INTÉRÊTS COMPOSES
log 12540 = 4,0982975
log 1,05=0,0211895 7 log 1,05 = 0,1485251
306. PioDLKME II. Quel est le capital qui, placé à intérêts composés^ au taux r, acquiert après n années une valeur A?
La formule précédente donne
Exemple. Quel est le capital qui, placé à intérêts composés à 4,75 pour 100, vaut 24600 francs, après 12 années?
log 24600 = 4,?;909351
log 1,0475 = 0,0201540 12 log 1,0475 = 0,2118489
log a = 4,1490871 a = 14005,70.
307. Problème III. A quel taux faut-il placer un capital n, h intérêts composés^ pour qu^après n années il acquière une valeur A ?
L'inconnue ici est r ; de la formule fondamentale on déduit
On calculera de cette manière la quantité 1+r; retranchant
I du résultat, on aura r.
Exemple. A quel taux faut-il placer le capital! 4095,70 pour qu'après 12 années il vaille 24ff00 francs?
log 24600 = 4,3909351
log 14095,70 = 4,1490867
log A — log a = 0,2418484 log(l-hr) = 0,0201540 1+r =1,0475, r = 0,0475.
II faut pincer le capital à 4,75 pour 100.
308. Problème IV. Pendant combien d'années faut-il placer un capital s j au taux r, à intérêts composés^ pour qu'il acquière une valeur kl
L'inconnue est n ; de la formule fondamentale on déduit
(4) (i-hr/ = j>
Cl, en prenant les logarithmes,
n log (1 + /) = log A — log a; don
log A — log a
^- log(i+r) "
309. Remarque. La formule des intérêts composés a été é(ablie dans riiypolhèse où le capital reste placé pendant un nombre entier d'années. Lorsque le capital reste placé pendant un certain nombre d'années, plus une fraction d'année, on cherche d'abord ,sa valeur après le nombre enlier d'années par la formule des intérêts composés, puis on calcule les inlérêts simples de ce nouveau capilal pendant la fraction d'années.
Mais il sera plus simple d'appliquer la formule ordinaire
dans laquelle on donnera à n des \aleurs fractionnaires : la différence des résultats est négligeable.
Exemple I. Quelle est la valeur du capital 12540 frams, placé à intérêts composés à 5 pour 100, après 7 ans 8 mois?
Après 7 ans, le capital devient 17645,04; ce nouveau capilal rapporte 583,17 en 8 mois : donc après 7 ans 8 mois, le capital devient 18233,20.
En donnant à n la valeur fractionnaire 7-f-^, on trouve 18228,40; la différence est 4,80; c'est une quantité relativement très-petile ; elle est plus petite que le j^ de la grandeur cherchée.
Exemple IL Pendant combien d'années faut-il placer un capital à intérêts composés à 5 pour 100, pour qu'il acquière une valeur double?
INTÉRÊTS œMPOSÉS. . S95
Comme la grandeur du capital n a aucune influence dans la question, je suppose qu*il s agisse du capital 1000 francs.
log2 n =
logl,05*
log 2 = 0,5010500 log 1,05 = 0,0211895
l.>g 0,50103 =M786098 log 0,0211895 = 2,5261167
log n = 1,1524931 n = 14,207.
Après 14 années le capital n'est pas encore doublé ; après 15 années il est plus que doublé. Après 14 années, le capital 1000 francs devient 1979,93 ; si Ton cherche dans combien de jours le capilal 1979,93 produira ce qui manque pour que le capilal primitif soit doublé, c'est-à-dire 20,07, on trouve 74 jours. Ainsi à 5 pour 100, le capital est doublé en 14 ans 74 jours.
Si Ton prend la valeur fractionnaire n= 14,207 donnée par le calcul, on trouve 14 ans 75 jours. La différence n'est que d'un jour.
Exemple III. A quel taux faut-il placer un capital de 12000 francs à intérêts composés, pour qu'il acquière une valeur de 18000 francs après 9 ans 5 mois?
Dans la formule des intérêts composés, on donnera à n la valeur fractionnaire 9-+- jj. Il serait Irès-difiîcile de résoudre autrement la question.
310. Problème Y. On a deux billets^ l'un dune somme a payable dans 1 an, Vautre d^une somme b payable dans 5 ans^ et on veut les convertir en un seid payable dans 3 ans.
Cherchons la valeur de chacun des deux billets dans 3 ans à l'échéance du troisième billet. A cette époque, 2 ans après son échéance, le premier billet vaudra
a(l-hr)'; à cette même époque, 2 ans avant son échéance, le second billet vaut
Si Ton appelle x la somme qui doit èlrc inscrite sur le troisième billet, c'est-à-dire la somme à toucher dans 3 ans, on aura
x = a{\'[-ry
{i-hry-
311. Problê^ie VI. La population d'un État est de 40 millions d'habitantSj elle s'accroît chaque année de -^ de sa valeur; on demande quelle sera la fwpulation de cet État dans un siècle.
J'appelle P la population après un cerlarn nombre d'années ; l'année suivante elle sera
Ainsi la population croît année par année, comme les termes d'une progression géométrique dont le premier terme est 40 millions et la raison J-J^. On demande le 101* terme de la progression : en désignant par x ce terme, on a
/fTAJ \ 100
312. PnoBii:ME Vil. Les populations de deux États sont^ Vum de 20 millions d^habitants^ l autre deZO millions; la première s* accroît chaque année de yj^, la seconde de ■^. Dans conMen de temps les deux populations seront-elles égales?
J'appelle n le nombre d'années cherché ; après ce nombre d'années, les deux populations élant égales, on aura
d'où
2x'2Ôi))=^x(5Ô())'
20ix500 \»5
intEaëts composes. su
si Ton prend les logarithmes, il vient
«(log 603 — log 602) = log 5 — log 2 logS— log2 ,
'*"" log 603— log 602'
Questions d*«nnltés«
313. Paoblème YIII. Une personne place chaque année une somme a pendant n années^ et laisse les capitaux et les intérêts s^occumuler. On demande quelle sera la valeur totale de tous ces placements après ces n années?
Le premier versement, étant placé pendant n années, acquiert une valeur égale à fl(l-Hr)*; le second, étant placé pendant n— 1 années, acquiert une valeur égale à a(l-f-r)"'S etc.; enfin le dernier, ne restant placé que pendant un an, vaut a(l+r). La valeur totale après les n années est donc
fl(l-l-7')-l-fl(i-hr)' -f-a(l-hr)";
c'est la somme des termes d'une progression géométrique dont la raison est l+r: on a ainsi, en désignant par A la somme cherchée,
fl(i-hr)''+*— fl(i+r) fl(i-4-r)[(l-hr)»— 1] r r '•
n est impossible de soumettre directement cette formule au calcul logarithmique ; on est obligé de faire deux calculs séparés. On calculera d'abord la quantité (l-hr)*, puis A. -
Exemple. On place chaque année iOOO francs pendant 20 ans à 5 pour 100.
(5) k=mo^^^^^!^^—^=2mox{\fib^—i).
Calcal àm l,OB*^
^ log 1,05 = 0,02118930 20 log 1,05 = 0,4237860 1,05" = 2,6533
Calcul de A
10^21000 =4,3222193 log 1,6535 = 0,2185517
log A = 4,5405710 A = 34719,30
314. Problème IX. Une ^personne emprunte actuellement une somme A, et voudrait se libéi-er en n années par n payements égaux effectués à la fin de chaque année. On demande quel doit être le montant de chacun des payements ?
Je désigne par x le montant de chaque payement et je suppose qu'on règle les comptes à la fin de la n' année ; lu somme due est alors A(l-i-r)*. Le premier versement, ayant été fait n — 1 années auparavant, \aut, au moment du règlement, aî(l-Hr)''"^ le second versement, ayant été fait n— -2 années auparavant, vaut x(i-hrY'^^ et ainsi de suite; l'avantdernier versement, ayant élé fait, il y a un an, vaut x(i'{-r): enfin le dernier, étant fait au moment même, vaut x, La valeur totale des n payements annuels est donc, au moment du règlement de compte,
x-Ha:(l-+-r)-f-a;{l+r)* -hx(l-l-r)»^
ou, en faisant la somme,
xx^ ^
La somme qui reste due à la fin de la n* année est donc Si la dette est acquittée, on a
d'où Ton déduit
__ Ar(i-f-r)»
Cette formule présente le même inconvénient que k précédente; il est impossible de la soumettre directement au calcul logarithmique. On calculera d'abord (1-i-r)*, puis X.
