PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES

Kebiarque. La progression précédente renfenn^ un nombre impair de termes; il y a au milieu un terme 14 également distant des deux extrémités. Quand on a supprimé progressivement d'un côté et de Tautre un nombre suftisant de termes, arrive à la progression

Le terme 14 égale, d'une part 11 plus la raison, d*autre part 1 7 moins la raison ; donc deux fois 1 4 égale la somme 11+17 et par conséquent la somme des extrêmes 2+26. Ainsi, quand la progression renferme un nombre impair de termes^ deux fois le terme du milieu égale la somine des extrêmes.

260. Théodème IV. La somme des termes d^une progression arithmétique égale la moitié du produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes.

J'écris la progression proposée au-dessous d'elle-même en sens inverse

je remarque que les deux termes qui se correspondent dans ces deux progressions sont des termes également dislants des extrémités dans la première progression, et que par conséquent leur somme est constante et égale à la somme des extrêmes 2+26 ; si donc on additionne les deux progressions terme à terme, la somme totale se composera de la somme des extrêmes 2+26, répétée autant de fois qu'il y a de termes dans la progression proposée. Mais cette somme est le double de celle qu'on cherche. Donc la somme des termes de la progression égale la moitié du produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes.

261. Remarque. Il est bon de représenter par des formules les principales propriétés des progressions. Si Ton appelle a, b, e,.... h, kj I, les termes successifs d'une progression arithmétique croissante

T*v. U , Cl» il • IC » If

n le nombre des termes, r la raison, s la somme des termes,

on a

5 = .i TT •

Applications. 1® Les nombres entiers consécutifs forment une progression arithmétique croissante dont la liaison est Tunité. La somme des n premiers- nombres entiers est