CoiioLLAinE II. On appelle moyenne proportionvelle

entre deux nombres donnés un nombre qui occupe les deux places moyennes dans une proportion dont les deu^ nombres donnés sont les eictrémes. Si îon désigne par x la moyenne proportionnelle entre leç deux nombres donnés 18 et 8, on a. la proportion

le produit des moyens xxx ou x* égale le produit d«s extrêmes 18x8; donc

Ainsi la moyenne proportionnelle eixire deux nombres donnés éijale la racine carrée du produit de ces deux nombres.

245. TuiiORÈME VIII. Étant donnés quatre nombres en propcrtiouy en peut les disposer de huit manières différentes.

Soit la proportion

Si Ton change Tordre des termes de manière que le produit des cxtiémes reste toujours égal au produit des moyens, il est évident, d'après le théorème Yll, que la proportion subsiste. Je change d'abord les moyens de place,

puis les extrêmes,

I uis à la fois les moyens et les extrêmes,

Si maintenant on permute les deux membres de chacune

RAPPORTS. 22i>

des égaHlés précédentes, on peut les écrire de la m' lière sui- \anle:

24d. Théorème IS. Dam une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un rapport égal aux premiers.

Soient les trois rapports égaux

Je dis que la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un nouveau rapport

égal à chacun d^s rapports proposés. En etîel, chacun des rapports proposés est égal à la fraction |, ce qui signifie que le numérateur 9 du premier rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 15 ; que de même le numérateur 12 du second rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 20, et que le numérateur 21 du troisième rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 55.

Or, imaginons que Ton veuille prendre les trois cinquièmes de la somme

des trois dénominateurs ; il est clair que Ton obtient les troi^^ cinquièmes de la somme de plusieurs quantités en prenant te&

960 LIVRE V. .- CIlAriTRE ï.

trois cînquièrties dé chacune d'elles ; mais les trois cinquièmes de chaque dénominateur, c'est le numérateur correspondanl ; on aura donc la somme des numérateurs

Ainsi la somme des numérateurs 9-1-12-1-21 est égale aux trois cinquièmes de la somme des dénominateurs 15-i-20-|-35; donc le rapport

est égal à la fraction -J, comme chacun des rapports proposés.

247. CôROLLAuiE I. Dans une sidte de rapports égaux, 5t, après OËOir mulliplié le$ deux termes de chaque rapport par un même nombre, on fait la somme des numérateurs et la somme des dénominateurs, on obtient un nouveau rapport égal à chacun des rapports proposés.

Soient les trois rapports égaux

On ne change pas la valeur d'un rapport en mullipliant ses deux termes par un môme nombre. Si Ton multiplie par 3 les deux termes du premier rapport, par 5 ceux du second et par 2 ceux du troisième, on a encore des rapports égaux

Si maintenant on fait la somme des numérateurs et celle des dénominateurs, on obtient un nouveau rapport

égal à cliacun des derniers rapports, et par conséquent à chacun des rapports proposés.

248. CoROLLAiRR II. Duns Une suite de rapports égaux, la ra* cive carrée de la somme des carrés des numikateurs et la racine

carrée de la somme des carrés des dénominateurs forment un rapport égal à chacun des rapports proposés.

En effet, les carrés des rapporis ('gaux

A — 1^ — ?i sont des rapports égaux

Si Ton applique le théorème à ces derniers rapports, on forme un rapport

égal à chacun d'eux; en extrayant la racine carrée, on a un rapport

égal à chacun des rapporis proposes.

y CHAPITRE II

249. Dans la plupart des questions de mathématiques, on a h considérer deux quantités qui dépendent Tune de Tautre. ' Si, quand Tune devient un certain nombre de fois plus grande, Taulre devient le mémo nombre de fois plus grande, on dit que ces deux quantités varient dans le même rapport ou sont proportionnelles.

Par exemple, le prix d'une certaine quantité do blé dépend de la quantité que Ton achète. Si Ton achète une quantité deux fois plus grande, la somme à payer deviendra deux fois plus grande. Si Ton achète une quantité trois fois plus grande, la somme a payer deviendra trois fois plus grande. En général, la quantité de blé et la valeur varient dans le même rapport, ce qu'on exprime en disant que la valeur est proportionnelle à la quantité.

Considérons une locomotive en mouvement uniforme, c'cslàhdire parcourant le même espace dans le même temps ; dans ce cas, on appelle vitesse le nombre de mètres parcourus en une seconde. L'espace parcouru par la locomotive dépend évidemment du temps que Ton considère ; dans un temps deux fois plus grand, elle parcourra un espace deux fois plus grand ; dans un temps trois fois plus grand, un espace trois fois plus grand ; Tespace parcouru et le temps varient donc dans le môme rapport ; en d'autres termes, l'espace parcouru est proportionnel au temps.