CHAPITRE PREMIER
DEFlKlTIOUf.
233. On appelle rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui exprime combien de fois la première contient la seconde et combien de parties de la seconde.
En d'autres termes, le rapport de deux grandeurs de même espèce est la mesure de la première quand on prend la seconde pour unité.
Par exemple, si la première grandeur contient trois fuis la seconde exaclement, le rapport est le nombre entier 3.
Si la première grandeur contient trois fuis la cinquième partie de la seconde, le rapport est la fraction |.
Si la première grandeur contient quatre fois la seconde, plus trois fois la cinquième partie de la seconde, le rapport est le nombre fractionnaire 4-h|.
234. Lorsque deux grandeurs ont été mesurées au moyen dune même unité, le rapport de ces deux grandeurs est égal au quotient des deux nombres qui les mesurent.
Mous pouvons remarquer en effet que le quotient indique
'222 LIVRE V. - CflAPlTRE I.
combien de fois le dividende contient le diviseur et contbicn de parlies du diviseur. Supposons d'abord que le quolicnt soit un nombre entier 3 ; le diviseur multiplié par 3, ou répété trois fois, donne ledividende; donc le dividende contient trois fois le diviseur, et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est le quotient 3.
Supposons maintenant que le quotient soit une fraction |. Le dividende est toujours égal au produit du diviseur par le quotient. Or, multiplier le diviseur par la fraction |^ c'est répéter trois fois la cinquième partie du diviseur; donc le dividende contient trois fois la cinquième partie du diviseur, et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est le quotient |.
De même, si le quotient est un nombre fractionnaire 4h- |, le dividende, qui est égal au produit du diviseur par le quotient, contient quatre fois le diviseur plus trois fois la cinquième partie du diviseur : le rapport est 4-+-|.
Ainsi, d'une manière générale, le quotient exprime le raj^ port de la quantité dividende h la quantité diviseur. C'est pourquoi l'on a adopté le signe de la division, le trait horizontal, pour indiquer le rapport de deux quantités. On écrit Qu-dessus la première quantité, ou le numérateur^ au-dessous la seconde quantité, ou le dénominateur* Par exemple, le rapport du nombre 5 au nombre 7 s'écrira | ; le rapport de ^ à
J s'écrira jf ; le rapport de 5^-132-^1 s'écrira ôiri-
Le rapport de deux nombres fractionnaires peut toujours être ramené à celui de deux nombres entiers. Soit le rapport de 5-hf à 2-+*f, ou de ^ à~; si l'on réduit ces deux fractions au même dénominateur, on a le rapport de 69 douzièmes à 26 douxièmes; mais ce rapport est évidemment égal à celui des nombres entiers 69 et 26. De cette manière,
le rapport proposé ^—-j se met sous la forme d'une fraction
ordinaire ~ *
tJne fraction ordinaire exprime le rapport de deux nombres
cnlicrs, le rapport de son numérateur à son dénominateur. Il est aisé de voir que les propriétés fondamenlales des fractions ordinaires s*étendent aux rapports en général
PROPRIETES DES RAPPORTS.
235. Théorème I. La valeur d'un rapport ne chanye pas quand on imiltipUe ou quand on divise les deux termes du rapport far un même nombre»
Désignons par q la valeur du rapport 7. Puisque le dividende a est égal au produit du diviseur b par le quotient 7, on a
a = b'Xq.
Si Ton multiplie par le mémo nombre c ces deux nombres égaux, on obient deux produits égaux
aXc=:bXqXc=:bXcXq.
On en déduit
axe bx'c^'^'
et, par suite,
axe a
bxc'^b"
Ainsi, la valeur du rapport ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre.
Réciproquement, quand on divise par un même nombre c
les deux termes d'un rappori r » on obtient un rapport égal
car si l'on multiplie par c les deux termes de ce dernier rapport, ce qui ne change pas sa valeur, on reproduit le rapport
propose ri
224 LIVRE V. - CHAflTRE I.
236. Théorème ll.Chi effectue le produit de deux rapports en les multipliant teime à terme.
Soient les deux rapports ry p, dont nous désignerons les
valeurs par 9 et 9' ; on a
a z=bxq,
Si 1 on multiplie respectivement Tune par Tautre ces quantités égales, on a les produits égaux
ùXa'=:bXqxVXi( = hxVXqXq'\ d'où Ton déduit
Ainsi
ffXa^ a (i
bxU'^b^V
ConoLLAniE. On appelle rapports inverses deux rapports formés des mêmes termes, mais disposés en ordre inverse. Ainsi
les deux rapports r> - sont inverses Tun de Taulre. Le produit de deux rapports inverses est égal à Tunité ; car on a
a b^ axh __.
b'^â'"bxa'^^'
237. Théorème III. On divise un rai)port par un autre en multipliant le rapport dividende par le rapport diviseur renversé.
Soit 5 diviser le rapport r par le rapport -. Je dis qno
Ton a
b a d axd
7 '~'b^c~~ bXc
(l ^xl cl c
En effet, si Ton mulliplie le quotient 7- — par le diviseur -^,
r — ; . C esla-dire le dividenae 7<
bxdxc b
on oblient ,^ , . c'est-à-dire le dividende t- {
238. THÉORÈME IV. On élève un rapport à une certaine puissance en élevant chaque terme à cette puissance.
Proposons-nous d'élever au carré le rapport r; on a, d après
le théorème II,
/aV a a axa a^
\b) '~'b^b'^bxb'~'b''
Ainsi
(ay a^ [b) -b^
On a de môme
/fl\' /a\* a fl' a a'.
et ainsi de suite.
239. Thêohèhe V. Réciproquement, on extrait la racine d'un rapport en extrayant la racine île chaque terme.
On a
, Car on élève au carré le second rapport en élevant chaque terme au carré, ce qui donne ^ .
Il en est de môme pour une racine d'ordre quelconque.
Proportions.
