CHAPITRE III

PBOGBBSSIONS ABITHJHÉTIQUES

25S. DÉir'4NrnoN. On appelle progression arithmétique une suite de nombres tels que la différence entre deux nombres consécutifs est constante. Celle différence se nomme raison de la progression.

La progression est croissarUej lorsque les nombres qui la composent vont en croissant. Dans ce cas, chaque terme est égal au précédent augmenté de la raison.

Au contraire, la progression est décroissante ^ lorsque les nombres qui la composent vont en décroissant. Dans ce cas, chaque terme est égal au précédent diminué de la raison.

Voici deux progressions arithmétrques

Tune croisssante, l'autre décroissante, dont la raison est 5.

286. Théorème I. Dans une progression arithmétique^ un terme de rang quelconque égale le premier terme augmenté ou diminué de la ra^ison répétée autant de fois quHl y a de termes avant lui.

Soit d'abord une progression arithmétique croissante

42.5.8M1.14»17.20* Le secotid terme égale le premier plus la raison^

Le troisième terme égale le second plus la raison, et par con* dëquent le premier plus deux fois la raison^

PROGRESSIONS ARlTlUifiTfQDES. S43

Le quatrième terme égale le troisième plus la raison, et par conséquent le premier plus trois fois la raison ,

et ainsi de suite.

Soit maintenant une progression arithmétique décroissante

Le second terme 17 égale le premier 20 moins la raison 3,

Le troisième terme i4 égale le second moins la raison, c'està-dire le premier moins deux fois la raison,

Le quatrième terme 11 égale le troisième moins la raison, c'est-à-dire le premier moins trois fois la raison,

il=::i4 — 5 = 20— 5 — 3— 3 = 20-5x3,

et ainsi de suite. ' '

2S7. Il^SÉREH ENTRE DEUX KOlfBRES DONNÉS UN CERTAIN NOMBRE DE

MOYENS ARITHMÉTIQUES. On appelle moyens arithmétiques, insé* rés entre deux nombres donnés, des nombres qui forment une progression arithmétique dont les deux nombres donnés soit les deux extrêmes. La question revient évidemment à trouver la raison de la progression.

Soit à insérer cinq moyens arithmétiques entre les deux nombres 2 et 20. On sait que le dernier terme de la progrès-^ sion 20 égale le premier 2, plus la raison répétée autant de fois qu'il y a de termes avant lui ; or le nombre des termes qui précèdent le dernier terme, c'est le nombre des moyens à insérer plus un ; donc le dernier terme égale le premier plus six fois la raison. Si du dernier terme on retranche lô premier, la différence 18 égale six fois la raison ; en divisant cette différence par 6, on a la raison elle-même 5. Ainsi :

Règle* Pour trouver la raison de la progression^ prenez là

différence des deux nombres donnés^ et divisez cette différence j}ar le nombre des moyens à insérer plus nn.

Une fois qu'on connaît la raison de la progression, il est facile de former les moyens demandés : en ajoutant la raison au plus petit des deux nombres donnés, on forme le premier moyen ; en l'ajoutant à ce premier moyen on forme le second moyen, et ainsi de suite. On a donc la progression

258. Théorème II. Si, entre deux termes consécutifs d^une progression arilhmétiqucj on insère un mime nombre de moyetis arithmétiques y les progressions partielles ainsi formées composent une seule et même progression.

En effet, puisqu'on insère le même nombre de moyens entre deux termes consécutifs de la progression et que la difTérence de ces deux termes est constante, la raison est la même dans toutes les progressions partielles; d*autrc part, comme le dernier terme de chaque progression partielle est le premier de la progression suivante, ces progressions partielles se continuent de manière à ne former qu'une seule et même progression.

259. Théorème III. Dans toute progression arithmétique y la somme de deux termes également éloignés des extrémités est constante et égale à la somme des extrêmes.

Soit la progression

Je considère le second terme et ravant-dernier. Le second terme 5 égale le premier plus la raison ; Tavant-dernier terme 23 égale le dernier moins la raison : donc la somme 5 H- 23 égale la somme des extrêmes 2 •+• 26.

Je suppiîme les deux extrêmes 2 et 26 ; il reste une progression qui commence à 5 et qui finit à 23. Si l'on repèle sur celte progression le même raisonnement, on en conclut que la somme 8-f-20 égale 5 -h 23, et par conséquent la somme des extrêmes 2+26. Et ainsi de suite.