CHAPITRE III

CALCVIi DBS RADICAUX ^

Kottons 8«r les nombres IncoumiensiiraUei*

223. Nous avons dit que, lorsqu'on veut mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cet(e grandeur et l'unité. Si, par exemple, la commune mesure est contenue 7 fois dans Tunilè et 4 fois dans la grandeur que Ton veut mesurer, cette grandeur, étant égale à 4 fois la septième partie de Tunité, sera représentée par la fraction |.

Mais il arrive souvent que la grandeur et Tunité n'admettent pas de commune mesure, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de grandeur, si petite qu'elle soit, contenue exactement dans la grandeur et Tunité. Dans ce cas, on dit que la grandeur GsUncommensurable^ et, comme il est impossible de la mesu* rer exactement, on se borne à une évaluation approximative. Imaginons Tunité partagée en un grand nombre de parties égales, par exemple, en mille parties égales, et clierchons combien la grandeur à mesurer contient de ces parties ; elle en contient, je suppose, 728, plus un reste plus petit que Tune des parties ; la grandeur à mesurer, étant plus grande que 7^» mais plus petite que -—f^î sera représentée par Tune ou par l'autre de ces deux fractions, avec une erreur moindre que 1 millième.

Si l'on avait partagé l'unité en un million de parties égales, on aurait obtenu la mesure de la grandeur avec une erreui* moindre que 1 millionième.

Le nombre fractionnaire qui mesure une grandeur incommensurable, avec une approximation aussi grande qu'on veut, s'appelle un nombre incommensurable,

224. Les racines des quantités qui ne sont pas puissances parfaites, donnent aussi naissance à des nombres incommensurables. Appelons A un nombre entier non puissance imparfaite, et plus généralement une fraction ordinaire irréductible dont les deux termes ne sont pas des puissances n"

parfaites ; je dis qu'il n'existe pas de nombre fractionnaire 7

qui, élevé à la n' puissance, reproduise exactement A. En

effet, la n* puisssance de la fraction r est y^; comme on peut

supposer la fraction j irréductible, c'est-à-dire les deux nombres a et b premiers entre eux, les deux puissances «" et

6** seront aussi premières entre elles et la fraction r^ irréductible. On voit d'abord que cotte fraction irréductible ne peut être égale à un nombre entier A. Elle ne peut non plus être égale à une fraction irréductible dont les termes ne sont pas des puissances parfaites; car deux fractions irréductibles ne sont égales que si elles ont leurs deux termes égaux respectivement ; la fraction proposée aurait ainsi ses deux termes puissances parfaites, ce qui est contraire à Thypotlièse.

Mais on peut trouver des nombres fractionnaires r et

— r— , qui ne diffèrent entre eux que d'une quantité ausbi

petite qu'on veut j [b étant très-grand) et dont les n** puissances comprennent A. Écrivons en effet la quantité proposée A sous la forme

et désignons par a le plus grand nombre entier dont la