CHAPITRE PREMIER

DES DIFFÉBENTS SYSTÈMEf^ DE NDIHÉBATIOIV

315. Nous avons expliqué au commencement de l'aridimétique comment on compte les objets en les groupant par col* lections de dix en dix fois plus grandes; il est clair que Ton aurait pu grouper les objets d*une autre manière, par exemple par collections de douze en douze fois plus grandes. Le nombre qui détermine le mode du groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d*un usage universel ; c'est dans ce système que Ton écrit les nombres ; cependant, afin de mieux comprendre le mécanisme du calcul, il est bon de considérer les nombres et de s'exercer à les écrire dans un autre système. Je prendrai pour type le système duodécimal.

3t6. Bans ce système les unités des différents ordres sont de douze en douze fois plus grandes ; chacun des onze premiers nombres a reçu un nom particulier; la domaine est

50O LIVRE VU. - CHAflTRE I.

Tunité du second ordre ; nous désignerons par les mois vingt y trente, quarante, cinquante, soixante, septante, octante, nonante, dizante et onzante, les collections de deux, trois...,.., dix, onze douzaines. La réunion de douze douzaines forme Tunité du troisième ordre ou la centaine ; la réunion de douze centaines forme Tnnité du quairième ordre ou le mille, puis viennent la douzaine de mille, la centaine de mille, le million, etc.

Quand on a ainsi groupé les objets que Ion veut compter par collections de douze en douze fois plus grandes, pour énoncer le nombre des objets, on dit combien il y a d'unités de chaque ordre (et il y en a au plus onze), en commençant par l'ordre le plus élevé et descendant progressivement. On a, par exemple : quarante-sept millions trois cent dizante onze muxe dix cent douze cinq unités.

Pour écrire les nombres dans le système duodécimal, il faut d'abord imaginer onze caractères ou chiffres pour représenter les onze premiers nombres; on conservera nalurellcment aux neuf premiers nombres leurs caractères habituels, et l'on adoptera les lettres grecques a et 3 pour désigner les nombres dix et onze, de sorte que les onze premiers nombres seront représentés par les chiffres

Puis on indiquera Tordre des unités par le rang du chiffre à partir de la droite; de celle manière, le nombre précédent s'écrira

473a|3al5.

On emploiera le chiffre pour remplir les places vacantes , le nombre douze, ou une unité de second ordre, s'écrira 10 ; le nombre octante MUMom dix cent fraw mille cinquante onze UNITÉS s'écrira

On voit que pour écrire les nombres dans le système duodécimal il faut douze chiffres ; en général, il faut un nombre de chiffres marqué par la base du système de numération.

DES DIFFÉRËISTS SYl^TÈHiES DE NUiiËRiVTIO?f.

317. A ce point de vue, le système le plus simple serait celui dont la base est deux ; dans ce système les deux chilfres 1 et suflisent pour écrire tous les nombres. Le nombre deux, étant Tunilé du second ordre, s'écrira 10 ; le nombre trois s'énoncera deux un et s'écrira 11 ; le nombre quatre ou deux fois deux, formant Tunitëdu troisième ordre, s'énoncera cent et s'écrira 100 ; de même les nombres cinq, six, sept, huit^ s'écriront 101, 110, 111, 1000 ; on voit par là que, si le système binaire est le plus simple en ce sens que les deux cliiffres 1 et suffisent pour écrire tous les nombres, ce système entraînerait dans la pratique une excessive longueur, puisque un nombre relativement petit, comme huit, renferme déjà quatre chiffres.

CIIARGEUEKT DE DASE.

318. Un nombre étant écrit dans un système de numération, on peut se proposer de récrire dans un aulre système.

Soit, par exemple, ^. nombre 962638 écrit dans le système décimal , on demande de récrire dans le système duodé* cimal .

Puisqu'une unité du second ordre est la réunion de douze unités simples, on saura combien le nombre proposé contient d'unités du second ordre, en cherchant combien de fois ce nombre contient douze, c'est-à-dire en le divisant par 12; cette division indique que le nombre proposé contient 80219 unités du second ordre, plus dix unités simples. Puisqu'une unité du troisième ordre est la réunion de douze unités du

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second ordre, on divisera de môme 80219 par 12 ; ceKe division indique que les 80219 unités du second ordre valent 6684 unilés du troisième ordre, plus onze du second. En continuant de cctfe manière, on trouve finalement que le nombre proposé renferme à\x unilés simples, onie unités du second ordre, dnii du quatrième, à\x du cinquième, \voxs du sixième : ce nombre s'écrira donc dans le système duodécimal

Règle I. Vn nombre 'étant écrit dans le système décimal^ pour l écrire dans un autre système^ on divise par la nouvelle base, d^abord le nombre donnée puis le premier quotient^ puis le second quotient y et ainsi de suite ; les restes successifs forment les chiffres qui doivent composer le nombre à partir de la droite dans le nouveau système.

Je résous maintenant la question inverse. Un nombre étant écrit dans un certain système, récrire dans le système décimal . Soit, par exemple, le nombre 3a50pa écrit dans le système duodécimal; écrire ce nombre dans le système décimal. On a 3 unités du sixième ordre, qui en valent 12x5 ou 36 du cinquième ordre, et qui, ajoutées aux dix unités de cet ordre, donnent 46 unités du cinquième ordre. Ces 46 unités du cinquième ordre valent 12x46 ou 552 unilés du quatrième ordre qui, ajoutées aux cinq unités de cet ordre, donnent 557 unités du quatrième ordre. Ces 557 unités du qualrièmc ordre valent 12x557 ou 6684 du troisième, et 12x6684 ou 80208 du second, qui, ajoutées aux onze unités de cet ordre, donnent 80219 unités du second ordre. Ces 80219 unités du second ordre valent 12x80219 unités simples, qui, ajoutées aux dix unités simples, donnent 902638 unités simples. Telle est l'expression du nombre propose dans le système décimal. Ainsi :

Règle II. Un nombre étant éciit dans un certain syètème^ pour récrire dans le système décimal^ on multiplie par la base le premier chiffre de gauche, on ajoute au produit le second chiffrCj on multiplie le rémltat par la bascj on a/oule le troi"