PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES

progression géométrique on insère un même nombre de moyens géométriques y les progressions partielles ainsi obtenues composent une seule et même pi^ogi^ession.

En effet, puisqu'on insère le même nombre de moyens entre deux termes consécutifs de la progression, et que le quotient de ces deux termes est constant, la raison sera la même dans toutes les progressions partielles. D'autre part, comme le dernier terme de chaque progression partielle est le premier de la progression suivante, ces progressions partielles se continuent de manière à ne former qu'une seule et même progression.

266. Théorème III. Dans toute progression géométrique^ le produit de deux termes également distants des extrémités est constant et égal au produit des extrêmes.

Soil la progression

Je considère le second terme et Tavant-dernier. Le second terme 6 égale le premier multiplié par la raison, Tavant-dernier terme 4374 égale le dernier divisé par la raison ; donc le produit 6 X 4374 égale le produit des extrêmes 2 x 1 3122.

Je supprime les deux extrêmes 2 et 13122, il reste une progression qui commence à 6 et finit à 4374. Si Ton répète sur cette progression le même raisonnement, on en conclut que le produit 18x1458 égale le produit 6x4374, et par conséquent le produit des extrêmes 2x13122, et ainsi de suite.

Remarque. La progression précédente renferme un nombre impair de termes; il y a au milieu un terme 162 également distant des deux extrémités. Quand on a supprimé progressivement d'un côté et de l'autre un nombre suffisant de termes, on arrive à la progression

Le terme 162 égale, d'une part 54 multiplié par la raison, d'autre part 486 divisé parla raison ; donc le carré de 162 égale le produit 54x486, et par conséquent le produit des extrêmes

2x13122. Ainsi, quand la progression renferme un nombre impair de te^mes^ le carré du terme du milieu est égal au produit des eiKtrêmes.

2B1. Théorème IV. On obtient le produit des teimes d^une progression géométrique en faisant le produit des extrêmes^ élevant ce produit à une puissance ifiarquée par le nombre des termes^ et extrayant la racine carrée du résultat.

J'écris la progression proposée au-dessous d'elle-même, en sens inverse,

Je remarque que les deux termes qui se correspondent dans cas deux progressions sonl des termes également distants des extrêmes dans la première progession, et que par conséquent leur produit est constant et égal au produit des extrêmes. 2x13122. Si donc on fait le produit de tous les termes des deux progressions, considérés comme autant de facteurs, on aura autant de facteurs, égaux chacun au produit des extrêmes, qu'il y a de termes dans la progression ; il y a neuf termes ; le produit final sera donc la neuvième puissance du produit des extrêmes. Mais, puisqu'on a pris chaque terme deux fois comme facteur, ce produit est égal au carré du produit des termes de la progression proposée ; on aura donc le produit demandé en extrayant la racine carrée du résultat.

268. Remarque. Si Ton appelle a, &, c, h, fc, /, les fermes-successifs d'une progression géométrique

r la raison, n le nombre des termes, P le produit des fermes, on a les formules

Si dans l'expression du produit on remplace le dernier terme / par sa valeur, on trouve

P = ^/(fl«xr"-')* = v^fl*» f*^""^* =a*Xr »,

PROGRESSIOPS GÉOMÉTRIQUES. Sbf

On demande, par exemple, le produit des sept premiers termes de la progression géométrique dont le premier terme est 5 et la raison 2.

En appliquant la seconde formule, on trouve

P=5'x2" = 2'*XiO'=:165840000000.

269. Théorème V. On obtient la somme des termes d^une progression géométrique croissante^ en multipliant le dernier terme par la raison^ retranchant le premier terme^ et divisant la différence par la raison diminuée d^une unité.

Soit la progression géométrique croissante

^6:18:54:162:486:1458, J^appelle S la somme des termes

S=6 + 184-54-hl62H-4864-1458.

Je multiplie par la raison 5 tous les termes et par conséquent la somme elle-même, en observant que le produit d'un terme par la raison égale le terme suivant ; j'ai ainsi

Sx3 = 18-4- 54 ■4-162-4-4864-14584:1458x3.

De cette seconde somme je retranche la première ; tous les termes de la première somme se retranchent, excepté le premier; j'ai donc

Sx3-S = 1458x3 — 6.

De trois fois la somme cherchée, j'ai retranché celle somme elle-même ; la différence égale deux fois cette somme| c'est-àdire le produit de la somme S par la raison diminuée d*une unité. J'obtiendrai donc la somme cherchée S en divisant la différence par la raison diminuée d'une unité ; ainsi

270. Théobème YI. On obtient la somme des termes d'une progression géométrique décroissante^ en retranchant du pre-

252 LIVRE V. - CHAWTRE IV.

mier terme le dernier multiplie par la raison^ et divisant la différence par l^unité diminuée de la raison. Soit la progression gcoméirique décroissante

Rappelle S la somme des termes

En multipliant par la raison | tous les termes el par conséquent la somme elle-même, j*ai

Sx|=486 4-162 + 54 -+-184-64-6Xg- Je retranche la seconde somme de la première, ce qui donne

S-Sx^-1458-6x|.

De la somme cherchée S j'ai retranché le ^ de celte somme ; la différence égale les f de celte somme, c'est-à-dire le produit de la somme S par l'unité diminuée de la raison. J'obtiendrai la somme cherchée en divisant la difTérence par l'unité diminuée de la raison. Ainsi

271. RbiMARQGE I. On pouvait déduire immédiatement le théorème 'VI du théorème V. Si l'on écrit en ordre inverse les termes de la progression décroissante, on obtient une pr<^ression croissante dont la somme est

En divisant par la raison 3 les deux termes de la fraction, on a

1458 — 6xt

PROGRESSIONS GËOAIËTREQUES. 255

272. R£MAfiQUE II. En conservant les notations précédcnles, on exprinoe la somme par la formule

c ^Xr — g

si la progression est croissante ; par la formule

c a—lxr

si la progression est décroissante.

On demande, par exemple, la somme des dix premiers termes de la progression croissante

Le dixième terme égale 2* ; donc

273. Théorème VIL La somme des termes iVnne progression geoméirique décroissante à Vinfini a pour limite le premier terme divisé par Vunité diminuée de la raison.

La somme des termes d'une progression géométrique décroissante

** n * h * /* * fi *

est donnée par la formule

a—lxr a Ixr

Si Ton prend un nombre de (ermes de plus en plus grand, la somme augmente, mais eii restant toujours plus petite que

la quantité fixe r—-- Le dernier terme / diminue sans cesse,

et l'on voit aisément qu'il devient plus petit que toute quantité donnée, quelque petite qu'elle soit. En effet, si le dernier terme restait toujours plus grand qu'une quantité donnée 7, les termes précédents étant à plus forte raison plus grands quo g, la somme des termes serait plus grande que 9Xn, et par

254 IIVBE V. - CflAPITRE IV.

conséquent Qugmcnterail au delà de (outc limite, ce qui est impossible. Puisque le dernier terme l devient aussi

petit qu'on veut, le produit IXjr^^^^ ce dernier termj

par la quantité constante j-— devient lui-même aussi pelil

qu'on veut ; donc, si Ton prolonge la progression indéfiniment, la somme des termes s'approche de la quantité fixe

j— -, de manière que la différence devienne plus petite que

toute quantité donnée; en un mot, la somme des termes a

pour limite la quantité ;j— -^

En appliquant ce théorème à la progression géométrique décroissante

dont la raison est |, on trouve que la somme des termes tend vers une limite égale à l'unité.

274. Remabquë L Les fractions décimales périodiques ne sont autre chose que des progressions géométriques décroissantes. Par exemple, la fraction décimale périodique simple

peut s'écrire

1 00 ■^ÎÔ555"^i 000000"^ '

c'est une progression géométrique décroissante dont la raison

est Y^. D'après le théorème précédent, la somme des termes

tend vers la limite

iOO ÎÔÏÏ 35

Cette limite estxe qu'on appelle la valeur de la fraction décimale»