Il importe de se rendre compte du degré d'approxi

niatioa avec lequel on obtient les nombres à l'aide de leurs logarithmes. Soit log x=ay le logarithme donné a ayant une caractéristique égale à 4 ; appelons x^ le nombre que l'on trouve en opérant comme nous l'avons expliqué, et A la différence tabulaire dont on s'est servi. Pour produire une;

variation d'une unité du septième ordre décimal dans le loga-

rithme, il faut faire varier le nombre d'une quantité a = Ti

par conséquent, le mode de calcul adopté donnera pour les logarithmes de x^-h a et de x^— a les valeurs approchées

mais on sait que Terreur causée par la proportion est moin-

dre que .-^; on a donc

log (a:iH-«)>a, log(a;i — a)<a;

ainsi le nombre Xy qui a pour logarithme a, est compris entré oîj— a tt d[î^4-a ; en prenant la valeur approchée x^^ on commet une erreur moindre que a, c'est-à-dire moindre qi:c

-. Dans le voisinage de 10000 la différence tabulaire est plus

grande que 400 ; l'erreur commise sur le nombre est moindre

qucTTjj:; le nombre lui-môme étant plus grand que 10000,

l'erreur relative est moindre que /onnnAn ' A mesure qu'on

s'élève dans la table, la différence tabulaire diminue, et par

conséquent l'erreur absolue augmente ; mais Terreur rt'lalivc

reste à peu près la môme. Par exemple, vers 43500 la diffo-

rence tabulaire est 100 et Terreur absolue moindre que rTni»

luu

mais Terreur relative est encore moindre que ttîtïaâaâ' Vers

99000, la différence tabulaire e.t 44 et Terreur absolue

moindre que jrt Terreur relative est toujours moindre que

4000000' Ainsi les tables de Callcl donnent les nombres avec une,

erreur relative inférieure à un quart demillioniène.

301. Remarques sur les accroissements des logaiithmes. En examinant dans les tables la colonne des différences, on voit ces différences aller sans cesse en diminuant. Par exemple, les logarithmes des nombres 486 et 487 différeni entre eux de 8927 unités du septième ordre, tandis que ceux des nombres 48624 et 48625 ne diffèrent plus que de 89 unités du même ordre. 11 est facile d'expliquer la cause de cette diminution. Soient a et a-f-1 deux nombres entiers consécutifs, la différence de leurs logarithmes est

log(a-hl)-~loga = log— ^=log^l-h-j;

or, à mesure que a augmente, 1 H- -diminue et tend vers

l'unité.; Ja différence . tabulaire diminue donc et tend vers zéro. Si l'on prolongeait les tables indéfiniment, cette différence deviendrait infiniment petite.

Je donne au nombre a un accroissement constant quelcon^ que ft; l'accroissement du logarithme

log{a4-ft)-loga = log(^j=log(l-f-^

sera d'autant plus petit que a sera plus grand. Ainsi, pour un même accroissement absolu donné au nombre, Taccroissement du logarithme diminue à mesure que le nombre augmente. Mais si Ton donnait au nombre un même accrois* sèment relatif (j'entends par accroissement relatif le rapport de l'accroissement absolu au nombre lui-même; un nombre, * par exemple, éprouve un accroissement relatif de ^^, si on l'augmente de la 7^ partie de sa valeur), l'accroissement

du logarithme serait constant. En désignant par h Taccroissc-

ment relatif, fc=-, Taccroissement du logarithme devient

log(l-Hfc); c'est une quantité constante, si Faccroissement relatif reste le même.

302. Dans la recherche des logarithmes des nombres, on a supposé les accroissements du logarithme proportionnels à ceux du nombre; celte proportion n'est pas exacte. En effet, si l'on donne au nombre a l'accroissement fc, le logarithme subit un certain accroissement ; si Ton donne au nombre a+h le môme accroissement /t, le logarithme subit un nouvel accroissement plus petit que le premier; ainsi, quand Taccroîssemenl du nombre devient double, l'accroissement du logarithme est un peu moindre que le double ; et réciproquement, quand l'accroissement du nombre devient moitié, l'accroissement du logarithme est un peu plus grand que la moitié. L'emploi de la proportion donne donc, dans le passage des nombres aux logarithmes, des résultats un peu trop faibles, et, dans le passage des logarilhmes aux nombres, des résultats un peu trop forts.

Mais, si l'on a soin d'employer toujours la partie la plus élevée des tables, l'erreur commise sur les logarithmes n'affectera pas les unités du septième ordre décimal ; et en effet, dans les tables de Callet, on voit que la même différence tabulaire existe entre plusieurs couples de logarithmes consécutifs. Par exemple, du nombre 68595 au nombre 69744 la différence tabulaire est la même. Dans cet intervalle, pour une unité d'augmentation dans le nombre, le logarithme subit un accroissement constant 65 : pour deux, trois... unités d'augmentation dans le nombre, le logarithme subit donc un accroissement deux^ trois... fois plus grand, et par conséquent les accroissements du nombre sont proportionnels à ceux du logarithme, du moins au degré d'approximation des tables*