THÉORIE DES LOGARITHMES. 2C
VÏÔ* < 5 < VÏÔ*^,
Ainsi la détermînalion de k revient à la recherche de la plus huiilc puissance de 10 conlenue dans 5", ou d'ans 5'^.
Je forme par des multiplications successives la 100" puissance de 5, et je compte combien de chiffres elle renferme ; elle renferme 70 chiffres. Or un nombre de 70 chiffres est plus grand que l'unité suivie de 69 zéros ou que 10**, plus petit que l'unité suivie de 70 zéros ou que 10'*; ainsi 5*** est compris entre 10** et 10'^
Il en résulte que le nombre cherché k égale 69. Le logarithme de 5 est donc compris entre 0,69 et 0,70. Ainsi :
Règle. Pour avoir le logarithme d un nombre avec une erreur
moindre que--, calculez la n'^ puissance de ce nombre^ et comptez
combien de chiffres renferme cette puissance. En désignant par
]i-\-i ce 7iombre de chiffres^ le logarithme cherché est compris
entre - et -.
287. Remarque I. Si Ton forme un tableau renfermant les puissances successives de 5, on obliendra deux séries de nombres de plus en plus rapprochés et comprenant entre eux le logarithme cherché
208 LIVRE VI, >' CUAPITRE I.
On voit d'abord que le logarithme de 5 est compris enfre eH , puis enire ô ^' *> ^^^^^ % ^^ ^> ^"*^^ I ^^ I ^*^-
288. Remarque II. Mais au lieu de former toutes les puissances successives, il est plus simple de ne former que les puissances qui ont pour indice une puissance de 2; pour cela il suffit de multiplier par elle-même la dernière puissance obtenue ;
O — Oj • • • • Uj 1 I
D — — ZOy • • • . '^> 1 ,
En multipliant 5* par 5*, on obtient 5*; en multipliant 5* par 5*, on obtient 5', etc. De cette manière, Tapproximation croit beaucoup plus rapidement.
Après m opérations, Texposant est 2* et la différence des
logarithmes et ^. Il est aisé de voir, d'après cela, combien
TliSORIË DES LOGARITHMES. 200
de multiplications il faudra faire pour obtenir le logarillnnc d'un nombre donné avec une certaine approximation -. Si
l'on veut, par exemple, le logarithme avec cinq décimales
exactes ou à moins de jttj la différence ^ devant être égale
ou inférieure à j^^ on déterminera m de manière que 2*" soit
égal ou supérieur à 10'; or on sait que la 17* puissance de 2 surpasse 10'; il faudra donc 17 multiplications. Ainsi le
nombre des multiplications nécessaires pour calculer un loga-
rithme avec une approximation marquée par -, est égal à indice de la puissance de 2 égale ou immédiatement supérieure à n.
Je remarque que le nombre des multiplications nécessaires est le même, quel que soit le nombre dont on cherche Iç logarithme.
Cependant, malgré la simplification indiquée, le procédé que nous venons d'exposer pour la détermination des logarithmes exige encore des calculs d'une extrême longueur; aussi a-t-on eu recours pour la construction des tables à des procédés plus rapides, qui seront expliqués dans le cours des nKilhéma tiques spéciales.
289. Changement de la base. La base d'un système de logarithmes est le nombre qui a pour logarithme l'unité. La connaissance de la base suffit pour déterminer un système de logarithmes. En effet, si Ton désigne la base par a, on a les deux progressions.
l'une géoméirique, l'autre arilhméliquc, qui définissenl complètement les logarithmes.
Si Ton change la base, les logarithmes des mêmes nombres changent ; on a un nouveau système de logarithmes. 11 y a
270 LIVRE VI. *- CUAIITRE I.
donc une infinité de systèmes de logarithmes ; mais il est facile
de passer d'un système à un autre. Je suppose que Ton ait
construit une table de logarithmes dans le système dont la
base est a, et que Ton veuille construire une nouvelle table
renfermant les logarithmes des nombres dans le système dont
. t la base est a'. Soit — le logarithme d'un nombre A dans le
nouveau système, on a
A=vâ^, ou A«' = »'**.
En prenant les logarilhmcs de ces deux quanlilés égales dans le sysième dont la base est a (le signe log désignera un logarillimc de la première table), on a
7î' log A = fc'loga'; -7 = log A X
Mais — est le logarithme de A dans le nouveau système ; on
Jv
voit donc que Ton obtient le nouveau logarithme d'un nombre quelconque A en multipliant le logarithme ancien par la
quanî itô constante j -,. Ce multiplicateur constant s appelle
module du second sysième relativement au premier.
