CALCUL DES RADICAUX. 2 M
«'puissance soif contenue dans Axt"; la quantité A x/>"
A xi" élani comprise entre a* et (a-f-1)* la quanlilé .^
ou A sera évidemment comprise entre
Chacun de ces nombres fractionnaires ,- et — 7 — 1 dont la
différence est aussi petite qu'on veut, et dont les puissances comprennent la quantité proposée A, est ce que l'on appelle la racine approchée de A ; on la désigne par le symbole v^A.
Il est aisé de voir que ce nombre fractionnaire 7 ou — -, —
représenle, avec une approximation aussi grande qu'on vcul, une certaine grandeur incommensurable. Considéronsen effet, d'une part, les nombres dont les n" puissances sont inférieures à A; d'autre part, ceux dont les puissances sont supérieures à A, et imaginons les deux séries de grandeurs commensurables de même espèce représentées par ces nombres. Les grandeurs de la première série sont plus petites que celles
de la seconde; la différence - entre une grandeur r de la
première série et une grandeur —, — de la seconde série peut
être rendue aussi petite qu'on veut. On conçoit donc qu'entre ces deux séries de grandeurs commensurables, il existe une grandeur incommensurable unique et déterminée qui en est la limite commune ; c'est cette grandeur incommensurable
que représente le symbole y/ A. .
225. On rencontre en géométrie plusieurs exemples de grandeurs incommensurables. Ainsi, on démontre que la diagonale d'un carré est incommensurable par rapport au côté
pris pour unité : elle est représentée par le symbole \f^. De même la circonférence d'un cercle est incommensurable
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par rapport aiî diamètre pris pour unilc; mais le nombre incommensurable qui mesure la circonférence ne peut, comme le précédent, ôtre oblenu par des extractions de racines; on le désigne par la lettre w.
Calcul des nombres incommeiisorables*
226. Le calcul des nombres incommensurables n'offre aucune difficulté. Les nombres incommensurables n'étant aulrc chose que des nombres factionnaires approchés, il est clair que les opérations portent sur ces nombres fractionnaires; le résultat sera lui-môme un nombre fractionnaire approché, qui représentera, avec une erreur très-pelite, une grandeur déterminée, en général incommensurable.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'additionner deux nombres incommensurables. Si Ton prend les deux nombres par défaut, puis par excès, on a une première somme plus petiîe que la seconde; d'ailleurs ces deux sommes diffèrent enlic elles aussi peu qu'on veut; donc elles comprennent une grandeur déterminée qu'elles représentent avec une approximalion indéfinie. Cette grandeur est la somme des deux grandeurs incommensurables représentées par les nombres incommensurables proposés.
- II en est de môme de la soustraction : si Ton prend le plus grand nombre par défaut, le second par excès, ou réciproquement, le premier par excès, le second par défaut, on a une première différence plus petite que la seconde, et ces deux diftérences diffèrent entre elles d'une quantité aussi petile qu'on veut ; donc elles comprennent une grandeur qu'elles représentent avec une approximation indélinie. Celte gran- ' deur est la différence des grandeurs incommensurables que représentent les deux nombres incommensurables proposés.
