'on extrait la racine du plus grand cube contenu dans le numérateur, on obtient immédiatement deux fractions dont les cubes comprennent la fraction proposée.
Soit, par exemple, la fraction ^ ; le numérateur étant compris entre 5* et 6', les cubes des deux fractions J et f comprenaient là fraction proposée.
ll\Cl.NK CUBIQUE. 201)
Si le dénominateur n*esl pas cube parfait, on le rendra tel on muUipliant les deux termes de la fraction par le carré du dénominateur. Soit la fraction f ; en muUipliant les deux termes par 7* ou par 49, on la met sous la forme jj^ei Ton est ramené au cas précédent.
Je me propose maintenant de déterminer deux fractions
qui différent de -; et dont les cubes comprennent la fraction
proposée f. Afin de fixer les idées, je prends ^ pour diffé renée; je mets la fraction proposée sous la forme
5 5xi2" 7 --y-" ^^""^7 7~" 7x1-2^"" iT^ "" l'i* ""12' *
Extrayant la racine du plus grand cube contenu dans la partir entière 740, j obtiens les deux fractions ~ et fj, dont les cubes comprennent f .
11 résulte de ce qui précède que l'on obtient la racine cubi-
que (Vun nombre^ avec une approximation marquée par -,
en multipliant le nombre proposé par ri', extrayant la racine cubique du produit à moins d'une unité^ et divisant le résultat par n.
Racines eiiblqaes d\,m nombres déclnifiiut.
222. Le nombre décimal 98,654065 peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire VoVo VoV > ayant pour dénominateur le cube de 100. J extrais la racine du plus grand cube contenu dans le numérateur. Le numérateur étant compris entre les cubes de 462 et de 463, le nombre décimal proposé est compris entre les cubes des deux fractions \^ et ffj. Ainsi
V^ 98,654965 = 4,62 à moins d'un centième près.
Pour que ce raisonnement soit possible, il faut que le dénominateur soit un cube parfait, c'est-à-dire que le nombre des chiffres décimaux du nombre proposé soit un multiple de 5 ;
810 LIVRE IT. - cHArrrRE n.
sll ne Test pas, on le rendra tel par Taddition d'un ou de deux zéros à la droite. Ainsi :
Règle. Pour extraire la racine cubique d'un nombre décimal^ qui contient un nombre de. chiffres décimaux multiple de 5, on supprime la virgule et Von extrait à moins d'une unité la racine cubiqtie du nombre entier ainsi obtefiu; puis F on sépare par une virgtilesur la droite de la racine un nombre de chiffres décimaux égal au tiers du nombre des chiffres décimaux que renferme le nombre proposé^ et Ton a la racine avec une erreur plus petite qu'une unité du detiiier ordre.
Ce procédé permet d'exprimer en décimales les racines eu* biques avec une approximation aussi grande que Ton veut.
