V . r . 5r . or . 4r
Un terme quelconque de la nouvelle progression géomélrique, étant une puissance de la raison, sera représenté par q^ ou
(v/«)"* ou V^"*; 'e terme correspondant de la progression arithmétique, éiant un multiple de la raison sera rxm ou
— : — . Il en résulte que, par l'insertion d'un nombre convenable de moyens, on obtient exactement les logarithmes de
tous les nombres qui peuvent se mettre sous la forme \ia^.
Afin de mieux fixer les idées à cet égard,' je considère le système des logarithmes vulgaires; dans ce système, un terme quelconque de la nouvelle progression géométrique est de la
forme y/lO'" et a pour logarithme — . Soit A Tun de ces nombres, Az=y 10"*; en élevant à la puissance n, on a A"=10'" ; il est impossible d'abord que A soit un nombre commensurable fractionnaire, car sa puissance étant fractionnaire ne serait pas égale à un nombre entier iO"*; d'autre part, parmi les nombres entiers, il n'y a que les puissances de 10 qui, élevées à une certaine puissance, donnent une puissance de 10. Ainsi, dans le système vulgaire^ les puissances deiO sont les sevis nom-
TIIËORIË DES LOGARITHMES. 265
bres commmsurables qui ment âts logarithmes commensnrables ; tout autre nombre entier, comme 2, 5, 50, ne fera jamais partie de la progression géométrique, quel que soit le nombre des moyens insérés.
Remarque II. Quand on a inséré un très-grand nombre de moyens, les termes consécutifs de la nouvelle progression géométrique diffèrent trés-pcu l'un de l'autre, de môme que les termes consécutifs de la nouvelle progression arithmétique. Lorsqu'un nombre A ne fait pas partie de la progression géométrique, il est compris entre deux termes jonséculifs qui en différent très-peu et qui ont leurs logarithmes écrits dans la progression arithmétique; la différence de ces deux logarithmes, étant égale à la raison - de la progression arithmétique,
peut cire rendue aussi petite qu'on veut. On prendra pour logarithme de A l'un ou l'autre de ces deux logarithmes.
Propriéiés fondamentales des loffarlthmes*
281. TiitoiiÈME I. Le logarithme cVun produit égale la somme des logarithmes des facteurs.
Ce théorème a été déjà démontré (n° 277). On a vif en effet que la somme de deux termes de la progression arithmétique correspond au produit des nombres correspondants de la progression géométrique ; donc la* somme des logarithmes de deux nombres est le logarithme du produit de ces deux nombres.
Soient donc a. et b deux nombres quelconques, on a
log (a'Xb) = log a 4- log b.
Ce théorème s'étend évidemment à un nombre quelconque de facteurs.
282. TiiÉonÊME II. Le logarithme d^un quotient égale le loga^ rithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
2C4 LIVRE VI. — CHAPITRE ï.
Appelons c le quolienl de a par b (a étant supposé plus grand que &). On a
a = bxcy
et, d'après le théorème précédent,
loga = log6-|-logc; d'où
Ainsi
log c = log fl — log b.
log^ = Ioga— logb.
283. Théorème III. Le logarithme de la puissance d\in nombre é/jale le logarithme de ce nombre multiplié par lindice de la puissance.
En effet, la puissance a" étant le produit de m facteurs égaux à a, on a
a^ = axaxax ;
d'où
log a" =: log fl 4- log a -I- log a -I-
log fl"* = W log fl.
Ainsi le logarithme du carré d'un nombre égale deux fois le logarithme de ce nombre, le logarithme du cube égale trois fois le logarithme du nombre, etc.
284. Théorème IV. Le logarithme de la racine rf'un iiombre égale le logarithme du nombre divisé par Vindice du radical. Appelons b la racine m^ de a ; on a
et, d'après le théorème précédent,
logfl = mlogi;; d'où
lofffl
Ainsi
logt=^
, M— lofî a
TllÉOniE DKS LOGARITHMES. ÎOr»
Par exemple, la racine carrée ou la racine cubique d'un nombre a pour logarithme la mcilié ou le tiers du logarithme de ce nombre.
Ces diverses propriétés, qui ont déjà été aperçues dans les préliminaires, remplacent, comme nous l'avons dit, les opérations à effectuer sur les nombres par des opérations plus simples à effectuer sur les logarithmes ; mais pour cela il est nécessaire de construire des tables renfermant les logarithmes des nombres.
Constraction d*aiie table de loffarlthmes.
285. Les logarithmes dont on se sert habituellement, et qu'on appelle logarithmes vulgaires^ sont défmis par les deux progressions
Le nombre qui a pour logarithme l'unité est la base du système de logarithmes. Dans le système vulgaire, la base est 10.
Les tables les plus usitées en France sont les petites tables de Lalande et les grandes tables de Callet. Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 10000, avec cinq décimales. Celles de Callet sont plus étendues; elles contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 100000, avec sept décimales. Pour construire les tables de Lalande, il suffit de déterminer les logarithmes de tous les nombres premiers plus petits que 10000 ; car, un nombre non premier étant un produit de facteurs premiers, on obtiendra son logarithme en additionnant les logarithmes des facteurs [remiers qui le composent. Ainsi, puisque 72 = 2'*x3', on a
log72 = 31og2 4-2 logS.
Mais quand on additionne les valeurs approchées des logarithmes, les erreurs peuvent s'ajouter, et par conséquent la même approximation ne se conservera pas jusqu'à la fin. Je cherche avec combien de décimales il faut calculer les loga-
rilhmes des nombres premiers, pour qu'on puisse en dédmrc les aulres logarithmes avec cinq décimales exactes.
En formant par multiplications successives les puissances de 2, on trouve que 2^* surpasse 10000 ; il en résulte qu'un nombre inférieur à 10000 renferme au plus 15 facteurs, et que par conséquent l'erreur commise sera répétée au plus 13 fois; si donc on détermine les logarithmes des nombres premiers avec sept décimales, on aura certainement cinq décimales exactes jusqu'à la fin.
La question est donc celle-ci : déterminer les logarithmes des nombres premiers inférieurs à 10000, avec sept décimales exactes.
286. Je prends pour exemple le nombre 5, et, afin de simplifier, je me propose de déterminer son logarithme à moins de
r^ prés. Le nombre 5 étant compris entre 1 et 10, son logarithme est compris entre et 1 ; ce sera par conséquent une fraction proprement dite. En insérant n — 1 moyens, on obtient
deux progressions, qui ont pour raisons, l'une y 10, l'autre -;
le nombre 5 étant compris entre deux termes consécutifs de la nouvelle progression géométrique, son logarithme sera compris entre les deux termes correspondants de la progression
arithmétique ; la différence de ces deux derniers étant ~, on a
ainsi le logarithme de 5 avec une erreur moindre que - . Comme
on veut que Terreur soit plus petite que jjrr, on fera «=100.
Les deux termes consécutifs de la progression arithmétique
j^ fc-f- 1
sont de la forme -, ; le nombre 5 est compris entre les
deux termes correspondants de la progression géométrique
VlO*, v^lO*"*"^ Si l'on élève à la n* puissance, le nombre 5* sera compris entre 10* et 10*^*}
