CHAPITRE III

DES IMTÉBÊTS COMPOSÉS

â03. Ordinairement les intérêts d'un copîlal prêté se payent chaque année et constituent une rente ; mais il arrive quelquefois qu'on laisse les intérêts s'ajouter au capital, de manière que le capital s'accroisse d'année en année : c'est là ce qu'on appelle capitaliser les intérêts, ou placer à intérêts composés.

On a appelé taux de l'intérêt ce que rapportent 100 francs dans un an ; mais, dans le calcul des intérêts composés, il est plus commode de prendre pour taux l'inlérôl de un franc en un an, intérêt que, pour abréger, nous désignerons par la lettre r. Ainsi, placer à 5 pour 100, c'est la même chose que placer à 0,05 pour!; dans ce cas r=0,05; placer à 4,50 pour 100, c'est la même chose que placer à 0,045 pour 1 ; dans' ce cas, r =0,045.

304. Le capital un franc, augmenté de son intérêt, vaut, après une année, 1 -hr ; un capital 2460 francs vaudra 2460 fois plus, c'est-à-dire (1 -hr)x2460 ou 2460 (1 -f-r). En général, si Ton représente par a un capital quelconque, sa valeur au bout d'un an, par l'addition des intérêts, sera a (l-f-r)» Ainsi, on obtient la valeur d'un capital après une année en multipliant ce capital par l unité augmentée de l'intérêt de un franc.

Par exemple, le capital 2460 francs placé à 5 pour 100 vaut Qu bout d'un an 2460x1,05=2583.

Je suppose maintenant que le capital a soit placé pendant H années. Api es une année ce capital devient a (l+r)j tel est

2d2 LlVliE VI. — CUAPITRE III.

le capital dû à la Gn de la première année et qui produit in* térôl pendant la seconde année. Pour savoir ce que devient ce capilal a(l+r)par Taddilion des intérêts delà seconde année, il faut le multiplier par l-hr, ce qui fait a(l-f-r) (l-+-r) ou a(l + f)'; tel est le capilal dû à la lin de la seconde année, et qui produit intérêt pendant la troisième année. Pour savoir ce que devient ce capital a(l-i-r)', par l'addition des intérêts de la troisième année, il faut le multiplier par 1 + r, cequi fait a(l-f-r)'(l-Hr) oua(l-i-r)'; tel est le capital dû à la fin de la troisième année, et qui produit intérêt pendant la quatrième année. Le même raisonnement peut être continué indéfiniment ; et comme chaque année nouvelle introduit un nouveau facteur 1-hr, la valeur du capital, après n années, sera a (ixrf. Ainsi, on obtient la valeur (Tun capital ^ placé à intérêts composés^ après un certain nombre (Vannées^ en multipliant ce capital par la valeur d'un franc après un an^ élevée à une puissance marquée par le nombre des années.

Si donc Ton désigne par  la valeur du capilal après n années, on a la formule générale

Cette formule établit une relation entre les quatre quantités représentées par o, A, n, r, relation qui détermine Tune quelconque d'entre elles, quand on connaît les trois autres . On peut donc, à l'aide de celte relation, résoudre les quatre questions suivantes.

305. PnoBLÊyE I. .Quelle est la valeur d^un capital placé à intérêts composés ^ et au taux r, après n années?

C'est la question traitée précédemment : on calculera A par logarithmes.

Exemple. Trouver la valeur du capital 12540 francs place ù intérêts composés, à 5 pour 100, après 7 ans.

Je suppose dans tout ce qui suit que Ton opère avec les tables de Callet.