CALCUL DES RADICAUX
VULTIPMCATION.
227. Soit à faire le produit de deux nombres incommensurables, par exemple sjl x y/b". Si Ton prend les deux nombres par défauf, puis par excès, on a un premier produit plus petit que le second ; d'ailleurs ces deux produits diffèrent enirc eux d'une quantité aussi pelile qu on veut ; donc ils comprennent une grandeur qu'ils représentent avec une approximation indéfinie.
11 est clair que le produit de plusieurs nombres incommensurables ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs ; car le produit des nombres fractionnaires approchés ne change pas. Ce théorème fondamental étendu aux nombres incommensurables, toutes ses conséquences le sont par là môme; ainsi on peut grouper deux facteurs en un seul, décomposer au contraire un facteur en deux, etc.
DIVISION
Si Ton prend le dividende par défaut, le diviseur par excès, ou réciproquement, le dividende par excès, le diviseur par défaut, le premier quotient sera plus petit que le second, et comme leur différence est très-petite," ils comprennent entre eux une grandeur déterminée qu'ils représentent avec une approximation indéfinie.
Calcul des radicaux*
228. On appelle en général racine ?i* d'un nombre «, un nombre commensurable ou incommensurable qui, élevé à' la H* puissance, reproduise le nombre proposé: On la désigne
par le symbole )/ a. Le nombre n est l'indice du radical. On es:t convenu de ne pas écrire l'indice quand il s'agit d'une racine carrée : dans ce cas, on sous-entend l'indice 2.
Avant d'aborder le calcul des radicaux, nous allons poser quelques lemmcs sur les puissances ; i, ,
2IG LIVRE IV. - ClIAPITUr: llï.
Lesime I. On élève un produit à une certaiiie puissance en élev:Mt chaque facteur séparément à cette puissance. En effet,
{abcY = abc >cahcxabcx = a^K*".
Lemme II. On élève une fraction à une certaine puissance en élevant les deux termes séparément à cette puissance. En effet,
Lemme III. Élever un nombre à deux puissances sitccessives revient à V élever à une puissance ayant pour exposant le produit des exposants.
En effet,
Venons maintenant au calcul des radicaux.
229. Théorème I. Le produit de plusieurs radicaux de même indice égale la racine du produit des quantités placées sous les rxidicaux.
Je dis, par exemple, que
V^ V^ V^ =\abc.
Car si Ton élève le premier membre à la n* puissance, ce qu'on fait en élevant chaque facteur à celte puissaTice, on reproduit la quantité abc ; donc ce premier membre est la racine n* de abc.
Remarque. Le produit de deux nombres incommcnsui*ablcs est en général un nombre incommensurable. Cependant il orrive quelquefois que ce produit est commensurable; ainsi on a
le produit des deux nombres incommensurables ylS et \l 5 diffère du nombre 6 aussi peu qu'on veut.
^ - -UttVl DES RADICAUX. 217
TiiÊooÊuE II. Le quoiimt de deux radicaux de même indice éijale la racine du quotient de deux quantités placées sous les radicaux.
Je dis que
Car si Ton élève le premier membre à la n' puissance, ce qu'on fait en élevant séparément le numérateur cl le dénominaleur,
on reproduit la fraction r-
230. Théorème III, On élève un radical à vue certaine puissance en élevant à cette puissance la quantité placée sous le radical.
On a, en effet, en vertu du théorème I,
/n'^\m . nr~ n~~ n— « "T*
\y!a ) =^\la» \a* \a = \ ^ •
Théorème IV. On extrait la racine d'un radical en multipliant Vindice du radical par rindice de la racine que Von veut extraire.
Je dis que
En effet, si Ton élève le premier membre à la puissance m,
on trouve v'«; si Ion élève ensuite ce résultat à la puissance n, on obtient a; mais ceci revient à élever le premier membre ù la puissance mn. Ainsi, le premier membre est une quanlilé qui, élevée à la puissance mn^ reproduit a; c'est donc la racine win'de a.
231. Théorème Y. On ne change pas la valeur (Fun radical fj::aud on multiplie ou quand on divise par un même nond)re
21S LIVRE IV. — CHAPITRE m.
l'indice du radical et lexposant de la quantité placée sous le radical.
Soit le radical
Je dis qu'en multipliant par un même nombre entier p Tindice n et l'exposant m, on obtient un second radical
égal au premier. En effet, d'après le théorème précédeni, le second radical peut s'écrire
\/fl Mais
donc
CoROLumE I. On simplifie un radical en divisant Tindice et Texposant par leur plus grand commun diviseur. Ainsi
Va*^ = y/a\
ConoLLAiRE II. On réduit plusieurs radicaux au même indice en prenant pour indice commun le produit des indices, ou simplement leur plus petit multiple. Cette réduction est nécessaire quand on veut multiplier ou diviser deux radicaux d'indices différents. Aiusi
^ a X V^ = V« X v^'" = \a''ir.
4— er- 11— urr- ""777"
\ax\b:= s'a^x \b^ = \a''l\
232. Théorème YI. On obtient la racine quatrième de là plus grande puissance quatrième contenue dans un nombre e$Uier donnée en extrayant la racine carrée du plus grand cane con*
