V . 2 . 4 . 6 . 8 . dO . 12 . i

Si l'on désigne généralement par a la raison de la première, par b celle de la seconde, ces deux progressions se mettent sous la forme

•54 1 : a : a' : a" : a* : a* : a* : a' : tt^ :

T . 6 . 2fe . 36 . 46 . 5& . 6& . 7i> . 8t

Je remarque que les termes de la progression arilhmélique sont les mulliples successifs de la raison, que les termes de la progression géométrique sont les puissances successives de la raison.

Ces deux progressions sont disposées de manière que les termes qui occupent le môme rang soient placés Tun au-dessous de Vautre ; on voit que, dans deux termes correspondants,

par exemple a* et 55, le môme nombre 5 sert à la fois d'exposant et de multiplicateur.

277. Je multiplie deux termes de la progression géométrique, par exemple a' et a*; pour cela j'ajoute les exposants 3 et 5 ; le produit a* est aussi un terme de la progression géométrique. J'additionne les deux termes correspondants 36 et bb de la progression arithmétique ; j'ajoute 3 fois 6 à 5 fois b; la somme 86 est aussi un terme de la piH)gression arithmétique. On \oit que Texpos^nt du produit a* est égal au multiplicateur de la somme 8b; donc le produit et la somme se correspondent dans les deux progressions.

Cette propriété est générale ; car si l'on multiplie deux termes quelconques a"* et a* de la progression géométrique, et si Ton additionne les deux termes correspondants 6xm et 6xn de la progression arithmétique, on obtient un produit a"*^* et une somme 6x(m-hn), qui se correspondent évidemment dans les deux progressions.

Je divise Tun par l'autre deux termes de la progression géométrique, par exemple a* par a*; pour cela je retranche Texposant du diviseur de celui du dividende ; le quotient a' est aussi un terme de la progression géométrique. Je prends la différence entre les termes correspondants 86 et 56 de la progression arithmétique; je retranche 5 fois 6 de 8 fois 6; la différence 36 est aussi un ferme de la progression arithmétique. On voit que l'exposant du quotient a' est égal au multiplicateur de la différence 36 ; donc le quotient et la différence se correspondent dans les deux progressions.

Cette propriété est générale ; car si l'on divise a" par û^ (m étant supposé plus grand que n), et si l'on retranche 6xn de 6x w, le quotient a"*^* et la différence 6x(w— n) se correspondent dans les deux progressions.

J'élève à une certaine puissance un tefme de la progression géométrique, par exemple le terme et à la troisième puissance ; pour cela je multiplie l'exposant par l'indice de la

TiiÊORIE DES LOGARITHMES. - 259

puissance ; la puissance a'* est aussi un terme de la progression géométrique. Je multiplie par 3 le terme correspondant 4ft de la progression arithmétique ; le produit I2b est aussi un terme de la progression arithmétique. On voit que l'exposant de la puissance a*' est égal au multiplicateur du produit 12fr; donc la puissance et le produit se correspondent dam les deux progressions.

J'élève généralement à la puissance n un terme quelconque a* de la progression géométrique, et je multiplie par n le terme correspondant bxm de la progression arithmétique ; la puissance a*^" et le produit bx(mxn) se correspondent dans les deux progressions.

J'extrais la racine d*un terme de la progression géométrique, par exemple la racine troisième de a*; pour cela je divise l'exposant par l'indice de la racine (je suppose cetle division possible); la racine a* est aussi un terme de la progression géométrique. Je divise par 3 le terme correspondant 1 2b de la progression arithmétique ; le quotient 4b est aussi un terme de la progression arithmétique. On voit que l'exposant de la racine a^ est égal au multiplicateur du quotient 46; donc la racine et le quotient se correspondent dans les deux progressions.

278. En arithmétique, on apprend à effectuer six opérations sur les nombres : Irois opérations directes et trois opétions inverses. Les trois opérations directes sont : l'addition, la multiplication, l'élévation aux puissances. L'opération fondamentale est l'addition ; la multiplication est l'addition de plusieurs nombres égaux ; l'élévation à une puissance est le produit de plusieurs facteurs égaux. Les trois opérations inverses sont : la soustraction, la division, l'extraction des racines. La soustraction est l'opération inverse de l'addition ; la division est l'opération inverse de la multiplication; l'extraction des racines est l'opération inverse de l'élévation aux puissances.

Il y a ainsi trois ordres d'opérations :

260 ' LIVRE YI. — CHAPITRE T.

OPÉRATIONS DIllECTES. OPÉRATIOKS INVERSES.

Premier ORDRE . Addition ^ Soustraction,

Second ordre. . Midtiplication Division.

Troisième ORDRE. Êlévat. aux jouissances. Extract, des racines.

Chaque ordre comprend une opération directe et une opcralion inverse. Les opérations du premier ordre s'effectuent facilement et avec rapidité ; celles du second ordre sont déjà plus longues et plus difficiles ; enfin celles du troisième ordre deviennent très-longues et très-pénibles.

Les relations que Ton a reconnues entre deux progessions, Tune géométrique, Tautre arithmétique, permettent de remplacer les opérations par d'autres plus simples. On demande, par exemple, le produit de deux nombres 27 et 243, qui appartiennent à la progression géométrique; j'additionne les deux termes correspondants 6 et 10 de la progression arithmétique, ce qui donne 16 ; je regarde ensuite quel est le terme de la progression géométrique qui correspond à cette somme 16, c'est 6561 ; le produit cherché est 6561, puisque la somme (t le produit se correspondent dans les deux progressions.

Diviser 6561 par 243. De 16 je retranche 10, il reste 6 ; à 6 correspond 27 ; le quotient demandé est 27.

Elever 81 au carré. Au terme 81 de la progression géométrique correspond le terme 8 dans la progression arithmétique; je multiplie &par 2, le produit est 16; à 16 correspond dans la progression géométrique le terme 6561 . Le carré demandé est 6561.

Exiraire la racine carrée de 6561, A ce nombre correspond 16; je divise 16 par 2, le quotient est 8 ; à 8 correspond 81 ; la racine cherchée est 81 .

De cette manière, la multiplication de deux nombres de la progression géométrique est remplacée iparT addition des termes correspondans de la progression arithmétique. La division est remplacée par la soustraction; une élévation à une puissance par une multiplication; une extraction de racine par une division. En un mot, les opérations du second ordre sont remplacées par celles du premier ordre ; celles du troisième oi drc

THÉORIE DES LOGARITHMES, 20i

par celles du second ordre. Telle est rorigine de la théorie des logarithmes.

Déilnilion des lofl^ariihnioi^.

279. Étant données deux progressions, l'une géométrique commençant par l'unité, l'autre arithmétique commençant par zéro,

TT 1 : a : a' : a' : a* :

les termes de la progression arithmétique sont dits les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique. L'ensemble de ces deux progressions constitue un système de logarithmes.

Les deux progressions par lesquelles on définit les logarithmes dont on fait habituellement usage, et qu'on appelle pour cette raison logarithmes vulgaires, sont les suivantes

vtI : 10 : 100 : lOOO :

Dans ce système le logarithme de 10 est 1, celui de 100 csl 2, etc.

On suppose en général que la raison a de la progression géométrique est plus grande que l'unité ; de cette manière les termes de la progression géométrique vont en augmentant et deviennent plus grands que toute quantité donnée ; les logarithmes vont aussi en augmentant à l'infini.

J'ai défini les logarithmes des nombres qui font partie de la progression géométrique ; il est nécessaire d'étendre cette définition aux autres nombres. Si l'on insère entre deux termes consécutifs de la progression géométrique proposée un très-grand nombre de moyens géométriques, on formera une nouvelle progression géométrique qui renfermera une multitude de nombres. Si, par exemple, on insère mille moyens géométriques entre deux termes consécutifs, la nouvelle progression renfermera mille nombres compris entre 1 et 10, mille enlre 10 et 100, etc. En insérant le même nombre de

moyens arithmétiques entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique, on formera une nouvelle progression arithmélique qui donnera exactement les logarithmes de tous les nombres inscrits dans la nouvelle progression géométrique, et approximativement les logarithmes de tous les autres nombres.

280. Remarque I. Lorsqu'on insère n — 1 moyens entre les termes consécutifs des progressions proposées, on forme deux progressions nouvelles, Tune géométrique, dont la raison,

que je représente par g, égale \/fl,.raulre arithmétique, dont ja raison, que je représente par r, égale -;