Quelquefois, quand Tune des quantités devient un

Certain nombre de fois plus grande, Taulrc devient le même ^Iombre de fois plus peliie. Dans ce cas, on dit que les deux quantités varient dans un rapport inverse ou sont inversement proportionnelles.

Par exemple, la qualité de blé que l'on peut acheter avçc une somme déterminée dépend du prix de la mesure de blé. bi la mesure coûte deux fois plus, avec la même somme d'argent on ne pourra acheter qu'une quantité deux fois plus petite. Si la mesure coûte trois fois plus, on ne pourra acheter qu'une quantité trois fois plus petite. Ainsi, la quantité de blé que Ion peut acheter avec une même somme d'argent et le prix de la mesure varient dans un rapport inverse.

Considérons le temps employé par une lomotive marchant uniformément pour aller d'une station à une autre. Ce temps dépend delà vitesse de la locomotive : si la locomotive marche avec une vitesse deux fois plus grande, elle mettra, pour parcourir la même distance, un temps deux fois plus petit; si clic marche avec une vitesse trois fois plus grande, elle mettra un temps trois fois plus petit. Ainsi, le temps que met la locomotive à parcourir une certaine dislance et la vitesse varient dans un rapport inverse.

251. Souvent une quantité dépend à la fois de plusieurs aulres. Par exemple, le poids d'une plaque de fer, d'une certaine épaisseur, dépend de la longueur et de la largeur de la plaque. Si la longueur devient deux fois plus grande, la largeur restant la même, le poids devient deux fois plus grand. De même, si la largeur devient deux fois plus grande, la longueur restant la même, le poids devient aussi deux fois plus grand. Ainsi le poids varie dans le même rapport que la lon- ^•ueur et la largeur. Le poids de la plaque dépend aussi de son épaisseur ; quand l'épaisseur est deux fois jplus grande, la longueur et la largeur restant les mêmes, le poids devient doux fois plus grand. On dira donc que le poids d'une plaque de fer est proportionnel à sa longueur, a sa largeur et à son épaisseur.

La longueur que l'on peut recouvrir sur une route dépend

delà quantité de pierres dont on dispose et de Icpaisseur de la couche que Ton veut former* Avec une quantité de pierres double, l'épaisseur restant la même, on peut recouvrir une longueur double. Mais si Ton donne à la couche une épaisseur deux fois plus grande, la même quantité de pierres ne pourra recouvrir qu'une longueur moitié moindre. Ainsi, la longueur recouverte varie dans le même rapport que la quantité de pierres et dans le rapport inverse de l'épaisseur de la couche.

Nous avons déjà résolu (liv. III, chap. VI) par une méthode très-simple, dite de réduction à runitéy un grand nombre de questions dans lesquelles il entre des quantités qui sont dans le môme rapport ou dans un rapport inverse. Nous allons reprendre quelques exemples; les remarques que nous ferons sur ces exemples nous conduiront à une règle générale pour toutes les questions de cette espèce.

Pr.oBLÈME I. 6 hectolitres de blé ont coûté 150 francs. Combien coûteront 10 hectolitres?

AoM avons dit: puisque'^ hectolitres coûtent 150 francs, un hectolitre

coûte six fois moins, soit -j- ou 25 francs; 10 hectolitres coûteront dix faU

plus qv) un hectolitre, soit 25x10 ou 250 ftams, et nous avons écrit le rai-' sonnement de la manière suivante :

6 hectolitres coûtent. . 150 /»•.

Datée cette question, on a à considérer la quatUité de blé et le prix, Jx prix varie dans le même rapport que la quantité. On connaît le prix de G hectolitres et on demande celui de 10 hectolitres. Nous remarquotu que pour trouver le prix de la seconde quantité, il suffit de multiplier le prix de la

première quantité, 150 francs, par le rapport -^ de la seconde quantité à la

première.

PfiOBLÈME IL Une locomotive, marchant uniformément, par-

court 5000 mètres en 5 minutes. Quelle distance parcourt-ellc

en 7 minutes?

îious avons dit : En 5 minutes la locomotive parcourt 3000 métrés; en 1

minute, elle parcourt une distance cinq fuie plue petite, toit —- ou 000

mèires. En 1 minutes, elle parcourt une distancé sept fois plus grande • qu'en une minute, soit 000x7 ou 4200 mètres, et nous avons écrit

En 5 minutes, la distance parcourue est 3000 mètres

Enl "5^»

Enl — 5 — .~4200«.

Dans cette seconde question, on a à considérer deux sortes de quantités, le temps et le chemin parcouru, la distance parcourue et le temps varient dans le même rapport. Nous rémarquons que Von obtient la distance cherchée en

multipliant la distance connue 3000 mètres par le rapport - du second temps

au premier.

Problème III. Avec une certaine somme d'argent, on a acheté 1200 hectolitres de blé, le prix de rtiectolitre étant à 9 francs. Quelle quantité de blé pourra t-on acheter avec la môme somme, le prix de Thectolitre s*étant élevé à 11 francs?

Quand l'hectolitre coûte 9 francs, on a acheté 4200 hectolitres de blé cour

une certaine somme d'argent. Si Vhectolitre ne coûtait que 1 franc, on aurait

une quantité de blé neuf fois plus grande pour la même somme, soit 1200x0 A.

Uais Vhectolitre coûtant 11 francs, on en aura une quantité onze fols plus

1200x0 petite, soit — j-* — =^81^,8, à un dixième près.

Dans cette question on a à considérer deux sortes de quantités : le prix de

Vhectolitre, et la quantité de blé que Von peut acheter avec une même somme

d'argent. iJi quantité et le prix de Vhectolitre varient dans un rapport t>{-

verse. Nous remarquons que Von obtient la quantité de blé cherchée en mul-

tipliant la quantité cornue 1200 h. par le rapport — de V ancien prix au

nouveau.

Pboblème IV. Une locomotive qui se meut uniformément avec une vitesse de 10 mètres par seconde a mis vingt minutes pour aller d une ville à une autre. Quel temps mettra-t-elle a

parcourir la m^rae dislance si elle marche avec une viicssc (le 1 5 mèlres par seconde? ,

La locomotive^ marchant avec une vitesse de 10 mètres par seconde,'' a mis

20 m'nuies pour aller d'une ville à l'autre. Si elle marchait avec une vitesse

de 1 métré par seconde, elle mettrait un temps dix fois plus grand, soit 20x10

minutes. Marchant avec une vitesse de\^ mètres, elle mettra un temps 13 fois

20x10 plus petit, soit — 7= — minutes, ou 15",23«.

Dans cette question, on a à considérer la vitesse de la locomotive et le temys

qu'elle met à parcourir une même distance. Ces deux quantités varient dans un

rapport inverse. On obtient le temps chercM en multipliant le temps connut

20 minutes, par le rapport r= de l'ancienne vitesse à la nouvelle.

252. Ce qui précède nous permet de formuler une règle générale pour résoudre immédiatement toutes les questions dans lesquelles on n'a à considérer que des quantités qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse. La question peut être posée en ces termes : Une quantité dépend duno autre; on connaît la valeur de la première, qui correspond h une certaine valeur de la seconde; celle-ci change et prend une autre valeur. Que devient la première quantilé ?

Il y a deux cas à distinguer : si les deux quantités varient dans le même rapport, on multiplie la valeur connue de la première quantilé par le rapport des deux valeurs de la seconde, rapport de la nouvelle valeur à Tancienne, et Ton aura ainsi la nouvelle valeur de la première quantité. Si les deux quantités varient dans un rapport inverse, on multipliera encore la valeur connue delà première quantilé par le rapport des deux valeurs de la seconde, mais on prendra le rapport en ordre inverse, c'est-à-dire de Tancienne valeur à la nouvelle.

Ainsi, dans le problème II, Tespace parcouru par la locomotive et le temps varient dans le même rapport; pour avoir le nouvel espace, on a multiplié l'espace connu 5000" par le rapport \ des temps, rapport du nouveau 7 à l'ancien 5.

Dans le problème IV, le temps mis par une locomotive à parcourir une certaine distance et la vitesse varient dans un rapport inverse. Pour avoir le temps cherché^ on a multiplié

PROBLËMES. 237

le temps connu, 20 minutes, parle rapport || de rancicnne vitesse 10 à la nouvelle 15.

Nous allons appliquer celte règle à des exemples plus cornpliqués.

Problème V. Une plaque de fer de i^^^Q de longueur sur 0'",45.de largeur, pèse 100 kilogrammes. Combien pèsera une plaque de fbr de même épaisseur, mais ayant 1"',70 de Ion* gueur sur 0",65 de largeur?

1^ poids de la plaque dépend à la fois de sa longueur et àe sa largeur.

Faisons d'abord varier sa longueur et cherchons ce que fêse une plaque de

1*,70 de longueur sur p",43 de largeur, La largeur restant la même, le poids

varie dans le même rapport que la longueur. Il faudra donc multiplier le poids

1 70 connu 100 k,, par le rapport r^ de la nouvelle longueur à l'ancienne, ce

qui donne

iOOXfl^ij.

Faisons maintenant varier sa largeur et cherchons ce que pèse une plaque

de i"*, 10 de longueur sur 0",65 de largetir. ïm lontjueur restant la même, le

poids varie dans le même rapport que la largeur ; il faudra donc multiplier le

0G5 poids précédent par le rapport -t-t;. de la nouvelle largeur à l'ancienne, ce

qui donne} our le poids cherché '

Problême VI. Une plaque de fer de l'^jSO de longueur sur 0'",43 de largeur et O^jOSS d'épaisseur, pèse 100 kilogrammes. Combien pèsera uncplaque de fer de 1°,70 de longueur, sur 0",65 de largeur et 0",018 d'épaisseur? . .

• î^ poids de la plaque dépend de là longueur, de la largeur et de V épaisseur, et il varie dans le même rapporl que chacune de ces. trois quantités. Il faudra donc multiplier le p9idf connu par le rapport des longueurs, par celui ,des largeurs et par celui des épaisseurs, en prenant chaque rapport dans tordre direct, c'est-d-dire de la nouvelle valeur à Vancienne. On aura ainsi pour le *^ids cherché

258 LIVRE V. - CHAPITRK II.

Pkoblême vif. Avec 150 mùlres cubes de pierres, on a recouvert sur une route une longueur de 240 raèlres, en donnant à la couche de pieires une épaisseur de 0"*,i5. Quelle longueur pourra-1-on recouvrir avec 300 uièires cubes de pierres, mais en donnant à la couche une épaisseur deO'%20? , ^ ^

la longueur que Von peut recouvrir varie dans le même rapport que la quaU" tl4é de pierres, mais dans un rapport inverse avec Vépaisseur de la couche. H faudra donc multiplier la longueur connue 240 mètres, par le rapport de la nouvelle quantité de pierres à l'ancienne, et par le rapport de l'ancienne épaigsair à la nouvelle. On trouve ainsi pour la longueur cherchée

240 X j5^ X j~jj = 300 mètres.

253. 11 faut examiner avec beaucoup de soin si les quantités de différentes sortes qui entrent dans la question varient bien dans le même rapport ou en rapport inverse. Soit, par exemple, la question suivante : Une pierre en tombant pendant trois secondes parcourt 44Hiètre9. Quel espaee pat com la* t-elle en tombant pendant 5 secondes? L'expérience démontre que, dans la chute des corps, l'espace parcouru en 2 secondes est 4 fois plus grand que l'espace parcouru dans la premièrq seconde ; que Tespace parcouru en trois secondes est fois plus grand ; en un mot, que l'espace parcouru ne varie pas comme le temps, mais comme le carré du temps. Pour résoudre la question proposée, on multipliera donc Tespace donne, 44 mètres, non par le rapport | des temps, mais par le carre de ce rapport, ce qui fait 44x^=122 mètres.

Proposons-nous encore la qiTeslion suivante : Le soleil , 5 heures ©près son lever, est à 20 degrés au-dessus de ThoriîEon. A quelle hauteur sera-t-il 5 heures après son lever? La hauteur du soleil au dessus de l'horizon ne croit pas dans le rapport du temps, puisqu'après s'être élevé jusqu'à midi il s'abaisse ensuite du côté de l'ouest. Le calcul est beaucoup plus compliqué.

Les questions d'intérêt se rapportent aux quantités propor* tionnelles; car, d'une part, le revenu est proportionnel au

capital; d'aulre part, lorsqu'on prend l'intcrôt simple, le le venu est proportionnel à la durée du placement.