CHAPITRE
CtSAGE DBS TABLES
290. Les logarithmes ont été calculés en décimales; la partie entière d*un logarithme s*appelle earactéristique. J'écris les deux progressions
f^ 1 : 10 : 100 : 1000 : lOOOO :
qui définissent les logarithmes vulgaires. Tout nombre compris enire 1 et 10 n'a qu'un chiffre à sa partie entière; son logarithme, étant compris entre eli , est un nombre décimal qui a pour parlie entière ou pour caractéristique. De même, tout nombre compris entre 10 et 100 a deux chiffres à sa partie entière; son logarithme, étant compris entre 1 et 2, est un nombre décimal ayant 1 pour caractéristique. De même, tout nombre compris entre 100 et 1000 a trois chiffres à sa partie entière, et son logarithme, étunt compris entre 2 et 3, a 2 pour caractéristique, etc. Ainsi la caractéristique du loga rithme dun nombre renferme autant d^unités que la partie entière dii nombre a de chiffres moins un.
â9ii Le logarithme de 10^ est n. Si Ton multiplie un nombre â par 1 0**^ on a
log (fl>< 10») = log a -f- log 10»^ = log d 4- iU
La partie décimale rcsie la môme ; il suffit d'ajouter n unités à la caractéristique»
Si Ton divise a par 10% on a
log j^ = log a — log 10» = log a — ti.
Ainsi, pour multiplier ou pour diviser un nombre par 10, 100, lOOÔ,.... il suffit d'augmenter ou de diminuer la caractéristique du logarithme de une, deux, trois,... unités.
II en résulte que, lorsque deux nombres décimaux ne diffèrent que par la place qu'occupe la virgule, leurs logarithmes ont même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique.
TaUfMi de Lalaude.
292. Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 10000. Dans la colonne intitulée nombres se trouvent les nombres entiers consécutifs ; 5 droite des nombres, dans la colonne intitulée logarithmes, sont leurs logarithmes avec cinq décimales.
Pour effectuer les calculs par logarithmes, il faut savoir résoudre les deux questions suivantes : 1* trouver le logarithme d'un nombre donné ; 2** trouver le nombre qui correspond a un logarithme donné. Nous traiterons successivement chacune de ces deux questions.
TROUVER LE LOGÀRITHlfE D*UN NOUBRE DONKÉ.
293. Lorsqu'il s'agit d'un nombre entier plus petit que 10000, on trouve immédiatement son logarithme dans les tables.
Si le nombre surpasse 10000, on le ramène à Être compris enire 1000 et 10000, en le divisant par une puissance- convenable de 10. Soit le nombre 46527 ; en le divisant par 10, on a le nombre décimal 4652,7 compris entre 1000 et 10000. Les tables donnent le logarithme de la partie entière 4652. A droite des logarithmes, dans une petite colonne intitulée différences, sont inscrites les différences qui existent entre les logarithmes consécutifs. Entre le logarithme de 4652 et celui
CSAGE DES TABLES. 273
de 4655, on lit la différence 9, c esl-à-dire que, si Ton augmentait le nombre 4652 d'une unilo, il faudrait ajouter au logarithme 9 unités du cinquième ordre décimal. On admet que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissemcnfs du nombre, quand il s'agit d'accroissements moindres que Tunité. On dira donc : puisque, pour uneaugmentation d'une unité dans le nombre 4652, il iiiut ajouter 9 au logarithme, pour une augmentation de 0,7 dans le nombre il faudra ajouter les 7 dixièmes de 9, c'est* à-dire 65 dixièmes ou 6 unités du cinquième ordre décimal, en négligeant les unités plus petites. Ajoutant donc 6 au logarithme de 4652, on écrira
log 4652,7=3,66770.
On revient au nombre proposé 46527 en multipliant par 10 le nombre décimal 4652,7; on ajoutera donc une unité à la caractéristique du logarithme, et Ton aura
Nous avons supposé que les accroissemenfs du lug .rithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nonvbre ; cette proportion n'est pas rigoureusement exacte et il en résuKe une certaine erreur dans le calcul des logarithmes des nombres décimaux. Mais on démontre que, lorsque le nombre est plus grand que 1000, Terreur commise n'altère pas les cinq premiers chiffres décimaux du logarithme; on peut donc regarder la proportion comme exacte.
Soit le nombre 724687. Divisant par 100, on a le nombre décimal 7246,87. On lira dans la table le logarithme de la partie entière 7246 et en regard la différence 6. Pour une unité d'augmentation dans le nombre, il faut ajouter 6 au logarithme; pour 0,87 d'augmentation dans le nombre, il faudra ajouter au logarithme 6x0,87 ou 0,87x6; on voit de su'te que celte augmentation est de 5 unités du cinquit^mc orJre. Ajoutant deux unités à la caractéristique afin de multiplier par 100, on écrira donc immédiatement
Vig 72468/ =5,86015.
Soit encore le nombre 132846. En divisant par 100, on a le nombre décimal 1328,46. On lira dans la table le logarilhme de la partie entière 1328 et à côté la différence 52, qu'il faudra multiplier par la partie fractionnaire 0,46, ce qui donne 15. On écrira donc
log 152846 = 5,12555.
Considérons maintenant un nombre décimal 75,64. Si Ion multiplie ce nombre par 100, on a le nombre entier 7564, dont on trouve le logarithme dans les tables ; retranchant 2 de la caractéristique pour revenir au nombre proposé, on écrira immédiatement
Soit encore le nombre décimal 3,46874. Si l'on multiplie ce nombre par 1000, on aura un nombre 3468,74 compris entre 1000 et 10000. A côté du logarithme de 5468 on lit la différence 12, que l'on multiplie par 0,74, ce qui donne 9. Ajoutant 9 au logarithme de 5468 et retranchant 3 de la caractéristique, on écrira
log 3,46874=0,54017.
Dans la pratique, on se dispense de déplacer la virgule; on lit dans la table le logarithme du nombre formé par les quatre premiers chiffres de gauche, et on y ajoute le produit de la différence tabulaire par les deux chiffres suivants. Cette multiplication se fait à vue très-rapidement ; dans l'exemple précédent on dira : 12 fois 4 font 48 et retiens 5 ; 12 fois 7 font 84 et 5 font 89 dixièmes ou 9 unités du cinquième ordre décimal à ajouter au logarithme. Quant à la caractéristique, on sait qu'elle contient autant d'unités qu'il y a de chiffres dans la partie entière du nombre, moins un.
Il est bon de remarquer que, dans la recherche du loga? rithme d'un nombre, il n'y a lieu de considérer que les six premiers chiffres de gauche ; les suivants, n'ayant pas d'influence sur le logarithme, peuvent être supprimés. En effet, supposons la virgule placée après le quatrième chiffre, si l'on néglige le chiffre des millièmes et les suivants^ on commet
sur le nombre une erreur moindre qu'un centième; la plus grande différence tabulaire est 44 ; on commet donc sur le log^arithme une erreur moindre que les cinq dixièmes d une unilé du cinquième ordre décimal.
CARACTÉmSTIQUES KÉtiATiVES.
294. En opérant comme nous Tavons di(, on obtient aisemont les logarithmes de tous les nombres fractionnaires plus grands que 1. Voici comment on obtient les logarithmes des fractions proprement dites. Supposons que l'on ait à multiplier un nombre quelconque 4567 par la fraction décimale 0,03564. Cette fraction peut s'écrire ^~~ ; multiplier par celle fraction, c'est multiplier par 3,564 et diviser par 100. 11 fau* dra donc ajouter le logarithme de 3,564 qui est 0,55194 et retrancher le logarithme de 100, c'est-à-dire 2. Le logarithme du produit sera donc égal à
log 4567+0,55194—2,
ce qu'on écrit plus simplement
log 4567 .+-2,55194
Le signe — placé au-dessus du chiffre 2, indique qu'il faut retrancher 2 unités. Afin que le logarithme du produit soit toujours égal à la somme des logarithmes des facteurs, on
est convenu de regarder l'expression 2,55194 comme étant le
logarithme de la fraction décimale 0,03564. Le nombre 2, qui tient lieu de la partie entière du logarithme et qui doit cire retranché, s'appelle une caractéristique négative.
On voit que la caractéristique négative du logarithme d\me fraction décimale est égale au rang du premier chiffre signifi* calif après la virgule, •
TnOUVEU LE nOUenE qui admet DN logarithme DONNé^
ftÔS. Trouver le nombre quia pour logarithme 3,12335. Ôrt cherche dans la table le plus grand logarithme contenu dans le logarithme donné* C'est 5,12320, qui correspond au nom*
Î76 LIVHE VI. — CIIAHTRE 11.
Ijrc 1 328. La différence tabulaire est 52, c est-à-dire que si Ton iijoulait 32 au logarithme, il faudrait ajouter une unité au 1 nombre. Le logarithme donné surpasse le logarithme de 1528 de 15 ; pour savoir quelle augmentation dans le nombre résulte de cette augmentation 15 du logarithme, on divisera 15 par 52. Mais on fera cette division à vue; 150 contient 4 fois 52 et il reste 22 ; 220 contient 6 fois 52. Puisque la différence 15 contient les 0,46 de 52, il en résulle une augmentation de 0,46 dans le nombre. Le nombre demandé est donc 1528,46.
Trouver le nombre qui a pour logarithme 0,54017. Ajoutons 5 à la caractéristique et cherchons le nombre qui a pour logarithme 5,54017. Le plus grand nombre entier dont le logarithme est contenu dans le logarithnrie donné est 5468 ; la différence tabulaire est 12. Le logarithme donné surpasse celui de 5468 de 9 unités du dernier ordre. Une augmentation 12 dans le logarithme produit une augmentation d*une unité dans le nombre ; pour avoir celle qui résulte de la différence 9, il faut diviser 9 par 12 ; 90 contient 7 fois 12, et il reste 6 ; 60 contient 5 fois 12 ; il faut donc ajouter 0,75 au nombre, ce qui donne 3468,75. Puisqu'on a ajouté 5 à la caractéristique, il faut diviser par 100, et l'on obtient le nombre demandé 5,46875.
Trouver le nombre qui a pour logarithme 2,84569. Si Ton ajoute 5 à la caractéristique, elle devient égale à 5, et l'on a le logarithme 3,84569. Ce logarithme contient le logarithme de 7009, plus une différence 5. Mais la différence tabulaira est 6 ; il faut donc ajouter 0,5 au nombre, ce qui fait 7009,5. Comme on a ajouté 5 à la caractéristique, il faut diviser par 100000, et Ton a le nombre demandé 0,070095.
296. Il importe de se rendre compte du degré d^approximation avec lequel on obtient les nombres à l'aide de leurs logarithmes. Soit, par exemple, 5,00027 le logarithme donné ; il contient le logarithme de 1000 qui est 3, plus la différcnce27 ; cette différence 27, divisée par la différence tabulaire 45, donne Taugmenlation 0,63; en opérant delà sorte, on trouve
le nombre 1Q00,65. Évaluons maintenant l'approximation ; en général soil log x=a^ le logarithme donné «ayant 3 pour caraciéristiquc ; appelons x^ le nombre que l'on obtient en opérant comme nous l'avons expliqué, et A la différence tabulaire ; pour produire une variation d'une unité du cinquième ordre décimal dans le logarithme, il faut faire varier le nombre d'une quantité a égale à J ; par conséquent le mode de calcul adopté donnera pour les logarithmes de x^-\-a et de ifj — a les valeurs approchées
mais on sait que l'erreur causée par la proportion est moindre que j^ ; on a donc
ainsi le nombre x, qui a pour logarithme a, est compris entre x^ — a et x^-hoL] en prenant la valeur approchée x^j on commet une erreur moindre que a, ou que {. Dans Texemplo précédent, l'erreur est moindre que 73, ou que -~ ; le nombre étant plus grand que 1000, Terreur relative, c'est-à-dire le rapport de l'erreur commise au nombre lui-môme, est moin- «îrequej^.
La différence tabulaire diminue à mesure qu'on s'avance dans la table ; Terreur absolue commise sur le nombre augmente, mais Terreur relative reste à peu près la même. Ainsi les tables de Lalande donnent les nombres avec une erreur relative inférieure à un quart de dix-millième.
EXERCICES
V Calculer le produit des deux nombres 237,56 et 68,432.
On cherchera les logarithmes des deux facteurs et on les ajoutera, ce qui donnera le logarithme du produit ; puis on cherchera dans les tables le nombre correspondant. Voici la disposition du calcul, la lettre x désignant le produit demandé :
log 257,56 =2,37577 log 68,452 = 1,83526
log a; = 4,2H05 . a; = 16256,7.
2** Calculer le produit des deux nombres 4,5678 el 0,87591 . On mullrpliera le second facteur par 10| afin de le rendre plus grand que l'unité, et l'on écrira
^= îô
log 4,5678 = 0,65971 log 8,7391=0,94147 .
log aî = 0,601if ^ a: = 3,9919.
En ajoutant les logarithmes, on trouve 1 pour partie entière; mais comme il faut retrancher 1, il reste la caracléristique 0.
5° Calculer le produit des deux nombres P,087952 et 0,0075326.
On multipliera le premier facteur par 100, le second par lÔOO, afin de les rendre plus grands que Tunité, et Ton écrira
log 8,7952 = 0,94425 1.. log 7,5526 = 0,87695
log a; = 4,82120 îr= 0,00066251.
En ajoutant les logarithmes on trouve 1 à la partie entière ; mais comme il faut retrancher 5, on a la caractéristique négative 4, ce qui indique que le premier chiffre significatif du nombre cherché occupe le quatrième rang après la virgule.
¥ Diviser 16256,7 par 237,56.
Du logarithme du dividende on retranchera le logarithme du diviseur :
• log 16256,7 =4,21103
log a: = 1,85526
5" Diviser 5,9919 par 0,87391.
A un de rendre le diviseur plus grand que l'unité, on multipliera par 10 le dividende et le diviseur, ce qui ne change pas le quolient, et Ton écrira
en désignant par x le quotient cherché ; puis on opérera comme dans l'exemple précédent.
6° Diviser 42,537 par 843,62.
On multipliera les deux fermes par 100, afin de rendre le dividende plus grand que le diviseur, et Ton écrira
log 4253,7 =3,62877 log 843,62 = 2,92615
log ir = 2,70262 a: =0,050422.
Du logarithme de 4253,7 on a retranché celui de 848,62, ce qui donne pour partie entière ; et comme il faut retrancher
2, on a mis la caractéristique négative 2.
r Diviser 0,00066251 par 0,087952.
On multipliera d'abord les deux termes par 100, afin de rendre le diviseur plus grand que l'unité, ce qui donne
on multipliera ensuite par 1000, afin de rendre le dividende plus grand que le diviseur, et Ton écrira
log 60,5ol =1,82420 Icg 8,7952 = 0,94425
Icg x = 3,87095 a: = 0,0075527.
8** Élever à la dixième puissance le nombre 2,3565. Il faut pour cela multiplier par 10 le logarithme du nombre (lonnô :
log 2,4365 = 0,38677 log ic = 5,8677 a;=7374.
9° Élever au cube le nombre 0,41728.
On multipliera le nombre donné par 10, afin de le rendre plus grand que Punité, et Ton écrira
log 4,1728 = 0,62043 log a; = 2,861 29 x= 0,072658.
En multipliant par 3 le logariihme de 4,1728, on trouve 1 à la partie enliôre; comme il faut relrancher 3, on a la caractérislique négative 2.
lO"" Élever à la cinquième puissance la fraction fy.
On écrira
^""\37J ■"\37xio/ ""U^/^io»*
log 200 = 2,30103 log 37 = 1,56820
log 200 — log 37 = 0,73283 log a; = 2,66415 a:= 0,046149.
Il"" Extraire la racine quatrième de 2 :
11 faut diviser par 4 le logarithme do 2.
log 2 = 0,30103 log a: =0,07526 «=1,18921.
USAGE DES TABLES. S8 i
12* Extraire la racine carrée de la fraclÎQn 0,45512.
On rendra celle fraction plus grande que Tunilé en la mullipliant par une puissance de 10 qui soil un carré parfait. Il sufiira dans cet exemple de multiplier par 100, et l'on écrira
log 43,512 = 1^,63861 log a; = M1930 a; = 0,65963.
En divisant par 2 le logarithme de 43,512, on trouve pour partie entière ; comme il faut retrancher 1, on a la caractéristique négative 1.
15° Extraire la racine cubique de la fraction décimale 0,00072658.
On rendra celte fraction plus grande que l'unité en la multipliant par une puissance de 10 qui soit un cube parfait, et Ton écrira
* /rjort
log 726,58 = 2,80129 log a: = 2,95370 a: = 0,08990.
297. On sait que, pour effectuer une division, il faut du logarithme du dividende reti*ancher le logarithme du diviseur. Lorsqu'on n'a qu'une simple division à faire, on peut procéder de cette manière ; mais, quand on a une série de multiplications et de divisions à effectuer, il est plus commode de n*avoir que des logarithmes à ajouter. Pour cela on transforme les logarithmes à retrancher, de manière que Toa ait à ajouter les parties décimales.
Soit, par exemple, à calculer
256,59x127,46 ^~ ôGÏ;87
11 limt retrancher le logarithme de 564,87, qui est 2,75195.
282 LIVRE VI. -^ CUAPITRE ÏI,
On écrira
' On aura donc
log 236,39 = 2,37365 log 427,46=2,10537
—log 564,87 =T>,24805
log a; = 1,72705 a; = 53,340.
Quand on a ainsi rendu additive la partie décimale de — log 564,87, on additionne les parties décimales des trois logarithmes; la soustraction ne porte plus que sur la caracté«
risiique 3, ce qui est une grande simplification.
Remarquons celte manière de procéder : Pour retrancher un logarithme^ on ajoute une unité à la caractéristique dont on chatige ensuite le signe^ et Von écrit à la suite le complément arithmétique de la partie décimale.
Ainsi, au lieu de retrancher 2,75195, on a ajouté 3,24805. La caractéristique 2, augmentée d'une unité, puis changée de
signe, donne 3 ; en prenant l'excès de l'unité sur la partie décimale 75195, on obtient le complément 24805.
Quant à Texcès de Funité sur la partie décimale du logarithme, ce qu'on appelle le complément arithmétique, on l'obtient aisément. De 1 il faut retranchenO, 75195. Or, une unité vaut 9 dixièmes et 10 centièmes; 10 centièmes valent 9 centièmes et 10 millièmes, etc. L'unité égale donc 0,9999 plus 10 unités du cinquième ordre. En effectuant la soustraction de gauche à droite, on obtient le complément demandé :
Ainsi, pour avoir le complément de la partie décimale d'un logarithme^ on retranche tous les chiffres de 9, en allant de qauche à droite, excepté le dernier que Von retranche de 10.
Avec un peu d'habitude, on lit immédiatement le complément dans la table, en regardant le logarithme.
Tables de Célict.
298. Les tables de Callet contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 108000. La première partie de la lablc, nommée première chiliade (premier mille), contient les logarithmes des 1200 premiers nombres a\ec huit décimales. La table change ensuite de disposition, et donne les logarithmes des nombres de 10200 à 100000, avec sept décimales ; à la fin, la tablesc prolonge de 1000005 108000, avec huit décimales*. Dans la colonne verticale intitulée N, on lit les dizaines des nombres ; les unités sont inscrites au haut de la page et en tête des dix colonnes intituléesO, 1, 2.... 8, 9. La caractéristique n'est pas indiquée ; il est facile de l'ajouter d'après la règle énoncée. Dans la colonne voisine, on trouve les trois premiers chiffres décimaux de chaque logarithme ; les quatre suivants sont inscrits dans la colonne convenable. Si Ton veut, par exemple, le logarithme du nombre 35647, dans la colonne verticale intitulée N, on descendra jusqu'au nombre 5564, puis, dans cette ligne horizontale, on s'avancera vers la droite jusqu'à la colonne intitulée 7, et l'on écrira :
log 55647=4,5520250.
Le nombre ayant cinq chiffres, on commencera par écrire sa caractéristique 4 ; les trois premiers chiffres décimaux 552 sont communs à un assez grand nombre de logarithmes ; on trouve les quatre derniers 0230, dans la colonne verticale intitulée 7.
TROUVER LE LOGâRITUME d'dN KOMORE DO^'^K.
Lorsqu'un nombre entier est plus petit que 108000, on trouve immédiatement dans les tables son logarithme.
* Callet a prolongé ses tables jusqu'à 108000, parce que i 08000 est le nomfi^e de secondes contenues dansl'ungle de 30 degrés ou le tiers de Tangte druit. L'excellente édition des tables de Callet, publiée par M. Dupuis, contient les logaritUmes'de 1 à 1OO0OO avec sept décimnles.
284 , LIVRE YI. - CHAPITRE 11.
Si le nombre surpasse la limile des labiés, on l'y ramène en le divisant par une puissance de iO. On demande, par exemple, le logarithme du. nombre 356478. Afin de rendre ce nombre plus petit que i 00000, on le divise par 10, ce qui donne le nombre décimal 35647,8. La question revient à chercher le logarithme de ce nombre décimal ; car, une fois le logarithme trouvé, en ajoutant 1 à sa caractéristique, on aura le logarithme demandé.
Les tables donnent le logarithme de la partie entière 35647. La différence entre ce logarithme et celui du nombre suivant 35648 est 122 unités du septième ordre décimal. On admet que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nombre, quand il s'agit d'accroissements moindres que l'unité. On dira donc: puisque, pour une augmentation d'une unité dans le nombre 55647, il faut ajouter 122 au logarithme, pour une augmentation de ^0,8 dans le nombre il faudra ajouter au logarithme les ^ de 122 soit ~î^, ou 98 unités du septième ordre, en négligeant les unités plus petites.
Mais on trouve cette augmentation toute calculée dans les tables de Callet; car, dans la dernière colonne verticale à droite, on voit, au-dessous de la dilférence 122, un petit tableau indiquant les augmentations du logarithme qui correspond à 1, 2, 3,.... 9 dixièmes. Ainsi
log 35647 = 4,5520250 . pour 0,8 98
log 35647,8=4,5520328.
En ajoutant une unité à la caractéristique, on a
Nous avons supposé que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nombre ; cette proportion n'est pas rigoureusement exacte et il en résulte une certaine erreur dans le calcul des logarithmes des nombres décimaux. Mais on démontre que, lorsque le nom bre est plus grand que 10000, Terreur commise n'altère pas
les sept premiers cliirrrcs décimaux du logarithme ; on peut donc regarder la proportion comme exacte.
Soit encore à calculer le logarithme du nombre 2543247. En divisant par 100, on ramènera le nombre propose au nombre décimal 25452,47. La table donne le logarithme de la partie entière. La table des parties proportionnelles montre qu a une augmentation 0,4 dans le nombre, correspond une augmentation 68 dans le logarithme. Il reste h trouver ce qu'il faut encore ajouter pour 0,07. On voit dans la table qu'à 0,7 correspond une augmentation 120 ; à 0,07 correspondra donc une augmentation dix fois plus petite, soit 12. Il faut donc au logarithme de 25452 ajouter 68-1-12, c'est-à-dire 80. Faisant le calcul de tète, on écrira de suite
log 25432,47=4,4053885.
En ajoutant 2 unités à la caractéristique, on en déduit
log 2543247 = 6,4053885.
11 est bon de remarquer que, dans la recherche du logarithme d'un nombre, il n'y a lieu de considérer que les huit premiers chiffres de gauche; les suivants, n'ayant pas d'influence sur le logarithme, peuvent être supprimés. En effet, supposons la virgule placée après le cinquième chiffre, si l'on néglige le cliiffre des dix-millièmes et les suivants, on commet sur le nombre une erreur moindre qu'un millième ; la plus grande différence tabulaire étant 434, on commet sur le logarithme une erreur moindre qu'une demi-unité du septième ordre décimal.
On demande, par exemple, le logarithme du nombre 11056,4852. Après avoir cherché dans les tables le logarithme de 11056, on dira, à Taide des parties proportionnelles placées au-dessous de la différence 393 : à 0,4 correspond 157, à 0,8 correspond 31, à 0,005 correspond 2; en tout 190, qu'il faut ajouter au logarithme de 11056, ce qui donne
log 11056,485=4,0436170.
Quand le premier chiffre est égal ou supérieur à 4, le huitième chiffre n'a pas d'influence sensible sur le résultat. Soit u
28fi LIVRE VI. - CHAPITRE IL
îrouvcr le logarîllime de 46867,284. Après avoir trouvé le logarithme de 46867, on voit qu'à 0,2 correspond une augmentation 18, à 0,08 uneaugmentatoin 7 ; le chiffre des millièmes n a pas d'influence ; il faut donc ajouter 18-+- 7 ou 2» au logarilhme de 46867, ce qui donne.
log 46867,28=4,6708697.
Quand le chiffre des millièmes est plus grand que 5, on force le chilfre des cenlièmes.
Pour trouver le logarilhme d'un nombre décimal, on 1g multipliera par une puissance de 10, de manière qu'il se rapproche le plus possible de la limite des tables. Soit le nombre décimal 35,6478, on le multipliera par 1000 et on cherchera le logarithme du nombre 35647,8 ; puis on retranchera trois unités de la caractéristique ;
log 35647,8=4,5520328 log 35,6478 = 1,5520328.
TROUVEE LE NOHBRE QUI ADMET UN L06ÂRITHUE DOiNKÉ.
299. Trouver le nombre qui a pour logarithme 4,5520532 avec les tables de Callet. On regarde dans les tables quel est le plus grand logarithme contenu dans le logarithme donné; c'est 4,5520230 qui correspond au nombre 35647 ; le nombre cherché est donc compris entre 35647 et 35648. Le logarithme donné surpasse le logarilhme de 55647 de 102 unités du septième ordre : or la différence tabulaire est 122, c'est-à-dire que si l'on augmentait le logarithme de 35647 de 122 unités du dernier ordre, il faudrait augmenter d'une unité le nombre 35647 ; si Ton suppose les accroissements du nombre proportionnels à ceux du logarithme, à une augmentation 102 dans le logarithme correspondra dans le nombre une augmentation
égale aj22 = 0» 83.
Mais il est plus commode de se servir de la petite table des parties proportionnelles : cette table montre qu'à une augmentation 98 dans le logarithme correspond une augmenta-
lion 0,8 dans le nombre. Il reste 4; à Taugmcnfation 40 dans le logarithme correspond une augmentation 0,3 dans le nombre; à l'augmentation dix fois plus petite 4 correspondra donc une augmentation 0,03. Ainsi à Taugmentalion 102 dans le logarithme correspond une augmentation 0,83 dans le nombre. "Le nombre cherché est donc 35647,83 5 un centième près.
On ramène toujours la caractéristique du logarithme donne à être égale à 4, sauf à multiplier ou à diviser ensuite len ombre trouvé par une puissance de 10.
Exemples : 1** Trouver le nombre qui a pour logarithme 5,5520332. Je retranche 1 de la caractéristique pour ramener le logarithme dans les limites des tables, et je cherche le nombre qui a pour logarithme 4,5520332 ; c'est 35647,83. Pour revenir au logarithme donné, il faut ajouter 1 à la caractéristique, et par conséquent multiplier par 10 : le nombre cherché est donc 356478,3 à un dixième près.
2° Trouver le nombre qui a pour logarithme 1,5520332. On ajoutera 3 unités à la caractéristique, et Ton cherchera le nombre qui a pour logarithme 4,5520352 ; c'est 35647,83. Pour revenir au logarithme proposé, il faut retrancher 5 de la caractéristique, et par conséquent diviser par 1000; le nombre cherché est donc 35,64783 avec cinq décimales exactes.
On voit qu'il y a un grand avantage à augmenter la carac* léristique de manière à opérer dans la partie la plus élevée des tables; si Ton avait conservé la caractéristique 1, on aurait trouvé le nombre 55,65 avec deux décimales seulement j tandis qu'en opérant comme on Ta fait, on a obtenu cinq décimales.
3** Trouver le nombre qui a pour logarithme 2,5520332. Je cherche le nombre qui a pour logarithme 0,5520332 ;
c'est 3,564783. La caractéristique négative 2 indique qu'il faut diviser ce nombre par 100 ; le nombre demandé est donc 0,0356478S.
