DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE MJMÉRATION
On forme celle table comme la lable ordinaire, en ajoutant les nombres de la première ligne horizontale à, eux-mêmes» les ajoutant ensuite à ceux de la seconde ligne, puis à ceux de la troisième, elc.
Soit à multiplier un nombre de plusieurs chiffres 52<x9 par un nombre d'un chiffre 7 ; ! 52^9
Je dirai : 7 fois 9 55, je pose 5 et retiens 5 ; 7 fois a. . . .
5a et 5 de retenue 63, je pose 3 et retiens 6 ; 7 fois 2
font 12 et 6 de retenue 18, je pose 8 et reliens 1 ; 7 fois 5.... 2p et 1 de retenue 30, je pose 30.
Après avoir observé qu'on multiplie un nombre par douze,
cent, mille...., en ajoutant un, deux, trois zéros à la
droite du nombre, on traitera facilement le cas général de la multiplication. Soit à multiplier 52a9 par 3^7 ;
II s'agit de répéter le multiplicaniie 7 fois, plus ^0 fois, plus 500 fois. Je répète d'abord le multiplicande 7 fois; j'obtiens le produit partiel 50855, que j'écris au-dessous du trait horizontal. Pour répéter le multiplicande pO fois, il faut le multiplier par p, ce qui donne 497a5, puis mettre un zéro à la droite de -ce nombre, ce qui revient à considérer ce nombre comme exprimant des douzaines ; j'écris donc ce second produit partiel de manière que son premier chiffre 3 se trouve placé dans la colonne des douzaines. Je répète le multiplicande 500 fois en multipliant par 5, puis ajoutant deux zéros à la droite du produit, c est-à-dire en mettant le premier chiffre de ce troisième produit partiel dans la colonne des centaines. L'addition de ces trois produits partiels donne le
produit demandé. On reti\)iive ainsi la règle ordinaire de la oittltiplicalion.
DIVISION
322. Il est inutile de parler de la division; c'est ropération inverse de la multiplication, et, comme telle, elle se déduit de celle dernière.
Je fais remarquer que, si Ton sait effectuer la division dans le système duodécimal, on pourra, un nombre étant écrit dans le système duodécimal, le transformer dans un système quelconque, sans passer par le système décimal. Si, par exemple, on veut traduire dans le système à base 7 le nombre 489ft écrit dans le système duodécimal, on divisera par 7 le nombre proposé, puis le quotient, puis le second quotient, etc. Les restes successifs seront les chiifres cherchés, à partir de la droite.
Ainsi le nombre proposé s'écrira 525C6 dansle système à base 7 •
FRACTIONS DUODÉCIHALES.
323. Sî, pour mesurer les grandeurs, on partage Tunîté en parties de douze en douze fois plus petites, on obtiendra des fractions duodécimales qui joueront le même rôle que les fractions décimales, et qui, cx)mme elles, s'écriront sous forme de nombres entiers»
Je me propose de convertir en fraction duodécimale la fraction ordinaire jj ; cette fraction, dans le système duodécimal,
sWit jx : je divise doncp par 16 en multipliant le dividende
par une puissance de douze ;
D£S DIFFÉRJSNT8 SYSTÈMES DE tfUHÉRATION. 507
j'obtiens la fraction duodécimale 0,74.
La conversion sera possible, si le dénominateur de la fraction ordinaire, supposée irréductible, ne renferme que les facteurs premiers 2 et 5, qui entrent dans la base douze ; et en elTet, dans ce cas, le numérateur, multiplié par une puissance convenable de douie, devient divisible exactement par le dénominateur. Mais, si le dénominateur contient des facteurs premiers autres que 2 et 5, la fraction duodécimale se prolonge indéfiniment, et elle est périodique.
La conversion des fractions duodécimales en fractions ordinaires s'opère d'après les mêmes raisonnements que ceux employés dans l'étude des fractions décimales. Une fraction duodécimale périodique simple égale une fraction ordinaira^» ayant pour numérateur la période et pour dénominateur uir y nombre formé d'autant de p qu'il y a de chiffres à la période ; une fraction duodécimale périodique mixte égale une fraction ordinaire ayant pour dénominateur un nombre formé d'autant de p qu'il y a de chiffres à la période suivis d'autant de qu'il y a de chiffres irréguliers.
Il en résulte qu'une fraction ordinaire, dont le dénominateur ne renferme que des facteurs premiers autres que 2 et 3, donne naissance à une fraction duodécimale périodique simple ; la fraction est périodique mixte , si le dénominateur renferme à la fois les facteurs 2 ou 5 et des facteurs étrangers. Par exemple la fraction | donne naissance à une fraction
duodécimale périodique simple, la fraction - à une fraction
périodique mixte.
324. Si Ton compare les différents systèmes de numération, on reconnaît que c'est le système duodécimal qui offre le plus d avantages. La base dix n'est divisible que par 2 et par 5, tandis que la base douze est divisible par 2, 5, 4, 6. Parmi les fractions ordinaires |, |, |, |, |, ^, \, |, quatre seulement
308 LIVRE Vif. -^ CHAPITRE I.
peuvent ôlre converties en fractions décimales, tandis que six de ces fractions se convertissent exactement en fractions duodécimales. Ainsi la mesure des grandeurs s'opérerait avec plus de facilité dans le système duodécimal ; il y aurait beau- ' coup plus de chances d'arriver à une expression simple et exacte de la grandeur.
Les hommes ont adopté la numération décimale dès les premiers âges, sans doute à cause des dix doigts de leurs mains. Us comptaient d'abord sur leurs doigts; arrivés au nombre dix, afin d'aller plus loin, ils ont considéré la dizaine comme une unité nouvelle, pour recommencer à compter sur les doigts, de manière à former une nouvelle dizaine et prolonger ainsi la série des nombres.
Cependant la division duodécimale oflre tant d'avantages qu'on la retrouve dans presque toutes les anciennes mesures. Ainsi chacune des deux parties du jour a été partagée en douze heures; l'ancienne unité de longueur, le pied, était divisée en douze pouces, le pouce en douze lignes ; Tunité de monnaie, le sou, était de même divisé en douze deniers, etc. Dans les usages de la vie commune, on a souvent à prendre la moitié, le tiers, ou le quart d'une quantité; la division duodécimale le permet aisément. Par exemple, la moitié du pied, c'est six pouces; le tiers, quatre pouces; le quart, trois pouces. Avec la division décimale, on peut bien prendre la moitié du mètre, c'est 5 décimètres, mais il est impossible d'en prendre le tiers, et d'ailleurs le quart s'exprime d'une manière compliquée, 25 centimèlres.
